人教B版数学高一必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 单元复习 知识梳理

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第一章 集合与常用逻辑用语 单元复习【知识梳理】 一、元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.二、集合中元素的特征集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.三、元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.四、常用的数集及其记法五、列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法.六、描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.七、子集的含义(1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.(2)子集的概念八、真子集与集合相等(1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集.九、空集一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集.十、并集十一、交集十二、交集与并集的运算性质(1)A∪A＝A，A∪∅＝A；A∩A＝A，A∩∅＝∅.(2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.十三、全集与补集的含义一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.十四、补集的性质①∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U.②A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.十五、全称量词与全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x).十六、存在量词与存在量词命题十七、全称量词命题的否定(1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.(2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.十八、存在量词命题的否定十九、充分条件与必要条件二十、充要条件【热考题型】【考点1】集合及其表示方法一、单选题1．（2022秋·广东汕头·高一校考期中）下列说法中，正确的个数是（    ）①的近似值的全体构成一个集合 ②自然数集N中最小的元素是0③在整数集Z中，若，则 ④一个集合中不可以有两个相同的元素A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（    ）A．由1，2，3组成的集合可表示为或B．与是同一个集合C．集合与集合是同一个集合D．集合与集合是同一个集合3．（2023春·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）已知集合，，则（    ）A． B． C． D．4．（2023秋·江西·高二宁冈中学校考开学考试）已知集合，，则（    ）A． B． C．或 D．5．（2022·高一课时练习）若，则的值为（    ）A． B． C．或 D．6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则 （    ）A． B． C． D．7．（2023·全国·高一假期作业）下列说法：①集合用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（　　）A．3 B．2C．1 D．08．（2022秋·高一课时练习）若，则可用列举法将集合表示为（　　）A．B．C．D．9．（2021·全国·高一专题练习）给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题10．（2023秋·高一单元测试）下列四个命题：其中不正确的命题为（    ）A．是空集 B．若，则；C．集合有一个元素 D．集合是有限集.11．（2023秋·高一单元测试）设集合，且，则x的值可以为（    ）A．3 B． C．5 D．三、填空题12．（2022·高一课时练习）用区间表示下列集合： ； ； ； .13．（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）是单元素集，则实数的取值是 ．14．（2022秋·高一单元测试）已知集合，则集合B中有 个元素．【考点2】集合的基本关系一、单选题1．（2023春·江西九江·高二统考期末）已知集合，则集合的子集个数为（    ）A．1 B．2 C．4 D．82．（2023·全国·高一专题练习）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（    ）A．3种 B．5种 C．7种 D．9种3．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知集合，则下列关系中，正确的是（     ）.A． B． C． D．4．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）若集合,则能使成立的所有组成的集合为（   ）A． B． C． D．5．（2021秋·浙江台州·高一台州市书生中学校考阶段练习）若，则的值为（    ）A． B．3 C． D．76．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　）A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1二、多选题7．（2022秋·陕西西安·高一高新一中校考期中）若集合，则之间的关系是（    ）A． B． C． D．8．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若时，则或三、填空题9．（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ．10．（2021秋·高一课时练习）已知集合，若，则实数a的取值范围为 ．【考点3】集合的基本运算一、单选题1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知集合，则（    ）A． B． C． D．2．（2023秋·重庆·高三统考开学考试）已知集合，，，则（    ）A．或 B．或 C．或 D．或或3．（2023春·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．4．（2023春·陕西西安·高二校考阶段练习）已知集合，，，则（    ）A．或 B． C．或 D．5．（2023春·江西萍乡·高一萍乡市安源中学校考期末）已知集合或，则（    ）A． B． C． D．6．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（    ）A．30 B．31 C．32 D．337．（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期末）已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（    ）A． B． C． D．