湖南省娄底市2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案）

这是一份湖南省娄底市2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共21页。试卷主要包含了已知反比例函数的图象经过点，下列图形中一定是相似形的是，若＝，则等于，函数y＝和y＝﹣kx+2等内容，欢迎下载使用。
1．已知反比例函数的图象经过点（1，3），则这个反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝﹣
2．已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3B．m＜3C．m＞﹣3D．m＜﹣3
3．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（ ）
A．各边的长度B．各内角的度数
C．五边形的周长D．五边形的面积
4．下列图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个菱形
C．两个矩形D．两个直角三角形
5．若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＝0B．k≥﹣C．k≥﹣且k≠0D．k＞﹣
6．为执行“两免一补“政策，某市2008年投入教育经费4900万元，预计2010年投入6400万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，那么下面列出的方程正确的是（ ）
A．4900x2＝6400
B．4900（1+x）2＝6400
C．4900（1+x%）2＝6400
D．4900（1+x）+4900（1+x）2＝6400
7．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝13B．（x+3）2＝13C．（x﹣6）2＝4D．（x﹣3）2＝5
8．若＝，则等于（ ）
A．B．C．D．
9．函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）
A．8B．9C．8或9D．12
11．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）
A．1：3B．1：4C．1：8D．1：9
12．如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是（ ）
A．b＝a+cB．b＝acC．b2＝a2+c2D．b＝2a＝2c
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．当m＝ 时，函数y＝（m+1）是反比例函数．
14．如果m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，那么代数式4m2﹣6m+2019的值为 ．
15．已知线段AB＝6cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则BC＝ cm．
16．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝ ．
17．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝ ．
18．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为3，则k1﹣k2的值为 ．
三．解答题（共8小题）
19．解下列方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）（x+1）2＝6x+6．
20．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
21．某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．
22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
23．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
24．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的跟晴离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为xs．
（1）若PQ＝4cm，求x的值．
（2）若△DPQ的面积为31cm2，求x的值．
26．如图，∠ACB＝90°，A（3，0），C（﹣1，0），AB＝5．
（1）求B的坐标；
（2）已知点D在x轴上（不与点C重合），连接DB，若△ADB与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AD和AB上的动点，连接PQ，设AP＝BQ＝k，是否存在k的值，使△APQ与△ADB相似？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．已知反比例函数的图象经过点（1，3），则这个反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝﹣
【分析】只需把已知点的坐标代入，即可求得函数解析式．
解：设该反比例函数的解析式为：y＝（k≠0）．
把（1，3）代入，得
3＝，
解得 k＝3．
则该函数解析式为：y＝．
故选：B．
2．已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3B．m＜3C．m＞﹣3D．m＜﹣3
【分析】根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴3﹣m＜0，解得m＞3．
故选：A．
3．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（ ）
A．各边的长度B．各内角的度数
C．五边形的周长D．五边形的面积
【分析】首先由用一个放大镜去观察一个五边形，可得放大后的五边形与原五边形相似，然后由相似五边形的性质即可求得答案．
解：∵用一个放大镜去观察一个五边形，
∴放大后的五边形与原五边形相似，
∵相似五边形的对应边成比例，
∴各边长都变大，故A选项错误；
∵相似五边形的对应角相等，
∴对应角大小不变，故选项B正确；
∵相似五边形的周长得比等于相似比，
∴C选项错误．
∵相似五边形的面积比等于相似比的平方，
∴D选项错误；
故选：B．
4．下列图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个菱形
C．两个矩形D．两个直角三角形
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴两个等边三角形一定是相似形，
又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：A．
