江苏省连云港市灌云县2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份江苏省连云港市灌云县2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省连云港市灌云县八年级第一学期期中
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．将一张长方形纸对折，然后用笔尖在纸上扎出“B”，再把纸铺平，可以看到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各组数中，哪一组是勾股数（　　）
A．，， B．6，7，8 C．3，4，6 D．9，40，41
3．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
4．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（不考虑房屋高度）（　　）

A．一定不会 B．可能会
C．一定会 D．以上答案都不对
5．如图，BC∥EF，BC＝EF，要使得△ABC≌△DEF，需要补充的条件不能是（　　）

A．∠B＝∠E B．AB＝DE C．AD＝CF D．AB∥DE
6．如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为9，BC＝6，则△ABC的周长为（　　）

A．18 B．17 C．16 D．15
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＜∠B，且∠A≠30°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点P在△ABC的其他边上，则可以画出不同的点P的个数为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且A、C、E三点共线．AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下六个结论：①AD＝BE；②∠AOB＝60°；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤PQ∥AE；⑥OC平分∠AOE．其中正确结论的有（　　）个．

A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第　 　块去．（填序号）

10．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC＝3km，BC＝4km，则M，C两点间的距离为 　 　km．

11．如果等腰三角形的两边长分别为3和2，则它的周长为 　 　．
12．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D与点C分别落在点D'和点C'的位置上，ED'与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，则∠1为 　 　度．

13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC＝3，DE＝1，则BD2＝　 　．

14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，DE与BF相交于点G，BD＝BC，BE＝CF，若∠A＝40°，则∠DGF的度数为 　 　．

15．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点，并且相交于点F，且∠DFE＝70°，则∠DAE的度数是 　 　．

16．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝　 　度．

三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知：如图，AB、CD相交于点E，且E是AB、CD的中点．求证：△AEC≌△BED．

18．已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB，求证：BE＝DF，DE＝CF．

19．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB＝DC，∠1＝∠2．求证：AC＝BD．

20．已知，如图，AD＝BC，CA⊥AB，AC⊥CD．求证：AD∥BC．

21．已知：如图，AD、BF相交于点O，AB＝DF．点E、C在BF上，且BE＝FC，AC＝DE．求证：AO＝DO，BO＝FO．

22．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．

23．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE＝CF．求证：DE＝DF．

24．某小区有一块如图所示的四边形空地ABCD，为了庆祝建党百年，小区物业决定在这块空地上种植花草，测得已知AD＝8m，CD＝6m，∠D＝90°，AB＝26m，BC＝24m．种植花草的费用为80元/m2，则该空地种植花草共需多少元？

25．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC．D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．
（1）写出与BG相等的线段，并证明．
（2）若点D为线段BC的中点，其余条件不变，连接DF．根据题意，先在图2中补全图形，再证明：∠BDF＝∠CDE．
（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系．


26．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
例4如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E，求证：AD＝ED．
证明∵CE∥AB（已知），
∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）．
在△ABD与△ECD中，
∵∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（已证），
BD＝CD（已知），
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD＝ED（全等三角形的对应边相等）．
（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是 　 　；
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，求出线段DF的长．





参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．将一张长方形纸对折，然后用笔尖在纸上扎出“B”，再把纸铺平，可以看到的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称的性质判定即可．
解：根据题意，两个字母B，关于直线对称，
故选：C．
2．下列各组数中，哪一组是勾股数（　　）
A．，， B．6，7，8 C．3，4，6 D．9，40，41
【分析】根据勾股数的定义逐一计算即可得出答案．
解：A．∵（）2+（）2≠（）2，∴、、不是勾股数；
B．∵62+72≠82，∴6、7、8不是勾股数；
C．32+42≠62，∴3、4、6不是勾股数；
D．∵92+402＝412，∴9、40、41是勾股数；
故选：D．
3．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的中垂线的交点
【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：B．
4．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（不考虑房屋高度）（　　）

A．一定不会 B．可能会
C．一定会 D．以上答案都不对
【分析】大树倒下部分，以AB为半径，绕点A做圆弧形的运动，AB＝10米，10大于9．
解：由勾股定理知：BC＝＝＝8（米）．
由于8＜9，
所以 大树倒下时不能砸到张大爷的房子．
故选：A．

