数学必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质第1课时学案设计

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3．2.2　奇偶性
第1课时　奇偶性的概念
学习目标　1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．

知识点　函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称

思考　具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
答案　定义域关于原点对称．
特别提醒　理解函数的奇偶性应关注三点
(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数．
(2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.
(3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集．

1．f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　×　)
2．函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　×　)
3．对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　×　)
4．不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　×　)
5．若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　×　)
6．函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．(　×　)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、函数奇偶性的判断
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(2)函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，
则f(x)＝0，
又f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)既是偶函数又是奇函数．
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
反思感悟　判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)．
解　(1)f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.
∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．
二、奇、偶函数的图象及应用
例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．

(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
解　(1)由题意作出函数图象如图．

(2)据图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2 (学生)
反思感悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．
(教师)
延伸探究
1．本例条件下，f(x)取何值时，有四个不同的x值与之对应？
解　结合图象可知，f(x)的取值范围是(－1,0)．
2．若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
解　(1)由题意作出函数图象如图所示．

(2)据图可知，单调增区间为(－1,1)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－22}．
跟踪训练2　定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．

(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
解　(1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．

(2)观察图象，知f(3) 三、利用函数的奇偶性求值
例3　(1)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；b＝________.
答案　－1　1
解析　当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1.
(2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
答案　7
解析　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，
又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.
又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.
(学生)
反思感悟　利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
跟踪训练3　(1)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
答案　－1
解析　因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.
(2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则
f(f(－2))＝________.
答案　1
解析　因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝0，
所以f(f(－2))＝f(0)＝1.

1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
答案　C
解析　∵奇函数的定义域关于原点对称，
∴a－1＝0，即a＝1.
2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)

答案　B
解析　选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．
3．(多选)下列函数是奇函数的是(　　)
A．y＝x(x∈[0,1]) B．y＝3x2
C．y＝ D．y＝x|x|
答案　CD
解析　利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；
又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B.
4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝________.
答案　3
解析　∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.
5．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
答案　0
解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.

1．知识清单：
(1)函数奇偶性的概念．
(2)奇函数、偶函数的图象特征．
2．方法归纳：特值法、数形结合法．
3．常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称．


1．(多选)下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x5
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
答案　ABC
解析　选项ABC中的函数满足f(－x)＝－f(x)，由奇函数的定义可知选ABC.
2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案　B
解析　∵F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　A
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(1)＝－f(－1)＝－.
4．函数f(x)＝－x的图象(　　)
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
答案　C
解析　∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
5．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　)

A．－2 B．2 C．1 D．0
答案　A
解析　f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)
＝－－＝－2.
6．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
答案　0
解析　由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，
得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
7．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
答案　5
解析　因为f(x)是奇函数，
所以f(－3)＝－f(3)＝－6，
所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.
8．若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：
①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；
③f(x)·f(－x)<0；④＝－1.
其中一定正确的为________．(填序号)
答案　①②
解析　∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．
f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．
当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．
当x＝0时，分母为0，无意义，故④不正确．
9．已知函数f(x)＝x＋(a>0)．
(1)若f(1)＝3，求a的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明．
解　(1)由题意知，f(1)＝1＋a＝3，
所以a＝2>0满足题意．
(2)函数f(x)为奇函数，证明如下：
函数f(x)＝x＋(a>0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称．
又因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；

(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
解　(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.

(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(－x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．


11．函数f(x)＝是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案　B
解析　若x是有理数，则－x也是有理数，
∴f(－x)＝f(x)＝1；若x是无理数，则－x也是无理数，
∴f(－x)＝f(x)＝0.∴函数f(x)是偶函数．
12．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案　ABD
解析　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数．
13．已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 020x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为________．
答案　0
解析　奇函数的图象关于原点对称，
所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2，
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，
所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.
14．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．

答案　[－6，－3)∪(0,3)
解析　由f(x)在[0,6]上的图象知，
满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．
又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，
所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．
综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．

15．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
答案　
解析　根据题意，f(x)＝＝1＋，
而h(x)＝是奇函数，
故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]
＝2－f(a)＝2－＝.
16．已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
(1)证明　由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)解　由(1)知f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a.