第八章第七节直线与椭圆位置关系-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

展开

这是一份第八章第七节直线与椭圆位置关系-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案，文件包含第八章第七节直线与椭圆位置关系原卷版docx、第八章第七节直线与椭圆位置关系解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共33页，欢迎下载使用。

第七节直线与椭圆的位置关系
课中讲解
考点一.直线与椭圆的位置关系
例1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1 B．m>0
C．0 答案　D
解析　方法一　由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，
所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
则0<≤1且m≠5，
故m≥1且m≠5.
方法二　由
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m>0且m≠5，∴5k2＋m－1≥0，
∴m≥1且m≠5.
变式1．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3 (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
例2.已知椭圆，直线，椭圆上是否存在一点,到直线的距离最小?最小距离是多少?
解析：设直线平行于直线，，
，，
，，
由图可知，，此时直线与椭圆的交点到直线的距离最近，
所以 .

变式2．已知椭圆，直线，椭圆上的点到直线的最大距离是_________
解析：
变式3．求椭圆上的点到直线的距离的最小值．
分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为
．
当时，．
考点二.弦长问题
例1.已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
解析：由椭圆的方程知：，右焦点，直线的方程为.
联立得，消y得：，
，

【方法归纳】
1．直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长．
(2)当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式．
设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 直线的斜率为，则有：

．
变式1.　斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则AB的最大值为(　　)
A．2 B. C. D.
答案　C
解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴AB＝ |x1－x2|
＝
＝＝·，
当t＝0时，ABmax＝.
例2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．
[解]　(1)由题意知e＝＝，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－(x－1)．将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝.同理，|CD|＝＝.所以|AB|＋|CD|＝＋＝＝，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
变式2．经过椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点的直线x＋y－＝0交椭圆M于A，B两点，P为AB的中点，且直线OP的斜率为.
(1)求椭圆M的方程；
(2)C，D为椭圆M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积的最大值．
解：(1)令A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知右焦点为(，0)．联立
得(a2＋b2)y2－2b2y＋b2(3－a2)＝0，①则y1＋y2＝，x1＋x2＝2－(y1＋y2)，即kOP＝＝＝＝＝⇒a2＝2b2.因为a2－b2＝3，所以a2＝6，b2＝3.所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2)由(1)知方程①为3y2－2y－3＝0.由弦长公式得：|AB|＝·|y1－y2|＝
＝＝.令CD的方程为：x＝y＋m.由得3y2＋2my＋m2－6＝0，则y1＋y2＝－，y1y2＝.由弦长公式得|CD|＝·＝·≤4.所以S四边形ACBD＝|AB|·|CD|≤(当且仅当m＝0时取最大值)．故四边形ACBD的面积的最大值为.
考点三.中点弦问题
例1.已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．
解：方法（一）：设所求直线的方程为，代入椭圆方程整理得：
．
设直线与椭圆的交点为，，则
是上面的方程的两个根，所以．
因为P为AB的中点，所以，解得．
所以所求直线的方程为．

方法（二）：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
设，，AB中点，则有，又，
因为在椭圆上，，，两式相减得：，即，所以，所以．
所以所求直线的方程为．
方法（三）：共线法：设其一交点为A(x,y)，则另一交点为B(4-x,2-y)，则
两式作差得：，
从而A ,B在直线上，而过A,B两点的直线有且只有一条，
所以所求直线的方程为．
【方法归纳】解决椭圆中点弦问题的三种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系，．
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0,y0),设其一交点为A(x,y),则另一交点为B(2x0-x,2y0-y)，则两式作差即得所求直线方程．
变式1. (1)过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　)
A．4x＋3y－13＝0　　　　　　 B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0
(2)如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围为________．

[解析]　(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0.∵P(3,1)是A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，故kAB＝＝－，直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即3x＋4y－13＝0，故选B.
(2)设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，
则x1＋x2＝－，x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝，所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－(x－x0)．令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋.因为k≠0，所以－＜xG＜0，所以点G横坐标的取值范围为.
[答案]　(1)B　(2)
例2.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　)
A.　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：选C　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得两式相减得＝－·.因为kAB＝＝1，且x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以＝，e＝＝＝，故选C.
变式2．已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称，求实数m的取值范围．
解：由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0.①将线段AB中点代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②由①②得m＜－或m＞.故m的取值范围为∪.

