2021-2022学年湖南省长沙实验中学教育集团九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省长沙实验中学教育集团九年级（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖南省长沙实验中学教育集团九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为（　　）

A．80° B．60° C．50° D．40°
4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝110°，则∠ADE的度数为（　　）

A．35° B．55° C．70° D．110°
5．（3分）平面直角坐标系内与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（4，3）
6．（3分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，OP＝4，∠APO＝30°，则⊙O的半径长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣4
8．（3分）AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝16，OE＝6，则⊙O的直径为（　　）

A．8 B．10 C．16 D．20
9．（3分）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．507（1+2x）＝833.6
B．507×2（1+x）＝833.6
C．507（1+x）2＝833.6
D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6
10．（3分）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（　　）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 　 　．
12．（3分）把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为 　 　．
13．（3分）关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0有一根为x＝﹣3，则k的值为 　 　．
14．（3分）如图，在⊙O中，＝，∠ABC＝70°，则∠ACB＝　 　．

15．（3分）若三角形的三条边长分别为5，12，13，则这个三角形外接圆的半径为　 　．
16．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 　 　．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）选择适当方法解下列方程：
（1）x2+3x＝0；
（2）3x2+x＝2．
18．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）以原点O为对称中心作△ABC的中心对称图形，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求A1C1的长．

19．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根分为x1、x2，且x1+x2+x1x2＝2，求k的值．
20．（8分）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABP的面积．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠DCB＝∠CAB．
（2）若EB＝2，CD＝8，求⊙O的直径．

22．（9分）如图，AB为⊙D的切线，BD是∠ABC的平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E．
（1）求证：BC是⊙D的切线；
（2）若AB＝5，BC＝13，求AC和AD的长．

23．（9分）一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　 　件；
（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
（3）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？
24．（10分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“实验点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“实验点”．
（1）求函数y＝﹣2x+1图象上的“实验点”坐标；
（2）函数y＝kx﹣2（k是常数）的图象上存在“实验点”吗？若存在，请求出“实验点”的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“实验点”E，该抛物线与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求∠EMN的度数．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C（0，﹣3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC为等腰三角形，若存在，求M的坐标；
（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


2021-2022学年湖南省长沙实验中学教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+5，
∴此函数的顶点坐标为（3，5），
故选：C．
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为（　　）

A．80° B．60° C．50° D．40°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝50°．
故选：C．
4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝110°，则∠ADE的度数为（　　）

A．35° B．55° C．70° D．110°
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ADC＝110°，
故选：D．
5．（3分）平面直角坐标系内与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（4，3）
【解答】解：点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．
故选：B．
6．（3分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，OP＝4，∠APO＝30°，则⊙O的半径长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
【解答】解：连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵∠APO＝30°，
∴OA＝OP＝×4＝2，
即⊙O的半径长为2．
故选：C．

7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣4
【解答】解：∵方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0，
解得：c＝4．
故选：A．
8．（3分）AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝16，OE＝6，则⊙O的直径为（　　）

A．8 B．10 C．16 D．20
【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝16，
∴CE＝DE＝CD＝8，∠OEC＝90°，
在Rt△OEC中，由勾股定理得：OC＝＝＝10，
所以⊙O的直径为20，
故选：D．
9．（3分）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．507（1+2x）＝833.6
B．507×2（1+x）＝833.6
C．507（1+x）2＝833.6
D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6
【解答】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：507（1+x）2＝833.6，
故选：C．
10．（3分）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（　　）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
【解答】解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：C．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 　x＝1　．
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，
∴此函数的对称轴就是直线x＝1．
故答案为：x＝1．
12．（3分）把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为 　y＝﹣（x+2）2+3　．
【解答】解：把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为：y＝﹣（x+1+1）2+3，即y＝﹣（x+2）2+3．
故答案是：y＝﹣（x+2）2+3．
13．（3分）关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0有一根为x＝﹣3，则k的值为 　﹣1　．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0有一个根是x＝﹣3，
∴9+3k﹣6＝0，
解得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．（3分）如图，在⊙O中，＝，∠ABC＝70°，则∠ACB＝　70°　．

【解答】解：∵＝，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝70°，
故答案为：70°，
15．（3分）若三角形的三条边长分别为5，12，13，则这个三角形外接圆的半径为　6.5　．
【解答】解：∵三角形的三条边长分别为5，12，13，52+122＝132，
∴此三角形是以13为斜边的直角三角形，
∴这个三角形外接圆的半径为13÷2＝6.5．
故答案为：6.5．
16．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 　5　．

【解答】解：∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AD+AF+BE+BD+CE+CF＝14，
∴2（BE+CE）＝10，
∴BC＝5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）选择适当方法解下列方程：
（1）x2+3x＝0；
（2）3x2+x＝2．
【解答】解：（1）∵x2+3x＝0，
∴x（x+3）＝0，
则x＝0或x+3＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣3；
（2）∵3x2+x＝2，
∴3x2+x﹣2＝0，
则（3x﹣2）（x+1）＝0，
则3x﹣2＝0或x+1＝0，
解得x1＝，x2＝﹣1．
18．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）以原点O为对称中心作△ABC的中心对称图形，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求A1C1的长．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1，B1，C1的坐标分别为（1，1），（1，4），（3，2）；