二、多选题8．（2022秋·广东潮州·高一校考阶段练习）设全集，集合，若，则（    ）A． B． C． D．，9．（2021秋·高一单元测试）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是（　　）A． ={1} B． ={1,2,3,4,5,6}C． ={1,2,4,6} D．={3,5}三、填空题10．（2022春·山西临汾·高二校考阶段练习）某学校开设校本课程，高一（2110）班确定了数学类､英语类､历史类三个类别校本课程供班上的40名学生选择参加，且40名学生全部参与选择.其中只选数学类的有8人，只选英语类的有8人，只选历史类的有8人，既选数学类又选英语类的有7人，既选数学类又选历史类的有11人，既选英语类又选历史类的有8人，则三类课程都选择参加的有 人.11．（2021秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第八十三中学校考开学考试）设全集U={1，2，3，4，5}，∁U（A∪B）={1}，A∩（∁UB）={3，4，5}，则集合B= 12．（2022·高一课时练习）函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示.若集合，，则中有 个元素.【考点4】命题与量词一、单选题1．（2020秋·云南德宏·高一校考阶段练习）下列语句是命题的一句是A．x—1 =0 B．2+3=8 C．你会说英语吗 D．这是一棵大树2．（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（　　）①是一元二次方程；②函数的图象与x轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个 B．2个C．3个 D．4个3．（2021·高一课前预习）命题“正方形的四条边都相等”中的条件是A．正方形 B．正方形的四条边 C．四条边 D．四条边都相等4．（2021·高一单元测试）命题,若是真命题,则实数的取值范围为(    )A． B． C． D．【考点5】全称量词命题与存在量词命题的否定一、单选题1．（2022秋·辽宁大连·高一大连市第十二中学校考阶段练习）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）A．， B．所有的正方形都是矩形C． D．至少有一个实数x，使2．（2022·全国·高三专题练习）命题的否定为（  ）A． B．C． D．3．（2023·河北·模拟预测）命题：，，命题：，，则（    ）A．真真 B．假假 C．假真 D．真假4．（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）若命题“，”为真命题，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．5．（2022秋·安徽安庆·高三安庆市第九中学校考阶段练习）命题，，则为（    ）A．， B．，C．， D．，6．（2022秋·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习）若命题:，则（    ）A．命题为真命题，且：B．命题为真命题，且：C．命题为假命题，且：D．命题为假命题，且：7．（2022·江苏·高一期中）命题p：，使得成立.若p为假命题，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．（2021秋·广东广州·高一校考阶段练习）已知命题：∃，；命题：∀，.若、都为假命题，则实数的取值范围是(　　)A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1]二、多选题9．（2023春·新疆·高二统考期末）下列四个命题中假命题是（    ）A．， B．，C．，使 D．，10．（2023·全国·高一假期作业）已知命题，，若p为真命题，则实数a的值可以是（    ）A． B．0 C． D．三、填空题11．（2022秋·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）设命题，，则命题p的否定为 .12．（2022秋·陕西榆林·高二校考阶段练习）若“”是假命题，则实数的取值范围是 .【考点6】充分条件、必要条件一、单选题1．（2023春·江西九江·高二校考期末）“”是“方程无实数解”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．3．（2023春·江西·高一吉安三中校考期末）“”是“”的（     ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2022春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）已知，，若P是Q的必要条件，则实数m的取值范围是（    ）A． B．C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）已知，是实数，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题6．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考期末）下列说法正确的是（    ）A．命题“”的否定是“”．B．命题“”的否定是“”C．“是“”的必要条件．D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件7．（2020秋·安徽淮北·高一校考阶段练习）下列叙述不正确的是（    ）A．的解是B．“”是“”的充要条件C．已知，则“”是“”的充分不必要条件D．函数的最小值是三、填空题8．（2022秋·甘肃天水·高一天水市第一中学校考期中）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是 ．9．（2022秋·河南安阳·高一汤阴县第一中学校考阶段练习）给出下列命题：①已知集合，且，则集合的真子集个数是4；②“”是“”的必要不充分条件；③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件④设，则“”是“”的必要不充分条件其中所有正确命题的序号是 ．、名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR文字语言符号语言图形语言一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)自然语言符号语言图形语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}自然语言符号语言图形语言一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”全称量词命题全称量词命题的否定结论∀x∈M，p(x)∃x∈M，¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题存在量词命题的否定结论∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件， q是p的必要条件p不是q的充分条件，q不是p的必要条件命题真假若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题推出关系p⇔q条件关系p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件