例3.　(1)已知椭圆两顶点A(－1,0)，B(1,0)，过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当CD＝时，则直线l的方程为______________．
答案　x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
解析　由题意得b＝1，c＝1.
∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2.
∴椭圆方程为＋x2＝1.
若直线l斜率不存在时，CD＝2，不符合题意．
若l斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，
联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
Δ＝8(k2＋1)>0恒成立．
设C(x1，y1)，D(x2，y2)．
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∴|CD|＝|x1－x2|
＝
＝.
即＝，
解得k2＝2，∴k＝±.
∴直线l方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
(2)(2019·石家庄模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵AB的中点为M，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝1.
∵PF∥l，∴kPF＝kl＝－＝.
∵＋＝1，＋＝1.
∴＋＝0，
∴＋＝0，可得2bc＝a2，
∴4c2(a2－c2)＝a4，化为4e4－4e2＋1＝0，
解得e2＝，
又∵0 考点四. 直线与椭圆位置关系的综合问题
例1.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若ON＝OF(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
解　(1)设椭圆的半焦距为c，依题意知，2b＝4，＝，
又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0)．
设直线PB的斜率为k(k≠0)，
又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，
可得xP＝－，
代入y＝kx＋2得yP＝，
进而直线OP的斜率为＝.
在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.
由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.
由OP⊥MN，得·＝－1，
化简得k2＝，从而k＝±.
所以，直线PB的斜率为或－.
变式1.设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积．
[解]　(1)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，所以＝.因为椭圆的离心率为，所以＝，又a2＝b2＋c2，可解得b＝，c＝1，a＝.所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)可知F(－1,0)，则直线CD的方程为y＝k(x＋1)．联立消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.又A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋＝8，解得k＝±.从而x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝0.所以|x1－x2|＝＝＝，|CD|＝|x1－x2|＝×＝.而原点O到直线CD的距离为d＝＝＝，所以△OCD的面积为S＝|CD|×d＝××＝.
例2.设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且直线MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解：(1)根据题设知M，即＝，整理得2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1，解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
变式2.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.
(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且⊥，求直线l的方程．
解　(1)由题意知，△F1B1B2为等边三角形，
则即解得
故椭圆C的方程为＋3y2＝1.
(2)易知椭圆C的方程为＋y2＝1，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
Δ＝8(k2＋1)>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
因为⊥，所以·＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝＝0，
解得k2＝，即k＝±，
故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
考点五．探究性问题
例1.椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，则其离心率的取值范围是_____________．
分析：∵、为定点，为动点，可以点坐标作为参数，把，转化为点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于、、的一个不等式，转化为关于的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
解：设椭圆的参数方程是，则椭圆上的点，，
∵，∴，
即，解得或，
∵　∴（舍去），，又
∴，∴，又，∴．
变式1.椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，则点的坐标是________________．
分析：本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求均可用此法．
解：由已知：，．所以，右准线．
过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以．
课后习题
一．单选题
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)
A．至多为1 B．2
C．1 D．0
答案　B
解析　由题意知，>2，即<2，
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
故所求交点个数是2.
2．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是(　　)
A．2 B.
C．4 D．不能确定
答案　B
解析　直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，
则弦长为＝
＝，
当y＝－时，弦长最大为.
3．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.
联立解得交点坐标为(0，－2)，，
不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，
∴S△OAB＝·OF·|yA－yB|
＝×1×＝，
故选B.
4．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)
A．至多为1　　　　　　　 B．2
C．1 D．0
解析：选B　由题意知＞2，即＜2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.
5．中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C　由题设知c＝5，设椭圆方程为＋＝1，联立方程消去y，整理得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝＝1，解得a2＝75，所以椭圆方程为＋＝1.
6．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)
A．4 B.3
C．2 D．1
解析：选D　∵(＋)·＝(－)·＝·＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝(m＋n)2－m2－n2＝4，mn＝2，∴＝mn＝1.
7.过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若＜k＜，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.

