2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习40《双曲线》(含详解)

这是一份2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习40《双曲线》(含详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)=1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)=1 C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)=1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)=1
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(eq \r(3)，3)，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,20)=1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)=1 C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)=1 D.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,4)=1
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,1－a2)=1(0＜a＜1)的离心率为eq \r(2)，则a的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(3),3)
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若eq \(BA,\s\up10(→))=2eq \(AF,\s\up10(→))，且|eq \(BF,\s\up10(→))|=4，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,5)=1 B.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,12)=1 C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)=1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)=1
已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)=1(b＞0)的离心率等于eq \f(\r(3),3)b，则该双曲线的焦距为( )
A.2eq \r(5) B.2eq \r(6) C.6 D.8
已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)=1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)=1 C.eq \f(x2,10)－eq \f(y2,6)=1 D.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,10)=1
若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=－2x，则该双曲线的离心率是( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \r(3) C.eq \r(5) D.2eq \r(3)
已知A，B分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点.若双曲线C的离心率为2，PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，则k1k2k3的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),9))) B.(0，eq \r(3)) C.(0,3eq \r(3)) D.(0,8)
如图，已知点P在以F1，F2为焦点的双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)上，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3)＋1,2) C.2 D.2eq \r(3)－1
已知F是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的右焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M，若|FM|=2a，记该双曲线的离心率为e，则e2=( )
A.eq \f(1＋\r(17),2) B.eq \f(1＋\r(17),4) C.eq \f(2＋\r(5),2) D.eq \f(2＋\r(5),4)
双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1=0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|=2|F2A|，则cs∠AF2F1等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(5),4) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(1,4)
已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2=0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞)) C.(1,2) D.(2，＋∞)
二、填空题
已知F1、F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,b2)=1(b＞0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|=2且∠F1AF2=45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等 .
若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的eq \f(1,4)，则该双曲线的离心率为__________.
双曲线T：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)=1(a＞0，b＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则T的实轴长等于__________.
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作圆(x－a)2＋y2=eq \f(c2,16)的切线，
若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为________.
已知焦点在x轴上的双曲线eq \f(x2,8－m)＋eq \f(y2,4－m)=1，它的焦点到渐近线的距离取值范围是 .
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率为 .
\s 0 答案解析
答案为：C
解析：由已知可得交点(3,4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r=eq \r(32＋42)=5，
故c=5，a2＋b2=25，又双曲线的一条渐近线y=eq \f(b,a)x过点(3,4)，故3b=4a，
可解得b=4，a=3.故选C.
答案为：C；
解析：双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x，
由双曲线的一条渐近线过点(eq \r(3)，3)，可得eq \f(b,a)=eq \r(3)，①
由双曲线的一个焦点(－c,0)在抛物线y2=16x的准线x=－4上，可得c=4，
即有a2＋b2=16，②
由①②解得a=2，b=2eq \r(3)，则双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)=1.故选C.
答案为：B；
解析：∵c2=a2＋1－a2=1，∴c=1，又eq \f(c,a)=eq \r(2)，∴a=eq \f(\r(2),2)，故选B.
答案为：D；
解析：不妨设B(0，b)，由eq \(BA,\s\up10(→))=2eq \(AF,\s\up10(→))，F(c，0)，可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2c,3)，\f(b,3)))，
代入双曲线C的方程可得eq \f(4,9)×eq \f(c2,a2)－eq \f(1,9)=1，即eq \f(4,9)·eq \f(a2＋b2,a2)=eq \f(10,9)，所以eq \f(b2,a2)=eq \f(3,2)，①
又|eq \(BF,\s\up10(→))|=eq \r(b2＋c2)=4，c2=a2＋b2，所以a2＋2b2=16，②
由①②可得，a2=4，b2=6，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)=1，故选D.
答案为：D
解析：设双曲线的焦距为2c.由已知得eq \f(c,2)=eq \f(\r(3),3)b，又c2=4＋b2，解得c=4，
则该双曲线的焦距为8.
答案为：A；
解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c=4，a=2，b2=12，
即双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)=1，故选A.
答案为：C；
解析：由双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x，且双曲线的一条渐近线方程为y=－2x，得eq \f(b,a)=2，则b=2a，则双曲线的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(a2＋b2),a)=eq \f(\r(a2＋4a2),a)=eq \f(\r(5)a,a)=eq \r(5).故选C.
答案为：C
解析：因为e=eq \f(c,a)=2，所以b=eq \r(3)a.设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，
则eq \f(x\\al(2,0),a2)－eq \f(y\\al(2,0),b2)=1，k1·k2=eq \f(y0,x0＋a)·eq \f(y0,x0－a)=eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－a2)=eq \f(b2,a2)=3.
又双曲线的渐近线方程为y=±eq \r(3)x，
所以0＜k3＜eq \r(3).所以0＜k1k2k3＜3 eq \r(3).故选C.
