浙江省杭州市西湖区三墩中学2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】
展开这是一份浙江省杭州市西湖区三墩中学2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】,共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市西湖区三墩中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,共30分)
1.下列四个手机APP图标中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.对于命题“|a|=a(a为实数)”,能说明它是假命题的反例是( )
A.a=﹣2 B.a=0 C.a= D.a=2
3.若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm,则此三角形的第三边长可能为( )
A.1cm B.2cm C.5cm D.8cm
4.若a>b,则下列式子中错误的是( )
A.a+1>b+1 B.2a>2b C.﹣>﹣ D.a>b﹣1
5.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为( )
A.85° B.75° C.65° D.60°
6.如图,等腰△ABC中,点D,E分别在腰AB,AC上,添加下列条件,不能判定△ABE≌△ACD的是( )
A.∠DCB=∠EBC B.∠ADC=∠AEB C.AD=AE D.BE=CD
7.如图,正方形网格中(每个小正方形边长为1),点A,B,C均落在格点上,下列关于△ABC的描述中,正确的是( )
A.三边长都是有理数 B.是等腰三角形
C.是直角三角形 D.面积为6.5
8.已知x>1,x+a=1,则a的取值范围是( )
A.a<0 B.a≤0 C.a>0 D.a≥0
9.如图,△ABC中,D是AB的中点,BE⊥AC,垂足为E.若DE=5,AE=8,则BE的长度是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
10.如图,△AOB≌△ADC,点B和点C是对应顶点,∠O=∠D=90°,记∠OAD=α,∠ABO=β,当BC∥OA时,α与β之间的数量关系为( )
A.α=β B.α=2β C.α+β=90° D.α+2β=180°
二、填空题(本题有6个小题,每小题4分,共24分)
11.“等边三角形的各个内角都等于60°”的逆命题是 ,这是 命题(填“真”或“假”).
12.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠ACD=40°,则∠EBC= 度.
13.等腰三角形有一外角为100°,则它的底角为 .
14.如图,在△ABC中,点D,E分别为BC,AD的中点,且S△ABC=20,则S△ABE= .
15.若关于x的不等式组有解,则写出符合条件的一个a的值 .
16.等边△ABC中,射线BA上有一点D,连结CD,以CD为边向上作等边△CDE,连结BE和AE,下列结论:①AE=BD;②AE与直线AB夹的锐角为60°;③当D在射线BA上时,总有∠BED﹣∠AED=∠BDC;④当∠BCD=90°时,CE2+AD2=AC2+DE2,正确的结论序号有 .
三、解答题(本题有7个小题,共66分)
17.解下列不等式(组),并把(1)的解集在数轴上表示出来.
(1)2(x+1)﹣1>x;
(2).
18.如图,AB=DC,AC=DB,AC和BD相交于点O.
(1)求证:△ABC≌△DCB;
(2)求证:∠ABD=∠DCA.
19.如图,已知△ABC.
(1)尺规作图:求作∠BAC的角平分线AD,交BC于点D.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连结EF.请依据上述几何语言,画出完整图形,再判断AD是否垂直平分EF,并说明理由.
20.如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,P为BD上的点,PD=AD且AB=CP.
(1)求证:CD=BD;
(2)∠PCD=30°,求∠CBA.
21.已知等腰△ABC,AB=AC=a.
(1)若∠B=2∠A,求∠B的度数.
(2)若△ABC的周长是10,求腰长a的取值范围.
22.在抗击新冠肺炎疫情期间,市场上防护口罩出现热销,某药店售出一批口罩.已知3包儿童口罩和2包成人口罩共26个,5包儿童口罩和3包成人口罩共40个.
(1)求儿童口罩和成人口罩的每包各是多少个?
(2)某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包,为使其中口罩总数量不低于26个,且不超过34个,
①有哪几种购买方案?
②若每包儿童口罩8元,每包成人口罩25元,哪种方案总费用最少?
23.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B的路径运动,且速度为每秒2cm,设点P的运动时间为t秒.
(1)则AC= cm;
(2)当BP平分∠ABC,求此时点P的运动时间t的值;
(3)点P运动过程中,△BCP能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能请说明理由.
参考答案
一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,共30分)
1.下列四个手机APP图标中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可.
解:A、不是轴对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,故此选项正确;
C、不是轴对称图形,故此选项错误;
D、不是轴对称图形,故此选项错误;
故选:B.
2.对于命题“|a|=a(a为实数)”,能说明它是假命题的反例是( )
A.a=﹣2 B.a=0 C.a= D.a=2
【分析】反例就是满足条件,但是不满足结论.根据负数的绝对值等于它的相反数,a取任何一个负数都可以.
解:∵负数的绝对值等于它的相反数,
∴任何一个负数都可以,a=﹣2符合题意,
故选:A.
