第六章 第三节 等比数列及其前n项和-备战2022年(新高考)数学一轮复习考点讲解+习题练习学案
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第三节 等比数列及其前n项和知识回顾 1.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数).(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a,G,b成等比数列⇒G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=a1qn-1.(2)前n项和公式:Sn=.3.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=a.(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{a},{an·bn},(λ≠0)仍然是等比数列.(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.4.在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列(n为偶数且q=-1除外).课前检测 1.已知等比数列满足,则,则公比的值为( )A. B. C.或 D. 2.数与的等差中项,等比中项分别是( )A.
B.
C.
D. 3.(多选)已知数列{an}是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是( )A. B.log2aC.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2}4.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31 B.32C.63 D.645.正项等比数列中,,则________. 6.设{an}是公比为正数的等比数列,Sn为{an}的前n项和,若a1=1,a5=16,则数列{an}的前7项和为________.课中讲解考点一.等比数列基本量的运算例1.已知等比数列 共有 项,其中奇数项之积为 ,偶数项之积为 ,则其公比是( )A. B.
C. D. 变式1.等比数列 的各项均为实数,其前 项和为 ,已知 ,,则 ________.例2.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于( )A.2 B.1C. D.变式2.(2019·全国Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,S3=,则S4=________.例3。我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A.1盏 B.3盏C.5盏 D.9盏变式3.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第 名得全部资金的一半多一万元,第 名得剩下的一半多一万元,以名次类推都得到剩下的一半多一万元,到第 名恰好资金分完,则此科研单位共拿出________万元资金进行奖励. 例4.(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.
变式4.已知是等差数列,是等比数列,,,,.求,的通项公式; 变式5.已知等比数列 的公比 ,其前 项和为 ,则 与 的大小关系为 ( )A.
B.
C.
D.不能确定考点二.等比数列的判定与证明例1.已知数列满足,.证明是等比数列,并求的通项公式; 变式1.已知数列 满足 ,, ( ) .(1) 证明:数列 为等比数列;(2) 求数列 的通项公式;(3) 若数列 满足 ( ),证明:数列 是等差数列. 例2.已知数列 与 满足:,,,且 ,.设 ,,证明: 是等比数列; 变式2.已知数列 满足:,,且 .设 ,求证 是等比数列; 例3. 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式. 变式3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3的值;(2)是否存在常数λ,使得{an+λ}为等比数列?若存在,求出λ的值和通项公式an;若不存在,请说明理由. 考点三.等比数列的性质及应用例1.在等比数列中,若,是方程的两根,则的值是( ) A. B.
C. D.以上答案都不对 变式1.在等比数列中,,,那么( )A. B. C. D.例2.【2021年吉林长春长春市第二十九中学高三上学期期末考试数学试卷(理科)】设等比数列 的前 项和为 ,若 ,,则 ( )A. B. C. D.变式2.【2020年天津和平区天津市第一中学高二上学期期中考试数学试卷】等比数列 中,,,则 ________.例3.在等比数列 中,如果 (),则 ( )A.
B.
C.
D.课后习题一.单选题1.【2020年江西南昌进贤县进贤县第一中学高一下学期月考数学试卷(文)】设 是任意等比数列,它的前 项和,前 项和与前 项和分别为 ,,,则下列等式中恒成立的是( )A. B.
C. D.2.在等比数列 中,如果 和 是一元二次方程 的两个根,则 的值为( )A. B. C. D. 3.在等比数列中,已知是方程的两根,则( )A. B. C. D.4.设是公比为()的等比数列,首项,对于,,当且仅当时,数列的前项和取得最大值,则的取值范围为( )A.
B.
C.
D.5.已知等比数列中,,,则( )A. B. C. D.6.在正项等比数列 中,已知 ,,,则 等于( )A. B. C. D.
7.(2020·苏州模拟)设等比数列{an}的公比为q,则下列结论正确的是( )A.数列{anan+1}是公比为q的等比数列B.数列{an+an+1}是公比为q的等比数列C.数列{an-an+1}是公比为q的等比数列D.数列是公比为的等比数列8.若正项等比数列{an}满足anan+1=22n(n∈N*),则a6-a5的值是( )A. B.-16C.2 D.16二.多选题9.(多选)在等比数列{an}中,a5=4,a7=16,则a6可以为( )A.8 B.12C.-8 D.-1210.(多选)在等比数列{an}中,公比为q,其前n项积为Tn,并且满足a1>1,a99·a100-1>0,<0,下列选项中,结论正确的是( )A.0<q<1B.a99·a101-1<0C.T100的值是Tn中最大的D.使Tn>1成立的最大自然数n等于198三.填空题11.已知数列的首项为,前项之和为,且是以()为公比的等比数列,若是递增数列,则的取值范围是________.12.在等比数列中,各项均为正值,且,,则________ 13.已知等比数列 的公比 ,且 ,则 ________. 14.在等比数列 中,公比 ,且 ,则 ________.15.设各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S30=70,那么S40=________.16.在等比数列{an}中,若a1+a2+a3+a4=,a2a3=-,则+++=________.17.各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数列,且a1=1,a2=3,则数列{an}的通项公式为________.18.已知在等比数列{an}中,an>0,a+a=900-2a1a5,a5=9a3,则a2 020的个位数字是____.四.解答题19.(2019·淄博模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,Sn=Sn-1+an-1+(n∈N*且n≥2),数列{bn}满足:b1=-,且3bn-bn-1=n+1(n∈N*且n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{bn-an}为等比数列. 20.设关于 的一元二次方程 有两根 和 且满足 .(1) 试用 表示 ;(2) 求证:数列 是等比数列;(3) 当 时,求数列 的通项公式. 21.已知 是等比数列,前 项和为 ,且 ,.
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