5．如图，BC∥EF，BC＝EF，要使得△ABC≌△DEF，需要补充的条件不能是（　　）

A．∠B＝∠E B．AB＝DE C．AD＝CF D．AB∥DE
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB＝∠F，再根据全等三角形的判定逐个判断即可．
解：∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠F，
A．∠B＝∠E，BC＝EF，∠ACB＝∠F，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AB＝DE，BC＝EF，∠ACB＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．∵AD＝CF，
∴AD+DC＝CF+DC，
即AC＝DF，
AC＝DF，∠ACB＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF，
∴∠A＝∠EDF，∠ACB＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．

6．如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为9，BC＝6，则△ABC的周长为（　　）

A．18 B．17 C．16 D．15
【分析】根据角平分线的定义可得∠DBC＝∠DBE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DBC＝∠BDE，然后求出∠DBE＝∠BDE，根据等角对等边可得BE＝DE，同理得到CF＝DF，从而求出△AEF的周长＝AB+AC，再根据三角形的周长的定义解答即可．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠DBE，
∵EF∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE，
同理可得，CF＝DF，
∴△AEF的周长＝AE+DE+DF+AF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC＝9，
∵BC＝6，
∴△ABC的周长＝9+6＝15．
故选：D．
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＜∠B，且∠A≠30°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点P在△ABC的其他边上，则可以画出不同的点P的个数为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点P，△BCP就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点P，△ACP就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点P，△BCP就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点P，△BCP就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于P，则△APB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于P，则△BCP和△ACP是等腰三角形．
解：如图：


故选：C．
8．如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且A、C、E三点共线．AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下六个结论：①AD＝BE；②∠AOB＝60°；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤PQ∥AE；⑥OC平分∠AOE．其中正确结论的有（　　）个．

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】证明①可先证明△ACD≌△BCE，已有：AB＝BC，CD＝CE，易得∠ACD＝∠BCE，其他的证明需要通过①得到，再利用三角形相似以及等边三角形的知识分别进行证明即可得出答案．
解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
故①正确；
由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCQ＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠ACP，
又AC＝BC，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴AP＝BQ，
故③正确；
∵△CQB≌△CPA，
∴CQ＝CP，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，
故⑤正确；
∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，
故④错误；
∵∠ACB＝∠CED＝60°，
∴BC∥DE，
∴∠CBE＝∠BED，
∵∠CBE＝∠DAE，
∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，故②正确；
作CM⊥AD，CN⊥BE，

∵△COM≌△CON，
∴CM＝CN，
∴OC平分∠AOE，故⑥正确，
故正确的有①②③⑤⑥共5个，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第　③　块去．（填序号）

【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③．
10．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC＝3km，BC＝4km，则M，C两点间的距离为 　2.5　km．

【分析】根据勾股定理求得斜边AB的长度，然后由直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝AB，再求出答案即可．
解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°．
∵AC＝3km，BC＝4km，
∴AB＝＝＝5（km）．
∵M为AB的中点，
∴CM＝AB＝2.5km，
即M，C两点间的距离为2.5km，
故答案为：2.5．
11．如果等腰三角形的两边长分别为3和2，则它的周长为 　8或7　．
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．
解：（1）当等腰三角形的腰为3，底为2时，3，3，2能够组成三角形，此时周长为3+3+2＝8；
（2）当等腰三角形的腰为2，底为3时，3，2，2能够组成三角形，此时周长为2+2+3＝7．
则这个等腰三角形的周长是8或7．
故答案为8或7．
12．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D与点C分别落在点D'和点C'的位置上，ED'与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，则∠1为 　70　度．

【分析】根据平行线的性质，由四边形ABCD是长方形，得AD∥BC，那么∠EFG＝∠DEF＝55°，从而得到∠DEF＝∠GEF＝∠EFG＝55°，进而解决此题．
解：由题意得：∠DEF＝∠GEF．
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC．
∴∠EFG＝∠DEF＝55°．
∴∠DEF＝∠GEF＝∠EFG＝55°．
∴∠DEG＝∠DEF+∠GEF＝55°+55°＝110°．
∴∠1＝180°﹣DEG＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC＝3，DE＝1，则BD2＝　20　．