5．若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＝0B．k≥﹣C．k≥﹣且k≠0D．k＞﹣
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
解：由题意可知：Δ＝（﹣1）2﹣4×k×（）＝1+3k≥0，
∴k≥，
∵k≠0，
∴k≥且k≠0，
故选：C．
6．为执行“两免一补“政策，某市2008年投入教育经费4900万元，预计2010年投入6400万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，那么下面列出的方程正确的是（ ）
A．4900x2＝6400
B．4900（1+x）2＝6400
C．4900（1+x%）2＝6400
D．4900（1+x）+4900（1+x）2＝6400
【分析】这两年投入教育经费的年平均增长率为x，根据某市2008年投入教育经费4900万元，预计2010年投入6400万元可列方程．
解：这两年投入教育经费的年平均增长率为x，
4900（1+x）2＝6400．
故选：B．
7．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝13B．（x+3）2＝13C．（x﹣6）2＝4D．（x﹣3）2＝5
【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可．
解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，
配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13，
故选：A．
8．若＝，则等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用已知得出a＝b，进而代入原式求出答案．
解：∵＝，
∴a＝b，
则＝＝．
故选：A．
9．函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．
解：在函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）中，
当k＞0时，函数y＝的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，
当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
10．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）
A．8B．9C．8或9D．12
【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
解：当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的有两个相等实数根，
∴Δ＝36﹣4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2+3＞3，
∴k＝9满足题意，
当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2﹣6x+k＝0的其中一根，
∴4﹣12+k＝0，
∴k＝8，
此时另外一根为：x＝4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选：B．
11．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）
A．1：3B．1：4C．1：8D．1：9
【分析】根据位似变换的性质得到A′B′∥AB，A′C′∥AC，根据平行线的性质求出△A'B'C'与△ABC的相似比，根据相似三角形的性质得到面积比．
解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为1：3，
∴△A'B'C'与△ABC的面积的比1：9，
故选：D．
12．如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是（ ）
A．b＝a+cB．b＝acC．b2＝a2+c2D．b＝2a＝2c
【分析】因为Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形，所以图中三角形都相似，且与a、b、c关系密切的是△DHE和△GQF，只要它们相似即可得出所求的结论．
解：∵DH∥AB∥QF
∴∠EDH＝∠A，∠GFQ＝∠B；
又∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∠GFQ+∠FGQ＝90°；
∴∠EDH＝∠FGQ，∠DEH＝∠GFQ；
∴△DHE∽△GQF，
∴＝
∴＝
∴ac＝（b﹣c）（b﹣a）
∴b2＝ab+bc＝b（a+c），
∴b＝a+c．
故选：A．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．当m＝ 1 时，函数y＝（m+1）是反比例函数．
【分析】根据反比例函数的定义．即y＝（k≠0），只需令m2﹣2＝﹣1、m+1≠0即可．
解：根据题意，得
m2﹣2＝﹣1且m+1≠0，
解得m＝±1且m≠﹣1，
∴m＝1．
故答案为：m＝1．
14．如果m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，那么代数式4m2﹣6m+2019的值为 2021 ．
【分析】利用一元二次方程根的定义得到2m2﹣3m＝1，再把4m2﹣6m+2019变形为2（2m2﹣3m）+2019，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴4m2﹣6m+2019＝2（2m2﹣3m）+2019＝2×1+2019＝2021．
故答案为：2021．
15．已知线段AB＝6cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则BC＝ （9﹣3） cm．
【分析】利用黄金分割的定义得到AC＝AB＝3﹣3，然后计算AB﹣AC即可．
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝AB＝×6＝3﹣3，
∴BC＝6﹣（3﹣3）＝（9﹣3）cm．
故答案为（9﹣3）．
16．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝ 10 ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例性质求DF的长．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝，
∴DF＝2BD＝2×5＝10．
故答案为10．
17．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝ 6 ．