3.若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm,则此三角形的第三边长可能为( )
A.1cm B.2cm C.5cm D.8cm
【分析】设第三边为xcm,再根据三角形的三边关系求出x的取值范围,选出合适的x的值即可.
解:设第三边为xcm,
∵三角形的两边长分别为3cm和5cm,
∴5cm﹣3cm<x<5cm+3cm,即2cm<x<8cm,
∴5cm符合题意,
故选:C.
4.若a>b,则下列式子中错误的是( )
A.a+1>b+1 B.2a>2b C.﹣>﹣ D.a>b﹣1
【分析】利用不等式的基本性质判断即可.
解:A、∵a>b,
∴a+1>b+1,故本选项不合题意;
B、∵a>b,
∴2a>2b,故本选项不合题意;
C、∵a>b,
∴﹣<﹣,故本选项符合题意;
D、∵a>b,
∴a>b﹣1,故本选项不合题意;
故选:C.
5.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为( )
A.85° B.75° C.65° D.60°
【分析】利用三角形外角的性质解答即可.
解:如图所示,
∠α=∠E+∠ACB=30°+45°=75°,
故选:B.
6.如图,等腰△ABC中,点D,E分别在腰AB,AC上,添加下列条件,不能判定△ABE≌△ACD的是( )
A.∠DCB=∠EBC B.∠ADC=∠AEB C.AD=AE D.BE=CD
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可.
解:A、因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,由∠DCB=∠EBC,所以∠ABE=∠ACD,根据ASA可以证明△ABE≌△ACD,本选项不符合题意.
B、由∠ADC=∠AEB,根据AAS可以证明△ABE≌△ACD,本选项不符合题意.
C、由AD=AE,根据SAS可以证明△ABE≌△ACD,本选项不符合题意.
D、SSA,不能判定三角形全等,本选项符合题意.
故选:D.
7.如图,正方形网格中(每个小正方形边长为1),点A,B,C均落在格点上,下列关于△ABC的描述中,正确的是( )
A.三边长都是有理数 B.是等腰三角形
C.是直角三角形 D.面积为6.5
【分析】根据勾股定理分别求出AB、AC、BC,根据有理数的概念、等腰三角形的概念、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算,判断即可.
解:A、由勾股定理得:AC==5,AB==,BC==,
则AB、BC的长不是有理数,本选项说法错误,不符合题意;
B、∵△ABC的三边都不相等,
∴△ABC不是等腰三角形,本选项说法错误,不符合题意;
C、∵AB2+BC2=10+17=27,AC2=25,
∴AB2+BC2≠AC2,
∴△ABC不是直角三角形,本选项说法错误,不符合题意;
D、S△ABC=4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1=6.5,
故本选项说法正确,符合题意;
故选:D.
8.已知x>1,x+a=1,则a的取值范围是( )
A.a<0 B.a≤0 C.a>0 D.a≥0
【分析】根据已知得出a=1﹣x,再根据x>1即可得出答案.
解:∵x+a=1,
∴a=1﹣x,
∵x>1,
∴a<0.
故选:A.
9.如图,△ABC中,D是AB的中点,BE⊥AC,垂足为E.若DE=5,AE=8,则BE的长度是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【分析】根据直角三角形的性质求出AB,根据勾股定理计算求出BE.
解:∵BE⊥AC,D为AB的中点,
∴AB=2DE=10,
由勾股定理得,BE===6.
故选:B.
10.如图,△AOB≌△ADC,点B和点C是对应顶点,∠O=∠D=90°,记∠OAD=α,∠ABO=β,当BC∥OA时,α与β之间的数量关系为( )
A.α=β B.α=2β C.α+β=90° D.α+2β=180°
【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB=AC,全等三角形对应角相等可得∠BAO=∠CAD,然后求出∠BAC=α,再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC,然后根据两直线平行,同旁内角互补表示出∠OBC,整理即可.
解:∵△AOB≌△ADC,
∴AB=AC,∠BAO=∠CAD,
∴∠BAC=∠OAD=α,
在△ABC中,∠ABC=(180°﹣α),
∵BC∥OA,
∴∠OBC=180°﹣∠O=180°﹣90°=90°,
∴β+(180°﹣α)=90°,
整理得,α=2β.
故选:B.
二、填空题(本题有6个小题,每小题4分,共24分)
11.“等边三角形的各个内角都等于60°”的逆命题是 三个角都是60°的三角形是等边三角形 ,这是 真 命题(填“真”或“假”).
【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题,根据等边三角形的判定定理判断即可.
解:命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是“三个角都是60°的三角形是等边三角形”,是真命题,
故答案为:三个角都是60°的三角形是等边三角形,真.
12.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠ACD=40°,则∠EBC= 140 度.
【分析】首先根据余角的性质求出∠ABC的度数,再根据邻补角定义求出∠EBC.
解:∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,
∴∠ABC=∠ACD=90°﹣∠BCD=40°,
∴∠EBC=180°﹣∠ABC=140°.
故答案为:140.
13.等腰三角形有一外角为100°,则它的底角为 80°或50° .
【分析】等腰三角形的一个外角等于100°,则等腰三角形的一个内角为80°,但已知没有明确此角是顶角还是底角,所以应分两种情况进行分类讨论.
解:∵等腰三角形的一个外角等于100°,
∴等腰三角形的一个内角为80°,
①当80°为顶角时,其他两角都为50°、50°,
②当80°为底角时,其他两角为80°、20°,
所以等腰三角形的底角可以是50°,也可以是80°
答案为:80°或50°.
14.如图,在△ABC中,点D,E分别为BC,AD的中点,且S△ABC=20,则S△ABE= 5 .
【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,则利用点D为BC的中点得到S△ABD=10,然后利用E为AD的中点得到S△ABE=S△ABD.
解:∵点D为BC的中点,
∴S△ABD=S△ABC=×20=10,
∵E为AD的中点,
∴S△ABE=S△ABD=×10=5.
故答案为:5.
15.若关于x的不等式组有解,则写出符合条件的一个a的值 6 .
【分析】表示出不等式组的解集,根据不等式组有解确定出a的值即可.
解:不等式整理得:,
由不等式组有解,得到a>5,
则满足题意a的值为6.
故答案为:6.
16.等边△ABC中,射线BA上有一点D,连结CD,以CD为边向上作等边△CDE,连结BE和AE,下列结论:①AE=BD;②AE与直线AB夹的锐角为60°;③当D在射线BA上时,总有∠BED﹣∠AED=∠BDC;④当∠BCD=90°时,CE2+AD2=AC2+DE2,正确的结论序号有 ①②④ .
【分析】利用△BCD≌△ACE(SAS),可以证明①②正确,③错误,当∠BCD=90°时,易知AC=AD,根据EC=DE即可判断④正确.
解:如图,设CD交AE于O.
∵△ABC,△CED都是等边三角形,
∴CB=CA,CD=CE,∠BCA=∠DCE=60°,
∴∠BCD=∠ACE,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴BD=AE,∠BDC=∠AEC,故①正确,
∵∠EOC=∠DOA,
∴∠OAD=∠OCE=60°,
∴AE与AB的夹角为60°,故②正确,
∵∠BED﹣∠AED=∠AEB<∠AEC,∠AEC=∠BDC,
∴∠BED﹣∠AED<∠BDC,故③错误,
当∠BCD=90°时,易证AC=AD,
∵CE=DE,
∴CE2+AD2=AC2+DE2故④正确,
故答案为:①②④.
三、解答题(本题有7个小题,共66分)
17.解下列不等式(组),并把(1)的解集在数轴上表示出来.
(1)2(x+1)﹣1>x;
(2).
【分析】(1)去括号,移项、合并同类项、系数化成1即可求解;
(2)解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.
解:(1)2(x+1)﹣1>x,
去括号,得:2x+2﹣1>x,
移项,得:2x﹣x>﹣2+1,
合并同类项得:x>﹣1,
在数轴上表示为:
;
(2),
由①得 x≥﹣4;
由②得 x<2;
不等式组的解集﹣4≤x<2.
18.如图,AB=DC,AC=DB,AC和BD相交于点O.
(1)求证:△ABC≌△DCB;
(2)求证:∠ABD=∠DCA.
【分析】(1)由“SSS”可证△ABC≌△DCB;
(2)由全等三角形的性质可得∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,即可求解.
【解答】证明:(1)在△ABC和△DCB中,
,
∴△ABC≌△DCB(SSS);
(2)∵△ABC≌△DCB,
∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,
∴∠ABD=∠DCA.
19.如图,已知△ABC.
(1)尺规作图:求作∠BAC的角平分线AD,交BC于点D.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连结EF.请依据上述几何语言,画出完整图形,再判断AD是否垂直平分EF,并说明理由.
【分析】(1)利用基本作图作角平分线AD,再作DE⊥AB,DF⊥AC;
(2)利用角平分线的性质得DE=DF,则点D在EF的垂直平分线上,再证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE=AF;则点A在EF的垂直平分线上,于是可判断AD垂直平分EF.
解:(1)如图,AD即为所求;
(2)如图即为完整图形,AD为EF的垂直平分线.理由如下:
∵△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
∴点D在EF的垂直平分线上,
在Rt△AED与Rt△AFD中,
,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),
∴AE=AF;
∴点A在EF的垂直平分线上,
∴AD垂直平分EF.
20.如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,P为BD上的点,PD=AD且AB=CP.
(1)求证:CD=BD;
(2)∠PCD=30°,求∠CBA.
