第五章 第四节 平面向量的综合问题-备战2022年新高考数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第四节 平面向量的综合应用
课中讲解
考点一.与三角函数的综合问题
例1.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥ b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
解　(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cos x≠0.
于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
[方法技巧]　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．
变式1. 已知的面积为，且.
（1）求；
（2）若，，求.（2015届镇江期末15）
【答案】（1） ∵△的面积为，且
∴，
∴
∴为锐角，且，
∴．
（2）设△中角对边分别为
∵，，
由正弦定理得：，即
∴，又∵,则锐角，∴，
∴= ．

例2. 已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是_________.
【答案】
变式2. 在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足，则的最大值是__________.
【答案】

考点二.与圆的综合问题
例1．(2018天津)如图，在平面四边形中，，，，
． 若点为边上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．

【答案】A
【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图的平面直角坐标系，

因为在平面四边形中，，，
所以，，，设,，
所以，，
因为，所以，
即，解得，即，
因为在上，所以，由，得，即，
因为，，
所以
，令，．
因为函数在 上单调递减，在上单调递增，所以．所以的最小值为，故选A．
变式1．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标，则，，，设，所以，，
所以，
当时，所求的最小值为，故选B。
例2.如图1，已知AC＝2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BM⊥BN，则·的最大值为________．

答案　
解析　方法一　由题设可知AB＝BC＝BN＝1.
因为点M在以AB为直径的半圆上，所以AM⊥BM，又BM⊥BN，所以AM∥BN，若设∠MAB＝θ，则∠NBC＝θ.
如图2，建立平面直角坐标系xBy，则点A(－1,0)，M(－sin2θ，sin θcos θ)，C(1,0)，N(cos θ，sin θ)，

所以＝(－sin2θ＋1，sin θcos θ)＝(cos2θ，sin θcos θ)，＝(cos θ－1，sin θ)．
于是，·＝cos2θ·(cos θ－1)＋sin2θcos θ
＝cos3θ－cos2θ＋(1－cos2θ)cos θ
＝－cos2θ＋cos θ＝－2.
又易知0