高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板05 函数的应用（解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板05 函数的应用（解析版），共1页。试卷主要包含了判断函数的零点的个数，利用函数模型解应用题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模板一、判断函数的零点的个数1.模板解决思路求丽数的零点个数就是求函数图象与轴的交点个数，因此只要作出函数图象即可.如果函数图象不易作出，可将函数拆成-的形式，然后转化为与的图象的交点问题.2.模板解决步骤①第一步画出函数的图象 ，或者将函数拆-的形式，转化成交点问题.②第二步观察函数图象;特别注 意间断的点.③第三步得出零点个数.1.函数零点的定义对于函数，把=0的实数叫做函数的零点2.函数零点的意义函数的零点就是方程=0的实数根，也就是函数的图象与x轴交点的横坐标，所以方程=0有实数根女函数的图象与x轴有交点一函数有零点特别提示：函数的零点不是一个点，而是一个实数例题1已知函数f（x）=x3+ax+, g(x)=-lnx.（1）当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；（2）用min{m,n} 表示m,n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),，讨论h（x）零点的个数.【答案】 （1）a=-
（2）当a>-或a<-时，h（x）由一个零点；当a=-或a=-时，h（x）有两个零点；当-<a<-时，h（x）有三个零点.【解析】（Ⅰ）设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0, 0)，则f(x0)=0，f'(x0)=0，即  ， 解得x0=,a=-.因此，当a=-时，x轴是曲线y=f(x)的切线. (II)当x,g(x)=-lnx<0, 从而h（x）=min{f(x),g(x)}g(x)<0, ∴h(x)在无零点。当x=1时，若a,则f(1)=a+<0,  h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0, 故x=1不是h(x)的零点。当x(0,1)时，g(x)=-lnx>0, 所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数。（i)若a-3或a0, 则f'（x)=3x2+a在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1）单调，而f(0)=,f(1)=a+, 所以当a-3时，f(x)在（0,1）有一个零点，当a0时，f(x)在（0,1）无零点，（ii) 若-3<a<0, 则f(x)在（0，)单调递减，在（  ， 1）单调递增，故当x=时，f(x)取得最小值，最小值为f()=+.1. 若f()>0, 即-<a<0,  f(x)在（0,1）无零点。2， 若f()=0, 即a=-  f(x)在（0,1）有唯一零点。3， 若f()<0, 即-3<a<-,由于f(0)=,f(1)=a+,所以当-<a<-时，f(x)在（0,1）有两个零点；当-3<a-时，f(x)在（0,1）有一个零点。综上，当a>-或a<-时，h(x)由一个零点，当a=-或a=-时，h(x)有两个零点，当-<a<-时，h(x)有三个零点。(I)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x分为x>1,x=1,0<x<1, 研究h（x）的零点个数，若零点不容易求解，则对a再分类讨论.例题2（2016高三上·上海期中）已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”．    （1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；    （2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；    （3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，f（x）=cos（ x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的解析式和零点．    【答案】 （1）解：f（x）=x2的定义域为R．  假设存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，则（a+x）2=k（a﹣x）2  ， 化为：（k﹣1）x2﹣2a（k+1）x+a2（k﹣1）=0，由于上式对于任意实数x都成立，∴ ，解得k=1，a=0．∴（0，1）是函数f（x）的“伴随数对”，f（x）∈M
（2）解：∵函数f（x）=sinx∈M，  ∴sin（a+x）=ksin（a﹣x），∴（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0，∴ sin（x+φ）=0，∵∀x∈R都成立，∴k2+2kcos2a+1=0，∴cos2a= ， ≥2，∴|cos2a|≥1，又|cos2a|≤1，故|cos2a|=1．当k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+ ，n∈Z．当k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．∴f（x）的“伴随数对”为（nπ+ ，1），（nπ，﹣1），n∈Z
（3）解：∵（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，  ∴f（1+x）=f（1﹣x），f（2+x）=﹣f（2﹣x），∴f（x+4）=f（x），T=4．当0＜x＜1时，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos ；当2＜x＜3时，则1＜4﹣x＜2，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=﹣cos ；当3＜x＜4时，则0＜4﹣x＜1，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=cos ．∴f（x）= ．∴f（x）= ．∴当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点为2014，2015，2016【解析】（1）f（x）=x2的定义域为R．假设存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，则（a+x）2=k（a﹣x）2  ， 化为：（k﹣1）x2﹣2a（k+1）x+a2（k﹣1）=0，由于上式对于任意实数x都成立，可得 ，解得k，a．即可得出．（2）函数f（x）=sinx∈M，可得：sin（a+x）=ksin（a﹣x），展开化为： sin（x+φ）=0，由于∀x∈R都成立，可得k2+2kcos2a+1=0，变形cos2a= ，利用基本不等式的性质与三角函数的单调性即可得出．（3）由于（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，可得f（1+x）=f（1﹣x），f（2+x）=﹣f（2﹣x），因此f（x+4）=f（x），T=4．对x分类讨论可得：即可得出解析式，进而得出零点．模板二、利用函数模型解应用题1.模板解决思路解决实际问题的关键是将自然语言转化为数学语言，然后利用相关的数学知识，建立起相应的数:学模型来，经过数学推算，得到数学结果最后将数学结果还原成实际结果.2.模板解决步骤①第一步审题:深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质②第二步建模:将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言,利用数学知识，建立相应的数学模型.③第三步解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题.④第四步还原:回到题 目本身，检验结果的实际意义，给出结论知识点1常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)=+b（k，b为常数，k≠0）指数型函数模型f(x)＝ab2+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1)对数型函数模型f(x)=mlogx+n(m,n,a为常数，m≠0，a>0,a≠1)知识点2.应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论例题1（2020高三上·兴宁期末）小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.  （1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；    （2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 时，日平均派送量为 单．若将频率视为概率，回答下列问题：  ①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；②根据以上数据，设每名派送员的日薪为 （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪 的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.【答案】 （1）解：甲： ，乙： ，故为   ，
（2）解：①读图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9，故平均数  ②甲:P(概率)0.20.30.20.20.1X（日薪）152154156158160EX= 乙：P（概率）0.20.30.20.20.1X（日薪）140140180220260EX= 乙的期望更高，故答案为：择乙方案．【解析】（1）根据题意，列出解析式即可；
（2） ① 分别计算出每个区间中点值的个数，然后乘以总数，求和，除以个数，即可得到平均值 ② 分别计算出每个指标下薪资待遇，计算期望，比较大小做出选择。例题2（2019·新宁模拟）某广告公司计划利用一块临街建筑物墙面设计广告宣传画，宣传画是面积为32平方米的矩形，同时要求宣传画周围要留出前后宽2米，左右宽1米的空白区域（如图），设矩形宣传画的长为x米。  （1）试用x表示矩形宣传画的宽；    （2）试问当x为多少时，矩形宣传画及周围空白区域的总面积y有最小值，最小值为多少？    【答案】 （1）解：宣传画的宽为 米
（2）解：由题意相，y=（x+2）（ +4）  ∴y=（x+2）（ +4）=4（ ）+40≥4×2  +40=72，当且仅当x= ，即x=4时取“=”当x=4时，宣传画及周围空白区城总面积有最小值，最小值为72平方米【解析】（1）由宣传画是面积为32平方米的矩形，可用x表示矩形宣传画的宽；
（2）将 总面积y用x表示，利用基本不等式即可求得宣传画及周围空白区城总面积的最小值 .