2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习33《直线、平面的平行关系》(含详解)

这是一份2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习33《直线、平面的平行关系》(含详解)，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AB，CC1，DD1的中点，过点G作平面D1EF的平行截面，则正方体被截面截得的较小部分的几何体的体积为( )
A.6 B.3 C.eq \f(9,4) D.eq \f(3,2)
如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，\r(2))) D.[eq \r(2)，eq \r(3)]
已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是( )
A.a⊂α，若b∥a，则b∥α
B.α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b⊥β
C.a⊥b，b⊥c，则a∥c
D.a∩b=A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AD=4，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为( )
A.eq \r(2) B.2 C.2eq \r(2) D.2eq \r(3)
如图，在四棱锥P­ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AD=4，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为( )
A.eq \r(2) B.2 C.2eq \r(2) D.2eq \r(3)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则tan∠APA1的最大值是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.1 C.eq \r(2) D.2eq \r(2)
已知α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，
则m，n的位置关系不可能是( )
A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行
已知m，n，l1，l2表示不同直线，α、β表示不同平面，若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2=M，则α∥β的一个充分条件是( )
A.m∥β且l1∥α B.m∥β且n∥β
C.m∥β且n∥l2 D.m∥l1且n∥l2
有如下三个命题：
①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；
②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；
③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直.
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD=( )
A.16 B.24或4.8 C.14 D.20
如图，ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=eq \f(a,3)，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=( )
A.eq \f(2\r(2),3)a B.eq \f(2\r(3),3)a C.eq \f(\r(2),3)a D.eq \f(\r(3),3)a
二、填空题
给出下列四个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；
③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；
④若三条直线交于同一点，则这三条直线共面.
其中真命题的序号是________.
在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.
设a，b是异面直线，则过不在a，b上任一点P，可作________个平面和a，b都平行.
如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB=2 cm，DE=4 cm，EF=3 cm，则AC的长为________cm.
如图是一张矩形白纸ABCD，AB=10，AD=10eq \r(2)，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且A、C在平面BFDE同侧，下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的序号)
①当平面ABE∥平面CDF时，AC∥平面BFDE；
②当平面ABE∥平面CDF时，AE∥CD；
③当A、C重合于点P时，PG⊥PD；
④当A、C重合于点P时，三棱锥P-DEF的外接球的表面积为150π.
如图是一张矩形折纸ABCD，AB=10，AD=10eq \r(2)，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且A、C在平面BFDE同侧，下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的序号)
①当平面ABE∥平面CDF时，AC∥平面BFDE；
②当平面ABE∥平面CDF时，AE∥CD；
③当A、C重合于点P时，PG⊥PD；
④当A、C重合于点P时，三棱锥P­DEF的外接球的表面积为150π.
\s 0 答案解析
答案为：D
解析：若l∥平面α，则交线都平行；若l∩平面α=A，则交线都交于同一点A.
答案为：D
解析：如图，连接GC，则GC∥D1F，延长D1F交DC的延长线于M，连接EM，
作CN∥EM交AD于点N，连接GN，
则平面GCN为平行于平面D1EF的截面，正方体被截面截得的较小部分的几何体为
D－GCN，DG=eq \f(3,2)，CD=3，由tan∠DCN=tan∠DME=eq \f(2,3)⇒
DN=CDtan∠DCN=3×eq \f(2,3)=2⇒VD－GCN=VG－CDN=eq \f(1,6)×eq \f(3,2)×3×2=eq \f(3,2).
答案为：B；
解析：取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面AMN∥平面AEF，
所以点P位于线段MN上，因为A1M=A1N=eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))=eq \f(\r(5),2)，MN=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))=eq \f(\r(2),2)，
所以当点P位于M，N处时，A1P的长度最长，当P位于MN的中点O时，A1P的长度最短，
此时A1O=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)))\s\up12(2))=eq \f(3\r(2),4)，所以A1O≤A1P≤A1M，即eq \f(3\r(2),4)≤A1P≤eq \f(\r(5),2)，
所以线段A1P长度的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))，选B.
答案为：D；
解析：选项A中，b⊂α或b∥α，不正确.
B中b与β可能斜交或b在β内，B错误.
C中a∥c，a与c异面，或a与c相交，C错误.
利用面面平行的判定定理，易知D正确.
答案为：C；
解析：如图，∵PD与平面CEF交于点H，
∴平面CEF∩平面PCD=CH，∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，
过点H作HM∥PA交AD于点M，连接CM，∵EF∩AF=F，CH∩HM=H，
∴平面AEF∥平面CHM，
∵平面AEF∩平面ABCD=AE，平面CHM∩平面ABCD=CM，∴AE∥CM，
又BC∥AM，∴四边形ABCM为平行四边形，∴AM=2.
又AD=4，∴M是AD的中点，
则H为PD的中点，∴CH=eq \r(CM2＋MH2)=eq \r(22＋22)=2eq \r(2)，故选C.
答案为：C.