【分析】根据旋转的性质可知：DE＝BC＝1，AB＝AD，∠BAD＝90°，利用勾股定理求出AB的长，即可求解．
解：由旋转的性质可知：BC＝DE＝1，AB＝AD，∠BAD＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝1，∠ACB＝90°，
∴AB＝AD＝＝＝，
∵∠BAD＝90°，
∴BD2＝AB2+AD2＝10+10＝20，
故答案为：20．
14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，DE与BF相交于点G，BD＝BC，BE＝CF，若∠A＝40°，则∠DGF的度数为 　70°　．

【分析】先由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠DBE＝∠C＝70°，再证明△DBE≌△BCF（SAS），得∠BDE＝∠CBF，然后由三角形的外角性质即可得出答案．
解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠DBE＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，
在△DBE和△BCF中，
，
∴△DBE≌△BCF（SAS），
∴∠BDE＝∠CBF，
∴∠DGF＝∠DBG+∠BDE＝∠DBG+∠CBF＝∠DBE＝70°，
故答案为：70°．
15．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点，并且相交于点F，且∠DFE＝70°，则∠DAE的度数是 　40°　．

【分析】根据四边形内角和为360°求出∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，进而得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，结合图形计算，得到答案．
解：∵AB、AC的垂直平分线相交于点F，∠DFE＝70°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAE＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°．
16．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝　30　度．

【分析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可解决问题．
解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，

∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故答案为30．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知：如图，AB、CD相交于点E，且E是AB、CD的中点．求证：△AEC≌△BED．

【分析】根据线段中点的定义得出AE＝BE，CE＝DE，由对顶角相等得出∠AEC＝∠BED，根据SAS即可证明△AEC≌△BED．
【解答】证明：∵E是AB、CD的中点，
∴AE＝BE，CE＝DE．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（SAS）．
18．已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB，求证：BE＝DF，DE＝CF．

【分析】根据线段中点的定义可得BD＝CD，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠CDF，∠C＝∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DF∥AB，
∴∠B＝∠CDF，
∵DE∥AC，
∴∠C＝∠BDE，
在△BDE和△DCF中，，
∴△BDE≌△DCF（ASA），
∴BE＝DF，DE＝CF．
19．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB＝DC，∠1＝∠2．求证：AC＝BD．

【分析】根据全等三角形的判定和性质即可证明结论．
【解答】证明：在△AOB和△DOC中，

∴△AOB≌△DOC（AAS）
∴OA＝OD，OB＝OC，
∴OA+OC＝OD+OB，
∴AC＝BD．
20．已知，如图，AD＝BC，CA⊥AB，AC⊥CD．求证：AD∥BC．

【分析】利用HL得到直角三角形ABC与直角三角形CAD全等，利用全等三角形对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△CDA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），
∴∠CAD＝∠BCA，
∴AD∥BC．
21．已知：如图，AD、BF相交于点O，AB＝DF．点E、C在BF上，且BE＝FC，AC＝DE．求证：AO＝DO，BO＝FO．

【分析】首先证明△ABC≌△DFE（SSS），推出∠ABF＝∠DFB（全等三角形的对应角相等），再证明△ABO≌△DFO（AAS）即可解决问题．
【解答】证明：如图：
∵BE＝CF，
∴BC＝FE（等式的性质）．
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS）
∴∠ABF＝∠DFB（全等三角形的对应角相等），
在△ABO和△DFO中，
，
∴△ABO≌△DFO（AAS），
∴OA＝OD，OB＝OF．
22．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．

【分析】连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD＝CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得BE＝CF．
【解答】证明：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD＝CD，

∵D为∠BAC平分线上的点，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
23．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE＝CF．求证：DE＝DF．