【分析】(1)由“HL”可证Rt△ABD≌Rt△PCD,可得CD=BD;
(2)由全等三角形的性质可得∠PCD=∠ABD=30°,由等腰三角形的性质可求∠CBD=45°,即可求解.
【解答】(1)证明:∵BD⊥AC,
∴∠CDP=∠BDA=90°,
在Rt△ABD和Rt△PCD中,
,
∴Rt△ABD≌Rt△PCD(HL),
∴CD=BD;
(2)∵Rt△ABD≌Rt△PCD,
∴∠PCD=∠ABD=30°,
∵CD=BD,∠BDC=90°,
∴∠CBD=45°,
∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=75°.
21.已知等腰△ABC,AB=AC=a.
(1)若∠B=2∠A,求∠B的度数.
(2)若△ABC的周长是10,求腰长a的取值范围.
【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可;
(2)根据等腰三角形的性质和三角形三边关系解答即可.
解:(1)∵AB=AC,∠B=2∠A,
∴∠B=∠C,
∴2∠A+2∠A+∠A=180°,
∴∠A=36°,
∴∠B=72°;
(2)∵AB=AC=a,△ABC的周长是10,
根据题意可得:10﹣2a﹣a<a<10﹣2a+a,
解得2.5<a<5.
22.在抗击新冠肺炎疫情期间,市场上防护口罩出现热销,某药店售出一批口罩.已知3包儿童口罩和2包成人口罩共26个,5包儿童口罩和3包成人口罩共40个.
(1)求儿童口罩和成人口罩的每包各是多少个?
(2)某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包,为使其中口罩总数量不低于26个,且不超过34个,
①有哪几种购买方案?
②若每包儿童口罩8元,每包成人口罩25元,哪种方案总费用最少?
【分析】(1)设儿童口罩每包x个,成人口罩每包y个,根据:“3包儿童口罩和2包成人口罩共26个,5包儿童口罩和3包成人口罩共40个”列方程组求解即可;
(2)①设购买儿童口罩m包,根据“这两种型号的口罩共5包,为使其中口罩总数量不低于26个,且不超过34个”列出不等式组,确定m的取值,进而解决问题;
②分别求出每个方案的费用即可解决问题.
解:(1)设儿童口罩每包x个,成人口罩每包y个,根据题意得,
,
解得,,
∴儿童口罩每包2个,成人口罩每包10个;
(2)①设购买儿童口罩m包,则购买成人口罩(5﹣m)包,根据题意得,
,
解得,2≤m≤3,
∵m为整数,
∴m=2或m=3,
∴共有两种购买方案:方案一:购买儿童口罩2包,则购买成人口罩3包;方案二:购买儿童口罩3包,则购买成人口罩2包.
②方案一的总费用为:2×8+3×25=91元;
方案二的总费用为:3×8+2×25=74元.
∵91>74,
∴方案二的总费用最少.
23.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B的路径运动,且速度为每秒2cm,设点P的运动时间为t秒.
(1)则AC= 4 cm;
(2)当BP平分∠ABC,求此时点P的运动时间t的值;
(3)点P运动过程中,△BCP能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能请说明理由.
【分析】(1)根据勾股定理计算;
(2)作PE⊥AB于E,证明△BPE≌△BPC,根据全等三角形的性质和勾股定理计算;
(3)分CP=CB,点P在CA上,点P在AB上,BP=BC,PC=PB三种情况,根据等腰三角形的概念,勾股定理计算.
解:(1)由勾股定理得,AC==4(cm),
故答案为:4;
(2)作PE⊥AB于E,
在△BPE和△BPC中,
,
∴△BPE≌△BPC(AAS)
∴BE=BC=3,PE=PC,
∴AE=5﹣BE=2,AP=4﹣PC,
在Rt△AEP中,AP2=AE2+EP2,即(4﹣PC)2=22+PC2,
解得,PC=,
当BP平分∠ABC时,点P的运动时间t=÷2=秒;
(3)如图2,当CP=CB时,△BCP为等腰三角形,
若点P在CA上,则2t=3,
解得t=(s);
如图3,当BP=BC=3时,△BCP为等腰三角形,
∴AP=AB﹣BP=2,
∴t=(4+2)÷2=3(s);
如图4,若点P在AB上,CP=CB=3,作CD⊥AB于D,则根据面积法求得CD=,
在Rt△BCD中,由勾股定理得,BD=,
∴PB=2BD=
∴CA+AP=4+5﹣=5.4,
此时t=5.4÷2=2.7(s);
如图5,当PC=PB时,△BCP为等腰三角形,作PH⊥BC于H,则BH=CH,
∴PH为△ABC的中位线,
∴AP=BP=AB=,
∴t=(4+)÷2=(s);
综上所述,t为s或s或3s或s时,△BCP为等腰三角形;
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