2022-2023学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）入学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）入学数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）入学数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）新冠疑似病例需在定点医院隔离观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需要了解这位病人天体温的(    )A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数对于函数，下列结论正确的是(    )A. 它的图象必经过点 B. 它的图象不经过第三象限
C. 当时， D. 随的增大而增大下列配方中，变形正确的是(    )A.  B.
C.  D. 下列叙述错误的是(    )A. 菱形的四条边都相等
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 矩形的对角线相等
D. 一个角是直角的四边形是矩形已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是(    )A.  B.  C.  D. 如图，在中，、分别是直角边、的中点，若，则边上的中线的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 一元二次方程的一个根是，则的值是(    )A.  B.  C. 或 D. 将一组数据中的每一个数据都加上，那么所得的新数据组与原数据组相比，没有改变大小的统计量是(    )A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是(    )A.  B.  C.  D. 已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围为(    )A.  B. 且 C.  D. 且若实数，满足，则的值为(    )A.  B.  C. 或 D. 或如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且，则下列结论：；；；其中正确的结论有(    )
 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共18分）小张同学的射击成绩为，，，，，则这组数据的众数是______．将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线的表达式是______．一张长方形照片长，宽，配一个镜框，镜框的四条边宽度都相等，且镜框的面积是照片本身面积的四分之一，求镜框的宽度．设镜框的宽度为，依题意可列方程为______化为一般式如图，四边形纸片中，，，，，点在上，且将四边形纸片沿折叠，点、分别落在点、处，与交于点，则长为______．
 直线与的交点的横坐标为则关于的不等式的解集为______．
如图，已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线与轴交于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：
方程组的解为；
为直角三角形；
；
当的值最小时，点的坐标为．
其中正确的说法是______填序号
  三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
用适当的方法解下列方程．
；
．本小题分
某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的名选手的决赛成绩如条形图所示．
下面是根据名选手的决赛成绩的条形图绘制的关于平均数、中位数、方差的统计表． 平均数分中位数分方差分初中代表队高中代表队根据条形图计算出，的值：______，______．
结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定．
本小题分
如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点．
求证：四边形是菱形；
若，，，求菱形的面积．
本小题分
已知抛物线经过点．
求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
直线交抛物线于点，，为正数若点在抛物线上且在直线下方不与点，重合，分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围．本小题分已知关于的方程．求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；设方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．本小题分
某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量件与每件的售价元满足一次函数关系．
该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，设这种衬衫每月的总利润为元，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？本小题分
在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：
若，则称点为点的段变点，例如：点的段变点的坐标是，点的段变点的坐标是．
点的段变点的坐标是______；
在点，中有一个点是函数图象上某一个点的段变点，这个点是______；
若点在函数的图象上，其段变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围．
若点在关于的二次函数的图象上，其段变点的纵坐标的取值范围是或，其中，令，求关于的函数解析式及的取值范围．
 
本小题分
抛物线交轴于，两点在的左边，交轴于，直线经过，两点．
求抛物线的解析式；
如图，点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，以点、、、为顶点，为边的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点的坐标．
如图，为直线上方的抛物线上一点，轴交于点，过点作于点．设，求的最大值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由于方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需要了解这位病人天体温的方差．
故选：．
方差体现了一组数据的稳定性，方差越小，数据波动程度越小，数据越稳定，要想了解病人体温是否稳定，通常需要了解体温的方差．
本题考查了中位数、平均数、方差、众数这几个统计量的意义，准确把握各个统计量的适用场景是解决问题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：、当，，点不在函数的图象上，所以选项错误；
B、函数经过第一、二、四象限，所以选项正确；
C、当时，，则，，所以选项错误；
D、因为，则的值随值的增大而减小，所以选项错误．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征对进行判断；根据一次函数的性质对、、进行判断．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了一次函数的性质．
 3.【答案】 【解析】解：

