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    浙江省杭州市西湖区三墩中学2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】

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    浙江省杭州市西湖区三墩中学2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】

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    这是一份浙江省杭州市西湖区三墩中学2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】,共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    2021-2022学年浙江省杭州市西湖区三墩中学八年级第一学期期中数学试卷
    一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,共30分)
    1.下列四个手机APP图标中,是轴对称图形的是(  )
    A. B. C. D.
    2.对于命题“|a|=a(a为实数)”,能说明它是假命题的反例是(  )
    A.a=﹣2 B.a=0 C.a= D.a=2
    3.若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm,则此三角形的第三边长可能为(  )
    A.1cm B.2cm C.5cm D.8cm
    4.若a>b,则下列式子中错误的是(  )
    A.a+1>b+1 B.2a>2b C.﹣>﹣ D.a>b﹣1
    5.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为(  )

    A.85° B.75° C.65° D.60°
    6.如图,等腰△ABC中,点D,E分别在腰AB,AC上,添加下列条件,不能判定△ABE≌△ACD的是(  )

    A.∠DCB=∠EBC B.∠ADC=∠AEB C.AD=AE D.BE=CD
    7.如图,正方形网格中(每个小正方形边长为1),点A,B,C均落在格点上,下列关于△ABC的描述中,正确的是(  )

    A.三边长都是有理数 B.是等腰三角形
    C.是直角三角形 D.面积为6.5
    8.已知x>1,x+a=1,则a的取值范围是(  )
    A.a<0 B.a≤0 C.a>0 D.a≥0
    9.如图,△ABC中,D是AB的中点,BE⊥AC,垂足为E.若DE=5,AE=8,则BE的长度是(  )

    A.4 B.6 C.8 D.10
    10.如图,△AOB≌△ADC,点B和点C是对应顶点,∠O=∠D=90°,记∠OAD=α,∠ABO=β,当BC∥OA时,α与β之间的数量关系为(  )

    A.α=β B.α=2β C.α+β=90° D.α+2β=180°
    二、填空题(本题有6个小题,每小题4分,共24分)
    11.“等边三角形的各个内角都等于60°”的逆命题是    ,这是    命题(填“真”或“假”).
    12.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠ACD=40°,则∠EBC=   度.

    13.等腰三角形有一外角为100°,则它的底角为   .
    14.如图,在△ABC中,点D,E分别为BC,AD的中点,且S△ABC=20,则S△ABE=   .

    15.若关于x的不等式组有解,则写出符合条件的一个a的值   .
    16.等边△ABC中,射线BA上有一点D,连结CD,以CD为边向上作等边△CDE,连结BE和AE,下列结论:①AE=BD;②AE与直线AB夹的锐角为60°;③当D在射线BA上时,总有∠BED﹣∠AED=∠BDC;④当∠BCD=90°时,CE2+AD2=AC2+DE2,正确的结论序号有    .

    三、解答题(本题有7个小题,共66分)
    17.解下列不等式(组),并把(1)的解集在数轴上表示出来.
    (1)2(x+1)﹣1>x;
    (2).
    18.如图,AB=DC,AC=DB,AC和BD相交于点O.
    (1)求证:△ABC≌△DCB;
    (2)求证:∠ABD=∠DCA.

    19.如图,已知△ABC.
    (1)尺规作图:求作∠BAC的角平分线AD,交BC于点D.(保留作图痕迹,不写作法)
    (2)若DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连结EF.请依据上述几何语言,画出完整图形,再判断AD是否垂直平分EF,并说明理由.

    20.如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,P为BD上的点,PD=AD且AB=CP.
    (1)求证:CD=BD;
    (2)∠PCD=30°,求∠CBA.

    21.已知等腰△ABC,AB=AC=a.
    (1)若∠B=2∠A,求∠B的度数.
    (2)若△ABC的周长是10,求腰长a的取值范围.
    22.在抗击新冠肺炎疫情期间,市场上防护口罩出现热销,某药店售出一批口罩.已知3包儿童口罩和2包成人口罩共26个,5包儿童口罩和3包成人口罩共40个.
    (1)求儿童口罩和成人口罩的每包各是多少个?
    (2)某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包,为使其中口罩总数量不低于26个,且不超过34个,
    ①有哪几种购买方案?
    ②若每包儿童口罩8元,每包成人口罩25元,哪种方案总费用最少?
    23.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B的路径运动,且速度为每秒2cm,设点P的运动时间为t秒.
    (1)则AC=   cm;
    (2)当BP平分∠ABC,求此时点P的运动时间t的值;
    (3)点P运动过程中,△BCP能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能请说明理由.



