江苏省泰州市高港区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(word版含答案)

这是一份江苏省泰州市高港区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(word版含答案)，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省泰州市高港区九年级第一学期期中数学试卷
一、单选题（每题3分，共18分）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．（x+2）（x﹣3）＝（x﹣1）2
C．x2+1＝0 D．+x＝1
2．下面四条线段中成比例线段的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝3，b＝6，c＝9，c＝12
C．a＝1，b＝，c＝，d＝ D．a＝1，b＝2，c＝4，d＝6
3．下列命题中为真命题的是（　　）
A．有一个角是40°的两个等腰三角形相似
B．三点一定可以确定一个圆
C．圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等
D．三角形的内心到三角形三边距离相等
4．如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．
5．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，下列方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝81 B．1+x+x2＝81
C．1+x+x（x+1）＝81 D．1+（x+1）2＝81
6．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上．AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E．连接BE，则BE的最小值是（　　）

A． B． C．﹣2 D．2﹣
二、填空题（每题3分，共30分）.
7．已知⊙O直径为10，点A到点O距离为8，则点A在⊙O　 　．（填“上、内或外”）
8．在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是 　 　km．
9．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特意将汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为2米，则该车车身总长约为 　 　米（倒车镜到车尾部分较长，结果保留根号）．

10．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为50°，则∠BCD的度数为 　 　．

11．小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形无底彩色纸帽，如果纸帽的底面半径为8cm，母线长为30cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 　 　cm2．（结果保留π）
12．如上图，⊙O的弦AB＝8cm，DC＝2cm，直径CE⊥AB于D，半径OC的长为 　 　cm．

13．在△ABC中，如果AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是 　 　cm．
14．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝　 　．
15．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝　 　时，△BPQ与△BAC相似．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，点D在AC边上运动，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为C′，在点D从点C到点A的动过程中，点C′运动的路径长为 　 　．

三、解答题.
17．解方程．
（1）（x﹣3）2＝3﹣x．
（2）2x2﹣4x+1＝0（配方法）．
18．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留痕迹）；
（2）求最小覆盖圆的面积．

19．某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示．

平均分（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分2）
七年级
a
85
b
S七年级2
八年级
85
c
100
160
（1）根据图示填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？
（3）计算七年级代表队决赛成绩的方差S七年级2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．

20．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．

21．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m得值．
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．
（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．

23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC，BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB．
（2）求证：．

24．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）试利用无刻度的直尺画出∠BAC的平分线，并说明理由；
（2）若CD＝CB，⊙O的半径为2，求劣弧BC的长．

25．探究问题：如图1，PM、PN、EF分别切⊙O于点A、B、C，猜想△PEF的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论．
变式迁移：如果图1的条件不变，且PO＝10厘米，△PEF的周长为16厘米，那么⊙O的半径为 　 　厘米．
拓展提高：如图2，点E是∠MPN的边PM上的点，EF⊥PN于点F，⊙O与边EF及射线PM、射线PN都相切．①画出符合条件的⊙O；②若EF＝3，PF＝4，求⊙O的半径．

26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB＝20cm，动点D由点C向点A以每秒1cm速度在边AC上运动，动点E由点C向点B以每秒cm速度在边BC上运动，若点D，点E从点C同时出发，运动t秒（t＞0），连接DE．
（1）求证：△DCE∽△BCA．
（2）设经过点D、C、E三点的圆为⊙P，连接CP并延长，交AB于点H．
①试说明CH⊥AB．
②当⊙P与边AB相切时，求t的值．
③在点D、点E运动过程中，若⊙P与边AB交于点F、G（点F在点G左侧），当△PFH与△CDE相似时，求t的值．




参考答案
一、单选题（每题3分，共18分）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．（x+2）（x﹣3）＝（x﹣1）2
C．x2+1＝0 D．+x＝1
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、a＝0时，不是一元二次方程，选项错误；
B、原式可化为：x﹣7＝0，是一元一次方程，故选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，正确；
D、是分式方程，选项错误．
故选：C．
2．下面四条线段中成比例线段的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝3，b＝6，c＝9，c＝12
C．a＝1，b＝，c＝，d＝ D．a＝1，b＝2，c＝4，d＝6
【分析】根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，选出正确答案即可．
解：A、1×4≠2×3，故本选项不符合题意；
B、3×12≠6×9，故本选项不符合题意；
C、1×＝×，故本选项符合题意；
D、1×6≠2×4，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．下列命题中为真命题的是（　　）
A．有一个角是40°的两个等腰三角形相似
B．三点一定可以确定一个圆
C．圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等
D．三角形的内心到三角形三边距离相等
【分析】A、不知道40°的角是底角还是顶角，无法判断相似；
B、三点共线不能确定圆；
C、要有在同圆或等圆中的条件；
D、根据三角形内心的性质进行判断．
解：当一个等腰三角形的顶角等于40°而另一个等腰三角形的底角是40°，则这两个三角形不相似，所以A错；
只有不共线的三点才确定一个圆，所以B错；
只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等，所以C错；
内心就是三角形角平分线的交点，则它到三角形三边的距离相等，所以D对．
故选：D．
4．如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
解：已知给出的三角形的各边分别为 、2、、
只有选项A的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选：A．
5．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，下列方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝81 B．1+x+x2＝81
C．1+x+x（x+1）＝81 D．1+（x+1）2＝81
【分析】首先设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染得出即可．
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．
根据题意，得：1+x+x（1+x）＝81，
故选：C．
6．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上．AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E．连接BE，则BE的最小值是（　　）