【分析】证明△ADE≌△CFD（SAS），可得结论．
【解答】证明：∵BC＝AC，∠BCA＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB中点，
∴BD＝CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．
∵∠A+∠ACD＝∠ACD+∠FCD＝90°，
∴∠A＝∠FCD，
在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE＝DF．
24．某小区有一块如图所示的四边形空地ABCD，为了庆祝建党百年，小区物业决定在这块空地上种植花草，测得已知AD＝8m，CD＝6m，∠D＝90°，AB＝26m，BC＝24m．种植花草的费用为80元/m2，则该空地种植花草共需多少元？

【分析】连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积解答即可．
解：连接AC，

在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，
在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，
而102+242＝262，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝•AC•BC﹣AD•CD，
＝10×24﹣×8×6＝96（m2）．
需费用96×80＝7680（元）．
答：该空地种植花草共需7680元．
25．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC．D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．
（1）写出与BG相等的线段，并证明．
（2）若点D为线段BC的中点，其余条件不变，连接DF．根据题意，先在图2中补全图形，再证明：∠BDF＝∠CDE．
（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系．


【分析】（1）证明△CBG≌△ACD（ASA），可得BG＝CD．
（2）证明△BFD≌△BFG（SAS），推出∠BDF＝∠G，由△CBG≌△ACD，推出∠ADC＝∠G，可得∠BDF＝∠CDE．
（3）结论：AD＝2CE+2DE．如图3中，在DB上取一点J，使得DJ＝CD，连接FJ，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BG于N．想办法证明FJ＝2DE，FG＝FJ，再利用全等三角形的性质可得AD＝CG＝CF+FG＝2CE+2DE．
【解答】（1）解：结论：CD＝BG．
理由：如图1中，

∵CG⊥AD，BG⊥BC，
∴∠CEA＝∠CBG＝∠ACD＝90°，
∴∠BCG+∠ACE＝90°，
∵∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠BCG＝∠CAD，
在△CBG和△ACD中，
，
∴△CBG≌△ACD（ASA），
∴BG＝CD．

（2）解：图形如图2所示．

证明：∵D是CB的中点，
∴CD＝BD，
∵BG＝DC，
∴BD＝BG，
∵CB＝CA，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝45°，
∵∠CBG＝90°，
∴∠FBD＝∠FBG＝45°，
在△FBD和△FBG中，
，
∴△BFD≌△BFG（SAS），
∴∠BDF＝∠G，
∵△CBG≌△ACD，
∴∠ADC＝∠G，
∴∠BDF＝∠CDE．

（3）解：结论：AD＝2CE+2DE．
理由：如图3中，在DB上取一点J，使得DJ＝CD，连接FJ，过点F作FM⊥BC于M，FN⊥BG于N．

∵C，F关于AD对称，
∴CE＝EF，
∵CD＝DJ，
∴DE∥FJ，FJ＝2DE，
∴∠GFJ＝∠GED＝90°，
∵∠FBM＝∠FBN＝45°，FM⊥BM，FN⊥BN，
∴FM＝FN，
∵∠GBJ+∠GFJ＝180°，
∴∠G+∠BJF＝180°，
∵∠BJF+∠FJM＝180°，
∴∠G＝∠FJM，
在△FMJ和△FNG中，
，
∴△FMJ≌△FNG（AAS），
∴FG＝FJ，
∴FG＝2DE，
∵△CBG≌△ACD，
∴AD＝CG，
∵CG＝CF+FG＝2CE+2DE，
∴AD＝2CE+2DE．
26．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
例4如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E，求证：AD＝ED．
证明∵CE∥AB（已知），
∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）．
在△ABD与△ECD中，
∵∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（已证），
BD＝CD（已知），
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD＝ED（全等三角形的对应边相等）．
（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是 　1＜AD＜5　；
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，求出线段DF的长．



【分析】（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．
（2）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB＝CF，再证明DA＝DF即可解决问题．
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB＝DF+CF，可得结论．
解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，

∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；

（2）结论：AD＝AB+DC．
理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，

∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD；

（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，

∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB∥CF，
∴∠BAE＝∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB＝GC，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠FDG＝∠G，
∴FD＝FG，
∴AB＝GC＝DF+CF，
∵AB＝5，CF＝2，
∴DF＝AB﹣CF＝3．