，
A错误．



．
B错误．





．
C正确．




D错误．
故选：．
用配方法，通过式子变形把不是完全平方式的多项式变成完全平方式与一个数的和的形式．
本题考查配方法，熟悉完全平方式的式子特点，加上一个数然后再减去一个相同的数式子不变是配方的关键．
 4.【答案】 【解析】解：、菱形的四条边都相等，本选项说法正确，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，本选项说法正确，不符合题意；
C、矩形的对角线相等，本选项说法正确，不符合题意；
D、一个角是直角的四边形是矩形，本选项说法错误，符合题意．
故选：．
根据矩形的判定与性质、平行四边形的判定定理、菱形的性质定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，掌握矩形的判定与性质、平行四边形的判定定理、菱形的性质定理是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为抛物线最低点，坐标为，
，
．
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标，根据，与抛物线对称轴的距离大小求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
 6.【答案】 【解析】解：、分别是边、的中点，，
，
在中，，是斜边上的中线，
，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：把代入方程得，解得，，
因为方程为一元二次方程，
所以，
所以．
故选：．
把代入方程得，解得，，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的解．
 8.【答案】 【解析】解：将一组数据中的每一个数据都加上，那么所得的新数据组与原数据组相比波动幅度一致，即两组数据的方差相等，
故选：．
根据平均数和方差的特点，一组数都加上或减去同一个不等于的常数后，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变改变，即可得出答案．
本题考查了方差和平均数、中位数、众数，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，掌握平均数和方差的特点是本题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：、由直线可知，图象与轴交于负半轴，，由抛物线可知，开口向上，矛盾，故此选项错误；
B、由抛物线可知，图象与轴交于正半轴，二次项系数为负数，与一次函数中矛盾，故此选项错误；
C、由抛物线可知，图象与轴交在负半轴，由直线可知，图象过一，二，三象限，，故此选项错误；、由抛物线可知，图象与轴交在负半轴，由直线可知，图象过一，二，四象限，故此选项正确；
故选：．
本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．
 10.【答案】 【解析】解：令，则．
二次函数的图象与轴有两个不同的交点，
一元二次方程有两个不相等的解，
，
解得：且．
故选：．
由抛物线与轴有两个不同的交点可得出一元二次方程有两个不相等的解，由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考抛物线与轴的交点，牢记“时，抛物线与轴有个交点”是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：设，
方程整理得：，
整理得：，即，
解得：或，
则或．
故选：．
设，方程变形后，计算求出解即可．
此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元思想是解本题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴在轴右侧，
，异号，即，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，错误，不符合题意．
抛物线顶点纵坐标大于，
，即，正确，符合题意．
抛物线与轴有个交点，
把代入得，
点坐标为，，
，
点坐标为，
，
，正确，符合题意．
抛物线经过点，，
，为方程的两根，
，
，，
，正确，符合题意．
故选：．
通过抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置可判断，由抛物线顶点在轴上方可判断，从而判断，由可得点坐标为，进而判断，设，为方程的两根，根据根与系数的关系可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 13.【答案】 【解析】解：因为这组数据出现的次数最多，
所以这组数据的众数是．
故答案为：．
根据众数的定义即可求解．
本题主要考查了众数的概念．关键是根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
 14.【答案】 【解析】解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线的表达式是，即，
故答案为：．
根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 15.【答案】 【解析】解：设镜框的宽度为，
依题意，得：，
整理，得：．
故答案为：．
根据镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：，，
四边形为矩形，
，，
由翻折可得，，
，
，，
，
，，，
≌，
．
故答案为：．
由，，可知四边形为矩形，则，，由翻折可得，，进而可得，，，证明≌，则可得．
本题考查翻折变换折叠问题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：直线与的交点的横坐标为，
关于的不等式的解集为，
时，，
不等式的解集为．
故答案为：．
求出直线与轴的交点，利用图象法即可解决问题；
本题考查一次函数与一元一次不等式等知识，解题的关键是学会利用图象法解不等式问题，属于中考常考题型．
 18.【答案】 【解析】解：直线：与直线：都经过，
方程组的解为，
故正确，符合题意；

