高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板19 不等式（解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板19 不等式（解析版），共10页。试卷主要包含了利用基本不等式求最值等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模板一、利用不等式的性质求代数式的取值范围1.模板解决思路利用几个变量的范围来确定某个代数式的范围是一-类常见的综合问题,解这类题目时,常利用不等式性质3的推论即“同向(异向)不等式的两边可以对应相加(相减)”。但应注意，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，得出错误答案.正确解法是先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性不等关系的运算”,求得待求的范围.2.模板解决步骤①第一步；把待求的代数式用已知的两个代数式表达出来，即令c=ma+nb(其中m，n为常数)，并求出m，n的值②第二步；分别求出ma，nb的取值范围③第三步；求出ma，nb的取值范围即得代数式c的取值范围知识点1.不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正知识点2.比较两个实数大小的依据如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么a<b；还可以表示为：a-b>0a>b；  a=b<0a<b例题1设不等式的解集为.（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】（Ⅰ）令，由得，解得．∴.（Ⅱ）由不等式，的，令，要使，则，整理得，∴，解得.∴实数的取值范围． 例题2已知函数．（1）请写出函数在每段区间上的解析式，并在图上的直角坐标系中作出函数的图象；（2）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），图象见解析；（2）．【解析】（1）由零点分段法，得函数的图象如图所示．（2）由（1）知的最小值是4，所以要使不等式恒成立，有，解之得．   模板二、利用基本不等式求最值1. 模板解决思路(1)运用基本不等式求最值时，要注意:一是各项或因式为正值，二是和或积为定值,三是各项或因式能相等，即“一正、二定、三相等". 这三个条件缺一不可，(2)常用方法①拆项、添项、配凑此法常用在求分式型函数的最值中，如②常值代换这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求的最小值”和“已知“=1(a,b ,x,y均为正数),求x+y的最小值”两类题型.2.模板解决步骤①第一步；将要求最值的表达式变形为两项和或积的形式②第二步；利用基本不等式将变形后的代数式放缩为一个定值.③第三步；写出等号成立的条件,求出最值知识点一、基本不等式1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．知识点二、最值定理(1)    两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a>0,b>0,且a+b=M,.M为定值，则ab，等号当且仅当a=b时成立即atb=M,M为定值时,(ab )max=(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a>0,b>0,且ab=P,P为定值，则a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立.即ab=P,P为定值时,(a+b)max=2 .例题1已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）当时，原不等式为，当时，得，解得，所以；当时，得，即恒成立，所以；当时，得，解得，所以．综上，原不等式的解集为．（2）因为为正实数，所以（当且仅当时等号成立），所以的最大值为，又因为（当时取到等号），所以要使恒成立，只需，即或，所以实数的取值范围是． 例题2 已知函数，.（1）求函数的图象与直线围成区域的面积；（2）若对于，，且时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由与围成的区域是，如图所示，其中，，，所以，到直线的距离为3，故所求面积为.（2）因为，，且，所以，即，若不等式恒成立，则有，即，解不等式，可得或或，解之得或，所以实数的取值范围为.