（2）A1C1的长＝＝．
19．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根分为x1、x2，且x1+x2+x1x2＝2，求k的值．
【解答】解：（1）∵b2﹣4ac＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣2k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）由根与系数关系得x1+x2＝k﹣3，x1x2＝﹣2k+2，
∵x1+x2+x1x2＝2，
∴k﹣3+（﹣2k+2）＝2，
解得k＝﹣3．
20．（8分）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．求：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABP的面积．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），
所以y＝﹣x2+4x+5；

（2）因为y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
则P点坐标为（2，9），
所以△ABP的面积＝×6×9＝27．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠DCB＝∠CAB．
（2）若EB＝2，CD＝8，求⊙O的直径．

【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠BCD＝∠CAB；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，CD＝8，
∴CE＝CD＝×8＝4，
设⊙O的半径为r，
∵BE＝2，
∴OE＝r﹣2，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴⊙O的直径为10．
22．（9分）如图，AB为⊙D的切线，BD是∠ABC的平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E．
（1）求证：BC是⊙D的切线；
（2）若AB＝5，BC＝13，求AC和AD的长．

【解答】（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB为⊙D的切线
∵∠BAD＝90°
又∵BD平分∠ABC，
∴AD＝DF．
∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC，
∴BC是⊙D的切线；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC＝＝＝12，
设半径为r，则DC＝12﹣r，FC＝BC＝BF＝13﹣5＝8，
在Rt△DFC中，由勾股定理得，
DF2+FC2＝DC2，
即r2+82＝（12﹣r）2，
解得r＝，
即AD＝．

23．（9分）一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　26　件；
（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
（3）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？
【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．
故答案为：26；

（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200
整理，得x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20
要求每件盈利不少于25元
∴x2＝20应舍去，解得x＝10
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．

（3）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元
则：y＝（40﹣n）（20+2n）
y＝﹣2n2+60n+800
∵﹣2＜0
∴y有最大值
当n＝15时，y有最大值＝1250元，此时每件利润为25元，符合题意
即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．
24．（10分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“实验点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“实验点”．
（1）求函数y＝﹣2x+1图象上的“实验点”坐标；
（2）函数y＝kx﹣2（k是常数）的图象上存在“实验点”吗？若存在，请求出“实验点”的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“实验点”E，该抛物线与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求∠EMN的度数．
【解答】解：（1）由题意，联立方程组可得，
解得：，
∴函数y＝﹣2x+1图象上的“实验点”坐标为（，）；
（2）假设函y＝kx﹣2（k是常数）的图象上存在“实验点”（x，x），
则有x＝kx﹣2①，
整理，得（k﹣1）x＝2，
当k﹣1≠0，即k≠1时，解得x＝；
当k﹣1＝0时，即k＝1时，方程①无解；
综上所述，当k≠1时，“实验点”的坐标为（，）；当k＝1时，不存在“实验点”；
（3）∠EMN＝45°，理由如下：
∵抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“实验点”E，
∴，
整理，可得ax2+4x+c＝0，
当Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4ac＝0时，
解得：ac＝4，
∴y＝ax2+4x+，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣，
∵a＞1，点M在点N的左侧，
∴M（﹣，0），
∵E是“实验点”，
∴，
解得：，
∴E点坐标为（﹣，﹣），
如图，过点E作EH⊥x轴于点H，

∴EH＝，MH＝（﹣）﹣（﹣）＝，
∴△MHE是等腰直角三角形，
即∠EMN＝45°．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C（0，﹣3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC为等腰三角形，若存在，求M的坐标；
（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，﹣3 ）代入y＝x2+bx+c中，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵点M在抛物线对称轴x＝1上，
∴设M（1，m），
∵△MBC为等腰三角形，M（1，m），B（3，0），C（0，﹣3 ），
①以M为顶点，则MB2＝MC2，
即（1﹣3）2+（m﹣0）2＝（1﹣0）2+（m+3）2，
解得：m1＝﹣1；
②以B为顶点，则MB2＝CB2，即（1﹣3）2+（m﹣0）2＝（3﹣0）2+（0+3）2，
解得m2＝，m3＝﹣；
③以C为顶点，则CB2＝MC2，即（3﹣0）2+（0+3）2＝（1﹣0）2+（m+3）2，
解得m4＝﹣3，m5＝﹣﹣3；
综上，M点坐标为（1，﹣1）或（1，）或（1，﹣）或（1，﹣3）或（1，﹣﹣3）；
（3）存在，理由如下：
如图，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，

设直线BC的解析式为y＝kx+n，把B（3，0），C（0，﹣3）代入，
可得，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设点P（p，p2﹣2p﹣3），则点E（p，p﹣3），
∵点P在直线BC的下方，
∴PE＝p﹣3﹣（p2﹣2p﹣3）＝﹣p2+3p＝﹣（p﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当p＝时，PE有最大值为，
当x＝时，（）2﹣2×﹣3＝﹣，
∴P点坐标为（，﹣），
∵点N是对称轴上的一点，点Q是抛物线上一点，
∴设N点坐标为（1，n），Q点坐标为（q，q2﹣2q﹣3），
以点P，C，N，Q为顶点的平行四边形，
①当PC，NQ为对角线时，
，解得q＝，
此时Q点坐标为（，﹣），
②当QC，NP为对角线时，
，解得：q＝，
此时Q点坐标为（，﹣），
③以QP，NC为对角线时，
，解得：q＝﹣，
此时Q点坐标为（﹣，﹣），
综上，Q点坐标为（，﹣）或（，﹣）或（﹣，﹣）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/10/17 20:27:47；用户：初中；邮箱：16680502460；学号：29313762