A． B． C．﹣2 D．2﹣
【分析】如图，取AC的中点O′，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
解：如图，取AC的中点O′，连接BO′、BC．

∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，
在Rt△BCO′中，BO′＝＝，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，
故选：C．
二、填空题（每题3分，共30分）.
7．已知⊙O直径为10，点A到点O距离为8，则点A在⊙O　外　．（填“上、内或外”）
【分析】根据d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．依此即可求解．
解：根据题意得，r＝×10＝5，
d＝8＞r，
点A在⊙O外．
故答案为：外．
8．在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是 　2.8　km．
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
解：设这条道路的实际长度为x，则：
，
解得x＝280000cm＝2.8km．
∴这条道路的实际长度为2.8km．
故答案为：2.8
9．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特意将汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为2米，则该车车身总长约为 　（）　米（倒车镜到车尾部分较长，结果保留根号）．

【分析】设该车车身总长为xm，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，则根据题意列方程x﹣x＝2，然后解方程即可．
解：设该车车身总长为xm，
∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，
∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为x，
∴x﹣x＝2，解得x＝+3，
即该车车身总长为（+3）米．
故答案为：+3．
10．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为50°，则∠BCD的度数为 　65°　．

【分析】根据圆周角定理分别求出∠ACB、∠ACD，计算即可．
解：由圆周角定理可知，∠ACD＝×50°＝25°，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝65°，
故答案为：65°．
11．小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形无底彩色纸帽，如果纸帽的底面半径为8cm，母线长为30cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 　240π　cm2．（结果保留π）
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
解：底面半径为8cm，
则底面周长＝16π，
侧面面积＝×16π×30＝240πcm2．
故答案为240π．
12．如上图，⊙O的弦AB＝8cm，DC＝2cm，直径CE⊥AB于D，半径OC的长为 　5　cm．

【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD的长，再根据勾股定理列式计算即可．
解：连接OA，如图：
设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，
∵直径CE⊥AB，弦AB＝8cm，
∴AD＝DB＝AB＝4（cm），
在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，
即R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5，
即⊙O的半径为5cm，
故答案为：5．

13．在△ABC中，如果AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是 　1　cm．
【分析】根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在BC边的高上．根据勾股定理求得该高，再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，求得G到BC的距离．
解：∵AB＝AC＝5cm
∴△ABC是等腰三角形
∴三角形的重心G在BC边的高
根据勾股定理设该高为a，
∴a2+42＝52
则a＝3cm，
根据三角形的重心性质
∴G到BC的距离是1cm．
14．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝　3　．
【分析】根据关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根得到Δ≥0，即（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，可得m≥0，根据根与系数的关系得到α+β＝2m，αβ＝m2﹣m，再将＝1变形得到关于m的方程，解方程即可求解．
解：∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，解得m≥0，
α+β＝2m，αβ＝m2﹣m，
∵＝1，即＝1，
∴＝1，
解得m1＝0，m2＝3，
经检验，m1＝0不合题意，m2＝3符合题意，
∴m＝3．
故答案为：3．
15．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝　或6　时，△BPQ与△BAC相似．

【分析】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分别得出答案．
解：∵AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，
∴BP＝3．
当△BPQ∽△BAC时，
则，
∴，
解得：BQ＝6；
当△BPQ∽△BCA时，
则，
∴，
解得：BQ＝，
综上所述：当BQ＝或6时，△BPQ与△BAC相似．
故答案为：或6．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，点D在AC边上运动，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为C′，在点D从点C到点A的动过程中，点C′运动的路径长为 　2π　．