把，代入直线：，可得，解得，
直线：，
又直线：，
直线与直线互相垂直，即，
为直角三角形，
故正确，符合题意；

把代入直线：，可得，
中，令，则，
，
，
在直线：中，令，则，
，
，
，
故错误，不符合题意；

点关于轴对称的点为，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，
当的值最小时，点的坐标为，
故正确，符合题意；
故答案为：．
根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为，可知两直线互相垂直；求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点的坐标为．
本题为一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 19.【答案】解：，
，即，
，
；
，
，
则，
或，
． 【解析】利用配方法求解可得答案；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 20.【答案】   【解析】解：初中名选手的平均分，
高中名选手的成绩是：，，，，，故中位数，
故答案为：，；
由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，
故初中部决赛成绩较好；
，
，
初中代表队选手的成绩较为稳定．
根据平均数的计算公式和中位数的定义分别进行解答即可；
根据平均数相同的情况下，中位数高的哪个队的决赛成绩较好；
根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．
本题考查方差、中位数、条形图等知识，记住这些概念是解决问题的关键，理解方差越小成绩越稳定，属于中考常考题型．
 21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
又四边形为平行四边形，
四边形是菱形；
如图，过点作于，

，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
菱形的面积． 【解析】由题意可证，四边形是平行四边形，即可证四边形为菱形；
过点作于，由直角三角形的性质得到，，根据菱形的面积公式可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，得到四边形是菱形是本题的关键．
 22.【答案】解：把代入得，
解得，
抛物线的函数表达式为，
，
抛物线顶点坐标为．
把代入得，
，
把代入函数解析式得，
解得或，
为正数，
，
点坐标为，点坐标为．
抛物线开口向上，顶点坐标为，
抛物线顶点在下方，
，． 【解析】将点代入求解．
分别求出点，坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解．
本题考查求二次函数解析式及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求函数解析式．
 23.【答案】证明：，
，
，
无论取何值时，总有，
，
无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

，，
，
，
，
． 【解析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：
一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
一元二次方程的两实数根分别为，，则有，．
化成一般形式，求根的判别式，当时，方程总有两个不相等的实数根；
根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于的一元二次方程，解方程．
 24.【答案】解：，
解得，，，
尽量给客户优惠，
这种衬衫定价为元；
由题意可得，，
该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，每件售价不低于进货价，
，，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：售价定为元可获得最大利润，最大利润是元． 【解析】根据题意列方程，解方程即可得到结论；
根据题意列函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
 25.【答案】   【解析】解：，
点的段变点的坐标是，
故答案为：；
设函数图象上的点为，
当时，的段变点为，
是函数图象上某一个点的段变点，
，
函数上的点为，
故答案为：；
点的段变点在函数上，
如图，当时，，
当时，，
解得，
，
，
；
，
顶点为，
点的函数解析式为，
当时，如图，
当时，，
当时，，
或，
，，
；
当时，如图，
当时，，
当时，，
或，
此时或，与题意不符合；
，
，
．
由定义判断即可；
由定义判断即可；
由题意可知点的段变点在函数上，画出函数图象，结合图象求解即可；
由题意可得点的函数解析式为，画出函数图象，结合图象可得，当时，，，则；当时，此时或，与题意不符合．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，数形结合解题是关键．
 26.【答案】解：令，则，
，
令，则，
，
将，代入，
，
解得，
；
，
抛物线的对称轴为直线，
设，，
令，则，
解得或，
，
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或；
设，则，
，
连接，延长交轴于，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值． 【解析】求出、点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
设，，分两种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，；当为平行四边形的对角线时，；
设，则，则，连接，延长交轴于，由等积法求出，则，当时，有最大值．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．