答案为：B；
解析：由题意知四边形F1F2PQ的边长为2c，连接QF2，由对称性可知，|QF2|=|QF1|=2c，
则三角形QPF2为等边三角形.过点P作PH⊥x轴于点H，则∠PF2H=60°，
因为|PF2|=2c，所以在直角三角形PF2H中，|PH|=eq \r(3)c，|HF2|=c，则P(2c，eq \r(3)c)，
连接PF1，则|PF1|=2eq \r(3)c.由双曲线的定义知，2a=|PF1|－|PF2|=2eq \r(3)c－2c=2(eq \r(3)－1)c，
所以双曲线的离心率为eq \f(c,a)=eq \f(1,\r(3)－1)=eq \f(\r(3)＋1,2).
答案为：A；
解析：由题意得，F(c，0)，该双曲线的一条渐近线为y=－eq \f(b,a)x，将x=c代入y=－eq \f(b,a)x得y=－eq \f(bc,a)，
所以eq \f(bc,a)=2a，即bc=2a2，所以4a4=b2c2=c2(c2－a2)，所以e4－e2－4=0，解得e2=eq \f(1＋\r(17),2)，故选A.
答案为：C；
解析：因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1=0垂直，所以b=2a.又|F1A|=2|F2A|，
且|F1A|－|F2A|=2a，所以|F2A|=2a，|F1A|=4a，而c2=5a2，得2c=2eq \r(5)a，
所以cs∠AF2F1=eq \f(|F1F2|2＋|F2A|2－|F1A|2,2|F1F2||F2A|)=eq \f(20a2＋4a2－16a2,2×2\r(5)a×2a)=eq \f(\r(5),5)，故选C.
答案为：A；
解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x，
即bx±ay=0，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2=0可化为(x－a)2＋y2=eq \f(1,4)a2，
圆心C2的坐标为(a,0)，半径r=eq \f(1,2)a，
由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得eq \f(|ab|,\r(a2＋b2))＜eq \f(1,2)a，
即c＞2b，即c2＞4b2，
又知b2=c2－a2，所以c2＞4(c2－a2)，即c2＜eq \f(4,3)a2，所以e=eq \f(c,a)＜eq \f(2\r(3),3)，
又知e＞1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3)))，故选A.
答案为：4；
解析：由题意知a=1，如图，
由双曲线定义知|AF1|－|AF2|=2a=2，|BF1|－|BF2|=2a=2，
∴|AF1|=2＋|AF2|=4，|BF1|=2＋|BF2|.
由题意知|AB|=|AF2|＋|BF2|=2＋|BF2|，
∴|BA|=|BF1|，∴△BAF1为等腰三角形，
∵∠F1AF2=45°，∴∠ABF1=90°，∴△BAF1为等腰直角三角形.
∴|BA|=|BF1|=eq \f(\r(2),2)|AF1|=eq \f(\r(2),2)×4=2eq \r(2).∴S△F1AB=eq \f(1,2)|BA|·|BF1|=eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)=4.
答案为：eq \f(2\r(3),3).
解析：双曲线的一条渐近线方程为bx－ay=0，一个焦点坐标为(c,0).
由题意得eq \f(|bc－a×0|,\r(b2＋a2))=eq \f(1,4)×2c.所以c=2b，a=eq \r(c2－b2)=eq \r(3)b，所以e=eq \f(c,a)=eq \f(2,\r(3))=eq \f(2\r(3),3).
答案为：8.
解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y=eq \f(a,b)x，即ax－by=0的距离为eq \f(|5b|,\r(a2＋b2))=eq \f(5b,c)=b=3，
所以a=4,2a=8.
答案为：2.
解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y=eq \f(b,a)x，由题意可知该切线方程为y=－eq \f(a,b)(x－c)，
即ax＋by－ac=0.又圆(x－a)2＋y2=eq \f(c2,16)的圆心为(a,0)，半径为eq \f(c,4)，则圆心到切线的距离d=eq \f(|a2－ac|,\r(a2＋b2))=eq \f(ac－a2,c)=eq \f(c,4)，又e=eq \f(c,a)，则e2－4e＋4=0，解得e=2.
答案为：(0,2)；
解析：对于焦点在x轴上的双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)，
它的焦点(c,0)到渐近线bx－ay=0的距离为eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))=b.
本题中，双曲线eq \f(x2,8－m)＋eq \f(y2,4－m)=1即eq \f(x2,8－m)－eq \f(y2,m－4)=1，其焦点在x轴上，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8－m＞0，,m－4＞0，))解得4＜m＜8，则焦点到渐近线的距离d=eq \r(m－4)∈(0,2).
答案为：eq \f(4,3).
解析：设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，又△APQ的一个内角为60°，
所以△APQ为正三角形，则∠PFx=60°，所以PF=AF=a＋c，∴PF1=3a＋c，
在△PFF1中，由余弦定理可得PFeq \\al(2,1)=PF2＋FFeq \\al(2,1)－2PF·FF1cs120°.
故3c2－ac－4a2=0，整理得3e2－e－4=0，解得e=eq \f(4,3).