【分析】由题意可知点C′的运动轨迹是以B为圆心，BC为半径的扇形，由此即可解决问题．
解：由题意可知点C′的运动轨迹是以B为圆心，BC为半径的扇形，
当点D从点C到点A的动过程中，点C′运动的轨迹是扇形，扇形的圆心角为180°，
点C′运动的路径长＝＝2π，
故答案为：2π．
三、解答题.
17．解方程．
（1）（x﹣3）2＝3﹣x．
（2）2x2﹣4x+1＝0（配方法）．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程；
（2）利用配方法解一元二次方程．
解：（1）（x﹣3）2＝3﹣x，
（x﹣3）2+x﹣3＝0，
（x﹣3）（x﹣3+1）＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
x﹣3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝3，x2＝2；
（2）2x2﹣4x+1＝0，
x2﹣2x+＝0，
x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝﹣+1，
（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
18．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留痕迹）；
（2）求最小覆盖圆的面积．

【分析】（1）作出线段AB，AC的垂直平分线的交点O即可；
（2）利用勾股定理求出半径的长度，再根据圆的面积公式求解即可．
解：（1）如图，点O即为所求．

（2）半径OA＝＝，
∴最小覆盖圆的面积为π•（）2＝5π．
19．某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示．

平均分（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分2）
七年级
a
85
b
S七年级2
八年级
85
c
100
160
（1）根据图示填空：a＝　85　，b＝　85　，c＝　80　；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？
（3）计算七年级代表队决赛成绩的方差S七年级2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．

【分析】（1）根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答，然后把表补充完整即可；
（2）根据平均数相同的情况下，中位数高的哪个队的决赛成绩较好；
（3）根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．
解：（1）七年级的平均分a＝＝85，众数b＝85，
八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c＝80；
故答案为：85，85，80
（2）由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高，
故七年级决赛成绩较好；
（3）S2七年级＝＝70（分2），
S2七年级＜S2八年级
∴七年级代表队选手成绩比较稳定．
20．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．

【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；
（2）直接利用（1）的结果求解即可．
【解答】（1）证明：∵DF∥AC，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝；
（2）解：设BF＝x，
∵BC＝10，
∴CF＝10﹣x，
由（1）得，＝，
∵AE＝4，EC＝2，
∴＝，
∴x＝，
∴BF＝，
∴CF＝10﹣＝．
21．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m得值．
【分析】（1）利用有一个根为﹣1的一元二次方程为“凤凰方程”对一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程进行判断；
（2）根据“凤凰方程“的定义得到2+m﹣n＝0①，再把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0，然后消去n得到m的一元二次方程，最后解关于m的方程即可．
解：（1）是．
理由如下：
当x＝﹣1时，3x2﹣4x﹣7＝0，
所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0为凤凰方程；
（2）根据题意得2+m﹣n＝0①，
把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0②，
②﹣①得m2﹣m﹣2＝0，解得m1＝2，m2＝﹣1，
即m的值为2或﹣1．
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．
（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OA、AD，可求得∠ACE＝∠AEC＝30°，可证明△AOD为等边三角形，可求得∠EAO＝90°，可证明AE为⊙O的切线；
（2）结合（1）可得到OA＝2，AE＝6，再根据圆的面积公式和扇形面积公式即可求解．
【解答】（1）证明：连接OA、AD，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
又∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠ACE＝30°，
又∵AE＝AC，OA＝OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AEC＝30°，∠ADO＝∠DAO＝60°，
∴∠EAD＝30°，
∴∠EAD+∠DAO＝90°，
∴∠EAO＝90°，即OA⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知△AEO为直角三角形，且∠E＝30°，
∴OA＝2，AE＝6，
∴阴影部分的面积为×6×2﹣＝6﹣2π．
故阴影部分的面积为6﹣2π．

23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC，BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB．
（2）求证：．

【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断．
（2）首先证明CE＝CF，利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△AEB∽△CFB．

（2）∵∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵△AEB∽△CFB，
∴，
∴．
24．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）试利用无刻度的直尺画出∠BAC的平分线，并说明理由；
（2）若CD＝CB，⊙O的半径为2，求劣弧BC的长．

【分析】（1）连接OA，证明OA为BC的垂直平分线，然后根据等腰三角形的“三线合一”可判断AO符合条件；
（2）设∠ABD＝x，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠OAB＝x，∠BDC＝3x，∠DBC＝3x，则∠ABC＝∠ACB＝4x，利用三角形内角和得到3x+3x+4x＝180°，解得x＝18°，接着计算出∠BOC＝72°，然后根据弧长公式计算劣弧BC的长．
解：（1）如图，AO为∠BAC的平分线．