    参考答案
    一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,共30分)
    1.下列四个手机APP图标中,是轴对称图形的是(  )
    A. B. C. D.
    【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可.
    解:A、不是轴对称图形,故此选项错误;
    B、是轴对称图形,故此选项正确;
    C、不是轴对称图形,故此选项错误;
    D、不是轴对称图形,故此选项错误;
    故选:B.
    2.对于命题“|a|=a(a为实数)”,能说明它是假命题的反例是(  )
    A.a=﹣2 B.a=0 C.a= D.a=2
    【分析】反例就是满足条件,但是不满足结论.根据负数的绝对值等于它的相反数,a取任何一个负数都可以.
    解:∵负数的绝对值等于它的相反数,
    ∴任何一个负数都可以,a=﹣2符合题意,
    故选:A.
    3.若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm,则此三角形的第三边长可能为(  )
    A.1cm B.2cm C.5cm D.8cm
    【分析】设第三边为xcm,再根据三角形的三边关系求出x的取值范围,选出合适的x的值即可.
    解:设第三边为xcm,
    ∵三角形的两边长分别为3cm和5cm,
    ∴5cm﹣3cm<x<5cm+3cm,即2cm<x<8cm,
    ∴5cm符合题意,
    故选:C.
    4.若a>b,则下列式子中错误的是(  )
    A.a+1>b+1 B.2a>2b C.﹣>﹣ D.a>b﹣1
    【分析】利用不等式的基本性质判断即可.
    解:A、∵a>b,
    ∴a+1>b+1,故本选项不合题意;
    B、∵a>b,
    ∴2a>2b,故本选项不合题意;
    C、∵a>b,
    ∴﹣<﹣,故本选项符合题意;
    D、∵a>b,
    ∴a>b﹣1,故本选项不合题意;
    故选:C.
    5.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为(  )

    A.85° B.75° C.65° D.60°
    【分析】利用三角形外角的性质解答即可.
    解:如图所示,

    ∠α=∠E+∠ACB=30°+45°=75°,
    故选:B.
    6.如图,等腰△ABC中,点D,E分别在腰AB,AC上,添加下列条件,不能判定△ABE≌△ACD的是(  )

    A.∠DCB=∠EBC B.∠ADC=∠AEB C.AD=AE D.BE=CD
    【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可.
    解:A、因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,由∠DCB=∠EBC,所以∠ABE=∠ACD,根据ASA可以证明△ABE≌△ACD,本选项不符合题意.
    B、由∠ADC=∠AEB,根据AAS可以证明△ABE≌△ACD,本选项不符合题意.
    C、由AD=AE,根据SAS可以证明△ABE≌△ACD,本选项不符合题意.
    D、SSA,不能判定三角形全等,本选项符合题意.
    故选:D.
    7.如图,正方形网格中(每个小正方形边长为1),点A,B,C均落在格点上,下列关于△ABC的描述中,正确的是(  )

    A.三边长都是有理数 B.是等腰三角形
    C.是直角三角形 D.面积为6.5
    【分析】根据勾股定理分别求出AB、AC、BC,根据有理数的概念、等腰三角形的概念、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算,判断即可.
    解:A、由勾股定理得:AC==5,AB==,BC==,
    则AB、BC的长不是有理数,本选项说法错误,不符合题意;
    B、∵△ABC的三边都不相等,
    ∴△ABC不是等腰三角形,本选项说法错误,不符合题意;
    C、∵AB2+BC2=10+17=27,AC2=25,
    ∴AB2+BC2≠AC2,
    ∴△ABC不是直角三角形,本选项说法错误,不符合题意;
    D、S△ABC=4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1=6.5,
    故本选项说法正确,符合题意;
    故选:D.
    8.已知x>1,x+a=1,则a的取值范围是(  )
    A.a<0 B.a≤0 C.a>0 D.a≥0
    【分析】根据已知得出a=1﹣x,再根据x>1即可得出答案.
    解:∵x+a=1,
    ∴a=1﹣x,
    ∵x>1,
    ∴a<0.
    故选:A.
    9.如图,△ABC中,D是AB的中点,BE⊥AC,垂足为E.若DE=5,AE=8,则BE的长度是(  )