解析：选C　由题意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，于是k＝.又＜k＜，所以＜＜，化简可得＜＜，从而可得＜e＜，选C.
8．(2020·南昌模拟)椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，
则＝－1，＝－1，
由题意知，＝－1，
过点与原点的直线的斜率为，
即＝，
∴×(－1)×＝－1，
∴＝，故选B.
方法二　由消去y，
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
可得AB中点P的坐标为，
∴kOP＝＝，∴＝.
9．(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C：x2＋＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为上顶点．若BM＝BN，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　设直线y＝x＋m与椭圆x2＋＝1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立得(b2＋1)x2＋2mx＋m2－b2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
Δ＝(2m)2－4(b2＋1)(m2－b2)＝4b2(b2＋1－m2)>0.
设线段MN的中点为G，知G点坐标为，
因为BM＝BN，所以直线BG垂直平分线段MN，
所以直线BG的方程为y＝－x＋b，且经过点G，
可得＝＋b，解得m＝.
因为b2＋1－m2>0，所以b2＋1－2>0，
解得0 因为e2＝1－b2，所以 10．已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是(　　)
A．[0,3)　　　　　　　 B．(0,2)
C．[2，3) D．(0,4]
解析：选B　如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.∵·＝0，∴⊥.又MP为∠F1PF2的平分线，∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点．∵O为F1F2的中点，∴OM=F2G.∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||，∴||＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.∵4－2＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋2，∴||∈(0,2)．
11．已知椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则的取值范围为(　　)
A．(1,6) B.(1,5)
C．(3,6) D．(3,5)
解析：选D　由于椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，所以解得3＜a2＜5.设椭圆M：＋y2＝1与圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限的公共点P(x0，y0)，则椭圆M在点P处的切线方程为＋y0y＝1，圆C在P处的切线方程为x0x＋y0y＝6－a2，所以k1＝－，k2＝－，＝a2，所以∈(3,5)．
12．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆在其上一点A(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，其焦距为2，且过点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　)
A. B. C. D．2
答案　B
解析　由题意可得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，
将点代入椭圆方程，可得＋＝1，
解得a＝，b＝1，
即椭圆的方程为＋y2＝1，设B(x2，y2)，
则椭圆C1在点B处的切线方程为x＋y2y＝1，
令x＝0，得yD＝，令y＝0，可得xc＝，
所以S△OCD＝··＝，
又点B为椭圆在第一象限上的点，
所以x2>0，y2>0，＋y＝1，
即有＝＝＋≥2＝，
即S△OCD≥，当且仅当＝y＝，
即点B的坐标为时，△OCD面积取得最小值，故选B.

