人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试课后复习题

专题强化练2　三个二次(二次函数、

二次方程、二次不等式)的综合运用

一、选择题

1.(2019河南郑州一中高二上期中,)下列不等式的解集为实数集R的是 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.x2+4x+4>0 B.>0

C.x2-x+1≥0 D.-1<

2.()若不等式ax2+bx+1>0的解集为,则a+b的值为 (　　)

A.5    B.-5 C.6    D.-6

3.(2020吉林长春第八中学高一月考,)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则不等式cx2+bx+a<0的解集为              (　　)

A. B.

C. D.

4.()若对任意实数x,不等式2kx2+kx-3<0恒成立,则实数k的取值范围是 (　　)

A.-24<k<0 B.-24<k≤0

C.0<k≤24 D.k≥24

5.()若关于x的方程x2+(m-1)x+m2-2=0的一个实数根小于-1,另一个实数根大于1,则实数m的取值范围是              (　　)

A.{m|-2<m<2} B.{m|-2<m<0}

C.{m|-2<m<1} D.{m|0<m<1}

6.(2020江苏南京人民中学高一月考,)定义在R上的运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意实数x都成立,则              (　　)

A.-<a< B.-<a<

C.-1<a<1 D.0<a<2

7.(多选)()已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则a的值可以是(　　)

A.6   B.7    C.8     D.9

二、填空题

8.(2021北京交通大学附属中学高一上期中,)若不等式x2-ax+2<0在x∈{x|1<x<2}时恒成立,则a的取值范围是　　　　. 

9.(2021湖南师范大学附属中学高一上期中,)设关于x的不等式ax2+8(a+1)x+7a+16≥0(a∈Z)只有有限个整数解,且0是其中一个解,则全部不等式的整数解的和为　　　　. 

三、解答题

10.()在一个限速40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问谁应负主要责任?

11.()(1)若不等式ax2+3x+2>0的解集为{x|b<x<1},求a,b的值;

(2)求关于x的不等式ax2+3x+2>-ax-1(其中a>0)的解集.

12.(2021广东中山纪念中学高一上段考,)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式ax2+ax-6<0的解集为B.

(1)若a=1,求A∩B;

(2)在(1)的前提下,若不等式x2+mx+n<0的解集为A∩B,求不等式mx2+x+n<0的解集;

(3)∀x∈R,ax2+ax-6<0,求a的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.C　当x=-2时,选项A中的不等式不成立;当x=0时,选项B中的不等式不成立;对于选项C,Δ=1-4<0,且y=x2-x+1的图象开口向上,故y=x2-x+1的图象与x轴无交点,所以不等式x2-x+1≥0的解集为R;当x=0时,选项D中的不等式不成立.故选C.

2.B　由题意知-1,是关于x的方程ax2+bx+1=0的两个根,且a<0,

∴

解得

∴a+b=-5.

3.A　由题意知,ax2+bx+c=0的两根分别为x1=-,x2=2,且a<0,则解得代入cx2+bx+a<0,得cx2+cx-c<0.因为a<0,所以c>0,所以cx2+cx-c<0可化为2x2+5x-3<0,解得-3<x<,故不等式cx2+bx+a<0的解集为.故选A.

4.B　当k=0时,不等式为-3<0,不等式恒成立;当k≠0时,若不等式恒成立,则解得-24<k<0.

综上所述,-24<k≤0,故选B.

5.D　令y=x2+(m-1)x+m2-2,作出函数的大致图象如图所示,

由图象知,当x=-1时,y=m2-m<0,解得0<m<1;当x=1时,y=m2+m-2<0,解得-2<m<1.

综上可得,0<m<1,故选D.

6.B　不等式(x-a)*(x+a)<1可化为(x-a)·(1-x-a)<1,即x2-x+a-a2+1>0对任意实数x都成立,∴Δ=1-4×(a-a2+1)<0,解得-<a<.故选B.

7.ABC　设y=x2-6x+a,其图象开口向上,对称轴是直线x=3,如图所示.

若关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则解得5<a≤8,

又a∈Z,故a的值可以为6,7,8.故选ABC.

二、填空题

8.答案　a≥3

解析　根据函数y=x2-ax+2的图象可知,只要保证在x=1和x=2时的函数值均小于等于0即可,

即解得a≥3.

故答案为a≥3.

9.答案　-10

解析　设y=ax2+8(a+1)x+7a+16,

对于任意一个给定的a值,只有其图象开口向下时才能满足y≥0的整数解只有有限个,∴a<0,∵0是其中一个解,∴可求得a≥-.

又a∈Z,∴a=-2或a=-1,

则不等式为-2x2-8x+2≥0或-x2+9≥0,

解得-2-≤x≤-2或-3≤x≤3.

∵x∈Z,∴x=-4,-3,-2,-1,0或x=-3,-2,-1,0,1,2,3,

∴全部不等式的整数解的和为-10.

故答案为-10.

三、解答题

10.解析　设甲车车速为x甲km/h,乙车车速为x乙km/h.由题意列出不等式s甲=0.1x甲+0.01>12,

s乙=0.05x乙+0.005>10,

分别求解,得x甲<-40或x甲>30,x乙<-50或x乙>40.

由于x>0,从而得x甲>30,x乙>40.

经比较知乙车超过限速,故乙应负主要责任.

11.解析　(1)由不等式ax2+3x+2>0的解集为{x|b<x<1}可知1为ax2+3x+2=0的一个根且a<0,将x=1代入ax2+3x+2=0,可得a=-5,

所以不等式ax2+3x+2>0即为不等式-5x2+3x+2>0,可转化为(x-1)(5x+2)<0,

所以原不等式的解集为,所以b=-.

(2)不等式ax2+3x+2>-ax-1可化为ax2+(a+3)x+3>0,即(ax+3)(x+1)>0.

当-<-1,即0<a<3时,原不等式的解集为;

当-=-1,即a=3时,原不等式的解集为{x|x≠-1};

当->-1,即a>3时,原不等式的解集为.

综上所述,当0<a<3时,原不等式的解集为;

当a=3时,原不等式的解集为{x|x≠-1};

当a>3时,原不等式的解集为.

12.解析　(1)由题可知A={x|-1<x<3},当a=1时,B={x|-3<x<2},

∴A∩B={x|-1<x<2}.

(2)∵不等式x2+mx+n<0的解集为A∩B={x|-1<x<2},

∴-1和2是方程x2+mx+n=0的两个根,

∴解得

∴mx2+x+n<0即-x2+x-2=--<0,其解集为R.

(3)当a=0时,-6<0恒成立,符合题意;

当a≠0时,∵∀x∈R,ax2+ax-6<0,

∴解得-24<a<0.

综上可得,a的取值范围是{a|-24<a≤0}.