    A.4 B.6 C.8 D.10
    【分析】根据直角三角形的性质求出AB,根据勾股定理计算求出BE.
    解:∵BE⊥AC,D为AB的中点,
    ∴AB=2DE=10,
    由勾股定理得,BE===6.
    故选:B.
    10.如图,△AOB≌△ADC,点B和点C是对应顶点,∠O=∠D=90°,记∠OAD=α,∠ABO=β,当BC∥OA时,α与β之间的数量关系为(  )

    A.α=β B.α=2β C.α+β=90° D.α+2β=180°
    【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB=AC,全等三角形对应角相等可得∠BAO=∠CAD,然后求出∠BAC=α,再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC,然后根据两直线平行,同旁内角互补表示出∠OBC,整理即可.
    解:∵△AOB≌△ADC,
    ∴AB=AC,∠BAO=∠CAD,
    ∴∠BAC=∠OAD=α,
    在△ABC中,∠ABC=(180°﹣α),
    ∵BC∥OA,
    ∴∠OBC=180°﹣∠O=180°﹣90°=90°,
    ∴β+(180°﹣α)=90°,
    整理得,α=2β.
    故选:B.
    二、填空题(本题有6个小题,每小题4分,共24分)
    11.“等边三角形的各个内角都等于60°”的逆命题是  三个角都是60°的三角形是等边三角形 ,这是  真 命题(填“真”或“假”).
    【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题,根据等边三角形的判定定理判断即可.
    解:命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是“三个角都是60°的三角形是等边三角形”,是真命题,
    故答案为:三个角都是60°的三角形是等边三角形,真.
    12.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠ACD=40°,则∠EBC= 140 度.

    【分析】首先根据余角的性质求出∠ABC的度数,再根据邻补角定义求出∠EBC.
    解:∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,
    ∴∠ABC=∠ACD=90°﹣∠BCD=40°,
    ∴∠EBC=180°﹣∠ABC=140°.
    故答案为:140.
    13.等腰三角形有一外角为100°,则它的底角为 80°或50° .
    【分析】等腰三角形的一个外角等于100°,则等腰三角形的一个内角为80°,但已知没有明确此角是顶角还是底角,所以应分两种情况进行分类讨论.
    解:∵等腰三角形的一个外角等于100°,
    ∴等腰三角形的一个内角为80°,
    ①当80°为顶角时,其他两角都为50°、50°,
    ②当80°为底角时,其他两角为80°、20°,
    所以等腰三角形的底角可以是50°,也可以是80°
    答案为:80°或50°.
    14.如图,在△ABC中,点D,E分别为BC,AD的中点,且S△ABC=20,则S△ABE= 5 .

    【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,则利用点D为BC的中点得到S△ABD=10,然后利用E为AD的中点得到S△ABE=S△ABD.
    解:∵点D为BC的中点,
    ∴S△ABD=S△ABC=×20=10,
    ∵E为AD的中点,
    ∴S△ABE=S△ABD=×10=5.
    故答案为:5.
    15.若关于x的不等式组有解,则写出符合条件的一个a的值 6 .
    【分析】表示出不等式组的解集,根据不等式组有解确定出a的值即可.
    解:不等式整理得:,
    由不等式组有解,得到a>5,
    则满足题意a的值为6.
    故答案为:6.
    16.等边△ABC中,射线BA上有一点D,连结CD,以CD为边向上作等边△CDE,连结BE和AE,下列结论:①AE=BD;②AE与直线AB夹的锐角为60°;③当D在射线BA上时,总有∠BED﹣∠AED=∠BDC;④当∠BCD=90°时,CE2+AD2=AC2+DE2,正确的结论序号有  ①②④ .

