第八章第六节椭圆-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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这是一份第八章第六节椭圆-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案，文件包含第八章第六节椭圆原卷版docx、第八章第六节椭圆解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共33页，欢迎下载使用。

1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a2．椭圆的标准方程和几何性质

3.椭圆的第二定义
平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(0课前检测
1.若曲线eq \f (x2,1－k)＋eq \f (y2,1＋k)＝1表示椭圆,则k的取值范围是( )
A．k>1 B．k<－1
C．－1
2.椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,m)＝1的焦距为2eq \r(7)，则m的值为( )
A．9 B．23
C．9或23 D．16－eq \r(7)或16＋eq \r(7)
3．椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为( )
A．12 B．16
C．20D．24
4.(2020·湖北模拟)如图所示，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为 C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1
C.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1

5.（多选）已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论不正确的是( )
A．长轴长为eq \f(1,2) B．焦距为eq \f(\r(3),4)
C．短轴长为eq \f(1,4) D．离心率为eq \f(\r(3),2)

6．已知椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1(m>0)的离心率e＝eq \f(\r(10),5)，则m的值为________．
课中讲解
考点一.椭圆的定义及其应用
例1(1)如图所示,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169,C2：(x＋4)2＋y2＝9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．eq \f (x2,64)－eq \f (y2,48)＝1 B．eq \f (y2,64)＋eq \f (x2,48)＝1
C．eq \f (x2,48)－eq \f (y2,64)＝1 D．eq \f (x2,64)＋eq \f (y2,48)＝1
变式1.设F1，F2为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则eq \f(|PF2|,|PF1|)的值为( )
A.eq \f(5,14)B.eq \f(5,9)
C.eq \f(4,9)D.eq \f(5,13)

例2．(2019·合肥质量检测)如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( )
A．20B.10
C．2eq \r(5)D．4eq \r(5)

变式2.(1)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq \(PF1,\s\up7(―→))⊥eq \(PF2,\s\up7(―→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.
(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
考点二.椭圆的标准方程
例1 (1)(2020·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(1,2)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8，则椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
C.eq \f(x2,2)＋y2＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1
(2)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若AF2＝2F2B，AB＝BF1，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
变式1.(1)(2019·黄冈模拟)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1
C.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1D.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq \r(3)，eq \r(5))，则椭圆的方程为____________________．
(3)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________________．
变式2.(1)(2019·福建泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，MF1·MF2＝8，则该椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,7)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1
(2)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同离心率且经过点(2，－eq \r(3))的椭圆标准方程为________．
考点三.椭圆的离线率
例1. (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3)D.eq \f(1,4)
(2)(2019·福州模拟)过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5)))B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
变式1.（1）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(5)－1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(6),3)
(2)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．

例2.已知椭圆C：eq \f (x2,a2)＋eq \f (y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切,则C的离心率为( )
A．eq \f (\r(6),3) B．eq \f (\r(3),3) C．eq \f (\r(2),3) D．eq \f (1,3)
变式2.正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3)－1,2)))
考点三.椭圆中的范围问题
例1．(2018·南充模拟)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．
变式1.设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3)]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3)]∪[4，＋∞)
例2.如图所示,焦点在x轴上的椭圆eq \f (x2,4)＋eq \f (y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f (1,2),F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,则eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为________．

变式2.已知点P(0,1)，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．
例3.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．

变式3. P为椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,15)＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则eq \(PE,\s\up7(―→))·eq \(PF,\s\up7(―→))的取值范围是( )
A．[0,15]B.[5,15]
C．[5,21]D．(5,21)
课后习题
单选题
1.已知方程eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,m＋2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是( )
A．m>2或m<－1 B．m>－2
C．－12或－22.焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4eq \r(5)，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,36)＝1
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,4)＝1
3．已知(0，－4)是椭圆3kx2＋ky2＝1的一个焦点，则实数k的值是( )
A．6 B．eq \f(1,6) C．24 D．eq \f(1,24)
4．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则△F1PF2的面积为( )
A．12 B．10 C．9 D．8
5．(2018·大连二模)焦点在x轴上的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为eq \f(b,3)，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,4)B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2)D.eq \f(2,3)
6．若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))的最大值为 ( )
A．2B.3
C．6D．8
7. (2019·滁州模拟)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))

8．(2019·长沙模拟)设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(5),3)))B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),3)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\r(3)－1))D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)－1，1))
9．(2019·郑州质量预测)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点和上顶点分别为A，B.左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为( )
A.eq \f(\r(3),2)B.eq \f(3－\r(5),2)
C.eq \f(－1＋\r(5),2)D.eq \f(\r(3)－1,2)

10．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),3)B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2),2)D.eq \f(\r(3),2)

11．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线eq \f(x2,m)＋y2＝1的离心率为( )
A.eq \f(\r(30),6)B.eq \r(7)
C.eq \f(\r(30),6)或eq \r(7)D.eq \f(5,6)或eq \r(7)
12．设F是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆x2＋y2＝eq \f(a2,9)与线段PF交于A，B两点，若A，B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),3)B.eq \f(\r(5),3)
C.eq \f(\r(10),4)D.eq \f(\r(17),5)

多选题
13．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则( )
A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝eq \r(m＋Rn＋R)
14．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为eq \f(\r(6),3)，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的方程为eq \f(y2,3)＋x2＝1
B．椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1
C．PQ＝eq \f(2\r(3),3)
D．△PF2Q的周长为4eq \r(3)
15.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦点是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
16.已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,3)＝1(a>0)的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过点F的直线l与圆M相切，则有( )
A．m＝－1 B．m＝13
C．c＝－1 D．a＝2
填空题
17.(2020·河南模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ.则椭圆C的离心率为__________．
18.已知F1和F2是椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的两个焦点，点P在椭圆上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为______，P点的坐标________．
19．(2019·浙江)已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．

20．已知点A在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上，点P满足eq \(AP,\s\up7(―→))＝(λ－1)eq \(OA,\s\up7(―→)) (λ∈R)，且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OP,\s\up7(―→))＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为__________．
21. (2019·嘉兴模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于eq \f(\r(3),2)(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．
解答题
22．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连接PF1并延长交椭圆于另一点Q，设eq \(PF1,\s\up6(→))＝λeq \(F1Q,\s\up6(→)).
(1)若点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；
(2)若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，求实数λ的取值范围．

24．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使eq \f(1－cs 2∠PF1F2,1－cs 2∠PF2F1)＝eq \f(a2,c2)，求该椭圆的离心率的取值范围．
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1
(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1
(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点
坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
F1F2＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2