二．多选题
13．(多选)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有(　　)
A.＋<1 B.＋>1
C.＋<1 D．4x＋3y>1
答案　ACD
解析　由椭圆＋＝1，
可得a＝2，b＝，c＝1.
∴左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，
设A(0，)，则tan∠AF1F2＝，
可得∠AF1F2＝，
∴∠F1AF2＝.
∵l1⊥l2，∴直线l1与直线l2的交点M在椭圆的内部．
∴＋＜1，A正确；B不正确；
直线＋＝1与椭圆＋＝1联立，
可得7y2－24y＋27＝0无解，
因此直线＋＝1与椭圆＋＝1无交点．
而点M在椭圆的内部，在直线的左下方，
∴满足＋＜1，C正确．
∵x＋y＝1,0≤y≤1，
∴4x＋3y＝4(1－y)＋3y＝4－y＞1，因此D正确．
故选ACD.
三．填空题
14．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则即所以(x1－x2)＝(x－x)，所以＝x1＋x2.又－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，x1≠x2，所以－2a＜x1＋x2＜2a，则＜2a，即＜，所以e2＝1－＞.又0＜e＜1，所以＜e＜1.
答案：
15．过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为__________．
解析：过点M(－2,0)的直线m的方程为y－0＝k1(x＋2)，代入椭圆方程化简得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－2＝0，所以x1＋x2＝，所以点P，直线OP的斜率k2＝－，所以k1k2＝－.
答案：－
16．(2019·广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线y＝x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为__________．
解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意可知c＝1，即a2－b2＝1①，设点F(1,0)关于直线y＝x的对称点为(m，n)，可得＝－2②.又因为点F与其对称点的中点坐标为，且中点在直线y＝x上，所以有＝×③，联立②③，解得即对称点为，代入椭圆方程可得＋＝1④，联立①④，解得a2＝，b2＝，所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
17．设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为___________________．
答案　＋＝1
解析　∵△F2AB是面积为4的等边三角形，
∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，
可求得F1A＝F1B＝.
又F1F2＝2c，∠F1F2A＝30°，
∴＝×2c.①
又＝×2c×＝4，②
a2＝b2＋c2，③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
18．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是________．
答案　1
解析　∵(＋)·＝(＋)·
＝·＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设PF1＝m，PF2＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12，
∴2mn＝4，mn＝2，
∴＝mn＝1.
19．(2020·湖北部分重点中学联考)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且AF1＝3BF1，AB＝BF，则椭圆C的离心率为________．
答案　
解析　设BF1＝k，则AF1＝3k，BF2＝4k.
由BF1＋BF2＝AF1＋AF2＝2a，
得2a＝5k，AF2＝2k.
在△ABF2中，cos∠BAF2＝＝，
又在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，
所以2c＝k，故离心率e＝＝.
20．已知椭圆C：＋＝1，过椭圆C上一点P(1，)作倾斜角互补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，B两点，则直线AB的斜率为________．
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设PA的方程为y－＝k(x－1)，代入椭圆方程化简，得(k2＋2)x2－2k(k－)x＋k2－2k－2＝0，显然1和x1是这个方程的两解，
因此x1＝，y1＝，
由－k代替x1，y1中的k，得
x2＝，y2＝，
所以＝.
故直线AB的斜率为.
21．(2019·衡水调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，斜率为－的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为________．
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1，
两式相减得＋＝0.(*)
因为△ABF1的重心为G，
所以故
代入(*)式得＋＝0，
所以＝－＝－，即a2＝3b2，
所以椭圆C的离心率e＝.
四．解答题
22.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．
解：(1)由题可知c＝，＝2，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意．当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立消去x可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.
Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝，y1y2＝.∵点B在以MN为直径的圆上，∴·＝0.
∵·＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0，∴(m2＋1)·＋(m－1)·＋2＝0，整理，得3m2－2m－5＝0，解得m＝－1或m＝.∴直线l的方程为x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0.
23．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
解：（1）如题图所示，设所求椭圆的标准方程为(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．
因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得，结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率．
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2．
由题设条件＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20，因此所求椭圆的标准方程为．
（2）由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2．代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，
所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝．
由PB2⊥QB2，得·＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2．
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0．
24．已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积．
解　(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意可得解得
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)直线OP的方程为y＝x，设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1＝0，
由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2<4，
所以x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－1.
由OA⊥OB，得·＝0，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋
＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝(m2－1)＋m·(－m)＋m2＝m2－＝0，得m2＝.
又AB＝＝·，
O到直线AB的距离d＝＝，
所以S△AOB＝·AB·d
＝×××＝.
25.已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；
(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l.
解：由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．(1)∵直线l1的倾斜角为，∴斜率k＝1.∴直线l1的方程为y＝x－1.代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.∴|AB|＝·＝× ＝.(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.设N(5，y0)，∵A，M，N三点共线，∴＝，∴y0＝.而y0－y2＝－y2＝－k(x2－1)＝＝＝0.∴直线BN∥x轴，即BN⊥l.