    【分析】利用△BCD≌△ACE(SAS),可以证明①②正确,③错误,当∠BCD=90°时,易知AC=AD,根据EC=DE即可判断④正确.
    解:如图,设CD交AE于O.

    ∵△ABC,△CED都是等边三角形,
    ∴CB=CA,CD=CE,∠BCA=∠DCE=60°,
    ∴∠BCD=∠ACE,
    ∴△BCD≌△ACE(SAS),
    ∴BD=AE,∠BDC=∠AEC,故①正确,
    ∵∠EOC=∠DOA,
    ∴∠OAD=∠OCE=60°,
    ∴AE与AB的夹角为60°,故②正确,
    ∵∠BED﹣∠AED=∠AEB<∠AEC,∠AEC=∠BDC,
    ∴∠BED﹣∠AED<∠BDC,故③错误,
    当∠BCD=90°时,易证AC=AD,
    ∵CE=DE,
    ∴CE2+AD2=AC2+DE2故④正确,
    故答案为:①②④.
    三、解答题(本题有7个小题,共66分)
    17.解下列不等式(组),并把(1)的解集在数轴上表示出来.
    (1)2(x+1)﹣1>x;
    (2).
    【分析】(1)去括号,移项、合并同类项、系数化成1即可求解;
    (2)解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.
    解:(1)2(x+1)﹣1>x,
    去括号,得:2x+2﹣1>x,
    移项,得:2x﹣x>﹣2+1,
    合并同类项得:x>﹣1,
    在数轴上表示为:

    (2),
    由①得 x≥﹣4;
    由②得 x<2;
    不等式组的解集﹣4≤x<2.
    18.如图,AB=DC,AC=DB,AC和BD相交于点O.
    (1)求证:△ABC≌△DCB;
    (2)求证:∠ABD=∠DCA.

    【分析】(1)由“SSS”可证△ABC≌△DCB;
    (2)由全等三角形的性质可得∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,即可求解.
    【解答】证明:(1)在△ABC和△DCB中,

    ∴△ABC≌△DCB(SSS);
    (2)∵△ABC≌△DCB,
    ∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,
    ∴∠ABD=∠DCA.
    19.如图,已知△ABC.
    (1)尺规作图:求作∠BAC的角平分线AD,交BC于点D.(保留作图痕迹,不写作法)
    (2)若DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连结EF.请依据上述几何语言,画出完整图形,再判断AD是否垂直平分EF,并说明理由.

    【分析】(1)利用基本作图作角平分线AD,再作DE⊥AB,DF⊥AC;
    (2)利用角平分线的性质得DE=DF,则点D在EF的垂直平分线上,再证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE=AF;则点A在EF的垂直平分线上,于是可判断AD垂直平分EF.
    解:(1)如图,AD即为所求;

    (2)如图即为完整图形,AD为EF的垂直平分线.理由如下:
    ∵△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
    ∴DE=DF,
    ∴点D在EF的垂直平分线上,
    在Rt△AED与Rt△AFD中,

    ∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),
    ∴AE=AF;
    ∴点A在EF的垂直平分线上,
    ∴AD垂直平分EF.
    20.如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,P为BD上的点,PD=AD且AB=CP.
    (1)求证:CD=BD;
    (2)∠PCD=30°,求∠CBA.

    【分析】(1)由“HL”可证Rt△ABD≌Rt△PCD,可得CD=BD;
    (2)由全等三角形的性质可得∠PCD=∠ABD=30°,由等腰三角形的性质可求∠CBD=45°,即可求解.
    【解答】(1)证明:∵BD⊥AC,
    ∴∠CDP=∠BDA=90°,
    在Rt△ABD和Rt△PCD中,