【分析】设x2+y2＝t．则原方程转化为关于t的一元二次方程t2﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0；然后解关于t的方程即可．
解：设x2+y2＝t（t≥0）．则
t2﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0，
解得，t＝6或t＝﹣1（不合题意，舍去）；
故x2+y2＝6．
故答案是：6．
18．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为3，则k1﹣k2的值为 6 ．
【分析】△ABC的面积＝•AB•yA，先设A、B两点坐标（其纵坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．
解：设：A、B点的坐标分别是A（，m）、B（，m），
则：△ABC的面积＝•AB•yA＝•（）•m＝3，
则k1﹣k2＝6．
故答案为6．
三．解答题（共8小题）
19．解下列方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）（x+1）2＝6x+6．
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
解：（1）∵a＝2、b＝﹣4、c＝﹣1，
∴△＝16﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
则x＝＝；
（2）∵（x+1）2﹣6（x+1）＝0，
∴（x+1）（x﹣5）＝0，
则x+1＝0或x﹣5＝0，
解得：x＝﹣1或x＝5．
20．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+3上求a，进而代入反比例函数y＝（k≠0）求k即可；
（2）设P（x，0），求得C点的坐标，则PC＝|3﹣x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．
21．某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．
【分析】（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，
依题意，得：50（1+m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，
整理，得：x2﹣300x+14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240．
∵商家需尽快将这批商品售出，
∴x＝60．
答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．
22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出，
由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，
解得m＝8．
23．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；
（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵E是BC的中点，BC＝4，
∴BE＝2，
∵AB＝6，
∴AE＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴．
24．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的跟晴离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．
【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可．
解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，
由题意得：AN＝2米，CN＝1.9﹣1.6＝0.3（米），MN＝38米，
∵CN∥EM，
∴△ACN∽△AEM，
∴，
∴，
∴EM＝6，
∵AB＝MF＝1.7米，
∴城楼的高度为：6+1.6﹣1.7＝5.9（米）．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为xs．
（1）若PQ＝4cm，求x的值．
（2）若△DPQ的面积为31cm2，求x的值．
【分析】（1）直接利用P，Q点运动方向和运动速度表示出BP和BQ的长，然后利用勾股定理列出方程求解；
（2）直接利用S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ，代入求出答案．
解：（1）由题意可得：BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
根据勾股定理得：BP2+BQ2＝PQ2，
即：（6﹣x）2+（2x）2＝（4）2，
解得：x＝或x＝2，
答：PQ＝4cm，x的值为或2；
（2）由题意可得：S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ
＝AB•BC﹣AD•AP﹣CD•CQ﹣BP•BQ
＝6×12﹣×12x﹣×6（12﹣2x）﹣（6﹣x）•2x
＝x2﹣6x+36＝31，
解得：x1＝1，x2＝5，
当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5．
26．如图，∠ACB＝90°，A（3，0），C（﹣1，0），AB＝5．
（1）求B的坐标；
（2）已知点D在x轴上（不与点C重合），连接DB，若△ADB与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AD和AB上的动点，连接PQ，设AP＝BQ＝k，是否存在k的值，使△APQ与△ADB相似？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先由点A与点C的坐标求得AC的长度，然后利用勾股定理求得BC的值，最后得到点B的坐标；
（2）先由∠BAC＜90°得到∠ADB＝90°或∠ABD＝90°，然后由点D不与点C重合得到∠ABD＝90°，进而得到△ABC∽△ADB，再利用相似三角形的性质求得AD的长度；
（3）分情况讨论，△APQ∽△ADB和△APQ∽△ABD，然后利用相似三角形的性质解得k的值即可．
解：（1）∵A（3，0），C（﹣1，0），
∴AC＝4，
∵∠ACB＝90°，AB＝5，
∴BC＝3，
∴B（﹣1，3）．
（2）∵∠BAC＜90°，
∴当△ABC和△ABD相似时，点D在点A的左侧，∠ADB＝90°或∠ABD＝90°，
∵点D与点C不重合，
∴∠ABD＝90°，即△ABC∽△ADB，
如图1，过点B作BD⊥AB交x轴于点D，则
∴，即，
∴AD＝，
∴D（﹣，0）．
（3）①如图2，当△APQ∽△ADB时，有，
∵AP＝BQ＝k，AB＝5，
∴AQ＝5﹣k，
∴，
解得：k＝，
②如图3，当△APQ∽△ABD时，有，
∴，
解得：k＝，
综上所述，k＝或时，△APQ与△ABD相似．