理由如下：延长AO交BC于E，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AO垂直平分BC，
∴AO平分∠BAC；
（2）设∠ABD＝x，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝x，
∴∠BAC＝2x，
∴∠BDC＝∠ABD+∠DAB＝3x，
∵CD＝BC，
∴∠DBC＝3x，
∴∠ABC＝4x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝4x，
在△BCD中，∵∠BDC+∠CBD+∠BCD＝180°，
∴3x+3x+4x＝180°，解得x＝18°，
∴∠BAC＝2x＝36°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝72°，
∴劣弧BC的长为＝π．
25．探究问题：如图1，PM、PN、EF分别切⊙O于点A、B、C，猜想△PEF的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论．
变式迁移：如果图1的条件不变，且PO＝10厘米，△PEF的周长为16厘米，那么⊙O的半径为 　6　厘米．
拓展提高：如图2，点E是∠MPN的边PM上的点，EF⊥PN于点F，⊙O与边EF及射线PM、射线PN都相切．①画出符合条件的⊙O；②若EF＝3，PF＝4，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝10cm，由于过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，再根据切线长定理得到EA＝EC，FC＝FB，然后三角形周长的定义得到△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF，用等线段代换后得到三角形PEF的周长等于PA+PB；
（2）连接OA，OP，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，根据勾股定理得到OA，于是得到结论；
（3）①根据题意作出图形即可；
②设⊙O与射线PM、射线PN相切于A，B，与EF相切于C，于是得到AE＝CE，连接OA，OB，OC，推出四边形OCFB是正方形，得到CF＝BF＝OC，设⊙O的半径为r，根据切线长定理列方程即可得到结论；得到三角形的内切圆，根据勾股定理和三角形面积公式可得半径为1．
解：（1）△PEF的周长＝2PA，
理由：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PB＝PA，
∵EA与EC为⊙的切线，
∴EA＝EC，
同理得到FC＝FB，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF
＝PE+EA+FB+PF
＝PA+PB＝2PA
（2）如图1所示，连接OA，OP，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠PAO＝90°，
∵△PEF的周长为16厘米，
∴PA＝8厘米，
∴OA＝＝＝6（厘米），
∴⊙O 的半径为6厘米，
故答案为：6；
（3）①如图2所示，⊙O即为所求；
②设⊙O与射线PM、射线PN相切于A，B，与EF相切于C，
则AE＝CE，
连接OA，OB，OC，
∵EF⊥PN，
∴∠CFB＝∠OBF＝∠OCF＝90°，
∵OC＝OB，
∴四边形OCFB是正方形，
∴CF＝BF＝OC，
设⊙O的半径为r，
∴CF＝BF＝r，
∵EF＝3，PF＝4，
∴PE＝5，
∵PA＝PB，
∴5+AE＝PF+PB，
即5+3﹣r＝4+r，
∴r＝2．
如图3所示，⊙O即为所求；
PE＝＝5，
（3+4+5）r＝3×4，
解得r＝1．
∴⊙O的半径为2或1．



26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB＝20cm，动点D由点C向点A以每秒1cm速度在边AC上运动，动点E由点C向点B以每秒cm速度在边BC上运动，若点D，点E从点C同时出发，运动t秒（t＞0），连接DE．
（1）求证：△DCE∽△BCA．
（2）设经过点D、C、E三点的圆为⊙P，连接CP并延长，交AB于点H．
①试说明CH⊥AB．
②当⊙P与边AB相切时，求t的值．
③在点D、点E运动过程中，若⊙P与边AB交于点F、G（点F在点G左侧），当△PFH与△CDE相似时，求t的值．


【分析】（1）由题意知，又∠C＝∠C＝90°，则△DCE∽△BCA；
（2）①由△DCE∽△BCA，得∠CDE＝∠B，而∠PCE＝∠PEC，∠CDE+∠CED＝90°，进行等量代换即可证明；
②由题意知：CH为⊙P的直径，易得，利用相似求出，即可得出t的值；
③由△PHF与△CDE相似，分两种情形：或，分别代入计算即可．
【解答】（1）证明：由题意得：，
∵∠C＝90°，AC＝16cm，AB＝20cm；
∴（cm），
∵；
∴，
又∵∠C＝∠C＝90°，
∴△DCE∽△BCA；
（2）①证明：

∵∠ACB＝90°，
∴DE是⊙P的直径，
即P为DE中点，
∴，
∴∠PCE＝∠PEC，
∵△DCE∽△BCA，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠B+∠HCB＝90°，
∴CH⊥AB；
②解：∵⊙P与边AB相切，
∴点H为切点，CH为⊙P的直径，
由面积法得，
∴，
由相似得，
即；
③解：由题意得，
解得0＜t≤9，
由①得，，CH⊥AB，
∴，，∠PHF＝90°，
∵∠ACB＝∠PHF＝90°，
∴由△PHF与△CDE相似可得：

情况一：得，
解得：；
情况二：得，
解得：；
综上所述：当△PFM与△CDE相似时，或．