    ∴Rt△ABD≌Rt△PCD(HL),
    ∴CD=BD;
    (2)∵Rt△ABD≌Rt△PCD,
    ∴∠PCD=∠ABD=30°,
    ∵CD=BD,∠BDC=90°,
    ∴∠CBD=45°,
    ∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=75°.
    21.已知等腰△ABC,AB=AC=a.
    (1)若∠B=2∠A,求∠B的度数.
    (2)若△ABC的周长是10,求腰长a的取值范围.
    【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可;
    (2)根据等腰三角形的性质和三角形三边关系解答即可.
    解:(1)∵AB=AC,∠B=2∠A,
    ∴∠B=∠C,
    ∴2∠A+2∠A+∠A=180°,
    ∴∠A=36°,
    ∴∠B=72°;
    (2)∵AB=AC=a,△ABC的周长是10,
    根据题意可得:10﹣2a﹣a<a<10﹣2a+a,
    解得2.5<a<5.
    22.在抗击新冠肺炎疫情期间,市场上防护口罩出现热销,某药店售出一批口罩.已知3包儿童口罩和2包成人口罩共26个,5包儿童口罩和3包成人口罩共40个.
    (1)求儿童口罩和成人口罩的每包各是多少个?
    (2)某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包,为使其中口罩总数量不低于26个,且不超过34个,
    ①有哪几种购买方案?
    ②若每包儿童口罩8元,每包成人口罩25元,哪种方案总费用最少?
    【分析】(1)设儿童口罩每包x个,成人口罩每包y个,根据:“3包儿童口罩和2包成人口罩共26个,5包儿童口罩和3包成人口罩共40个”列方程组求解即可;
    (2)①设购买儿童口罩m包,根据“这两种型号的口罩共5包,为使其中口罩总数量不低于26个,且不超过34个”列出不等式组,确定m的取值,进而解决问题;
    ②分别求出每个方案的费用即可解决问题.
    解:(1)设儿童口罩每包x个,成人口罩每包y个,根据题意得,

    解得,,
    ∴儿童口罩每包2个,成人口罩每包10个;
    (2)①设购买儿童口罩m包,则购买成人口罩(5﹣m)包,根据题意得,

    解得,2≤m≤3,
    ∵m为整数,
    ∴m=2或m=3,
    ∴共有两种购买方案:方案一:购买儿童口罩2包,则购买成人口罩3包;方案二:购买儿童口罩3包,则购买成人口罩2包.
    ②方案一的总费用为:2×8+3×25=91元;
    方案二的总费用为:3×8+2×25=74元.
    ∵91>74,
    ∴方案二的总费用最少.
    23.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B的路径运动,且速度为每秒2cm,设点P的运动时间为t秒.
    (1)则AC= 4 cm;
    (2)当BP平分∠ABC,求此时点P的运动时间t的值;
    (3)点P运动过程中,△BCP能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能请说明理由.

    【分析】(1)根据勾股定理计算;
    (2)作PE⊥AB于E,证明△BPE≌△BPC,根据全等三角形的性质和勾股定理计算;
    (3)分CP=CB,点P在CA上,点P在AB上,BP=BC,PC=PB三种情况,根据等腰三角形的概念,勾股定理计算.
    解:(1)由勾股定理得,AC==4(cm),
    故答案为:4;
    (2)作PE⊥AB于E,
    在△BPE和△BPC中,

    ∴△BPE≌△BPC(AAS)
    ∴BE=BC=3,PE=PC,
    ∴AE=5﹣BE=2,AP=4﹣PC,
    在Rt△AEP中,AP2=AE2+EP2,即(4﹣PC)2=22+PC2,
    解得,PC=,
    当BP平分∠ABC时,点P的运动时间t=÷2=秒;
    (3)如图2,当CP=CB时,△BCP为等腰三角形,
    若点P在CA上,则2t=3,
    解得t=(s);
    如图3,当BP=BC=3时,△BCP为等腰三角形,
    ∴AP=AB﹣BP=2,
    ∴t=(4+2)÷2=3(s);
    如图4,若点P在AB上,CP=CB=3,作CD⊥AB于D,则根据面积法求得CD=,
    在Rt△BCD中,由勾股定理得,BD=,
    ∴PB=2BD=
    ∴CA+AP=4+5﹣=5.4,
    此时t=5.4÷2=2.7(s);
    如图5,当PC=PB时,△BCP为等腰三角形,作PH⊥BC于H,则BH=CH,
    ∴PH为△ABC的中位线,
    ∴AP=BP=AB=,
    ∴t=(4+)÷2=(s);
    综上所述,t为s或s或3s或s时,△BCP为等腰三角形;








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