解析：∵PD与平面CEF交于点H，
∴平面CEF∩平面PCD=CH，∵EF∥平面PCD，
∴EF∥CH，过点H作HM∥PA交AD于点M，连接CM，
∵EF∩AF=F，CH∩HM=H，∴平面AEF∥平面CHM，
∵平面AEF∩平面ABCD=AE，平面CHM∩平面ABCD=CM，∴AE∥CM，又BC∥AM，
∴四边形ABCM为平行四边形，∴AM=2.又AD=4，
∴M是AD的中点，则H为PD的中点，
∴CH=eq \r(CM2＋MH2)=eq \r(22＋22)=2eq \r(2)，故选C.
答案为：D；
解析：如图，分别取A1D1的中点G，A1B1的中点H，连接GH，AG，AH，
连接A1C1，交GH，EF于点M，N，连接AM，连接AC，交BD于点O，连接ON.
易证MN綊OA，所以四边形AMNO是平行四边形，所以AM∥ON，
因为AM⊄平面BEFD，ON⊂平面BEFD，所以AM∥平面BEFD，
易证GH∥EF，因为GH⊄平面BEFD，EF⊂平面BEFD，
所以GH∥平面BEFD，又AM∩GH=M，AM，GH⊂平面AGH，
所以平面AGH∥平面BEFD，所以点P在GH上，
当点P与点M重合时，tan∠APA1的值最大.
设正方体的棱长为1，则A1P=eq \f(\r(2),4)，所以tan∠APA1的最大值为eq \f(1,\f(\r(2),4))=2eq \r(2).
答案为：D.
解析：对于选项A，当m⊥α时，因为n⊂α，所以m⊥n，可能；
对于选项B，当A∈n时，m∩n=A，可能；
对于选项C，若A∉n，由异面直线的定义知m，n异面，可能；
对于选项D，若m∥n，因为m⊄α，n⊂α，所以m∥α，这与m∩α=A矛盾，不可能平行，故选D.
答案为：D；
解析：对于选项A，当m∥β且l1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A不是α∥β的充分条件；对于选项B，当m∥β且n∥β时，若m∥n，则α，β可能平行也可能相交，故B不是α∥β的充分条件；对于选项C，当m∥β且n∥l2时，α，β可能平行也可能相交，故C不是α∥β的充分条件；对于选项D，当m∥l1，n∥l2时，由线面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2=M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m∥l1且n∥l2不一定成立，故D是α∥β的一个充分条件，故选D.
答案为：C；
解析：①分别在两个平面中的两条直线不一定是异面直线，故①错误.
②此命题是直线与平面垂直的性质定理，故②正确.
③可过斜线与平面α的交点作一条垂直于平面α的直线，则斜线与垂线所确定的平面即与平面α垂直，这样的平面有且只有一个.故③正确.
所以②③正确.
答案为：B；
解析：设BD=x，由α∥β⇒AB∥CD⇒△PAB∽△PCD⇒eq \f(PB,PA)=eq \f(PD,PC).
①当点P在两平面之间时，如图(1)，则有eq \f(x－8,6)=eq \f(8,9－6)，∴x=24；
②当点P在两平面外侧时，如图(2)，则有eq \f(8－x,6)=eq \f(8,9＋6)，∴x=eq \f(24,5)，故选B.
答案为：A；
解析：因为ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
又P是棱AD上一点，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，所以MN∥PQ，
又M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，AP=eq \f(a,3)，所以CQ=eq \f(a,3)，所以DP=DQ=eq \f(2a,3)，
所以PQ=eq \r(DP2＋DQ2)=eq \f(2\r(2)a,3).
答案为：①②③
解析：①正确，因为直线在平面外，即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点.②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交.③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面.④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内.
答案为：平面ABD与平面ABC
解析：如图，取CD的中点E.
连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，
则EM∶MA=1∶2，EN∶BN=1∶2，
所以MN∥AB.因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
答案为：0或1
解析：过P作a，b的平行线a′，b′，过a′，b′作平面α.
①当a⊂α或b⊂α时，则过P与a，b都平行的平面不存在，即0个；
②当a⊄α且b⊄α时，则α即为过P与a，b都平行的平面，也只有这一个.
答案为：eq \f(7,2).
解析：因为平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，连接AD，BE，CF(图略).所以AD∥BE∥CF，所以eq \f(AB,BC)=eq \f(DE,EF)，
因为AB=2 cm，DE=4 cm，EF=3 cm，所以eq \f(2,BC)=eq \f(4,3)，解得BC=eq \f(3,2) cm，
所以AC=AB＋BC=2＋eq \f(3,2)=eq \f(7,2)(cm).
答案为：①④；
解析：在△ABE中，tan∠ABE=eq \f(\r(2),2)，在△ACD中，tan∠CAD=eq \f(\r(2),2)，
所以∠ABE=∠DAC，
由题意，将△ABE，△DCF沿BE，DF折起，且A，C在平面BEDF同侧，
此时A、C、G、H四点在同一平面内，平面ABE∩平面AGHC=AG，
平面CDF∩平面AGHC=CH，当平面ABE∥平面CDF时，得到AG∥CH，
显然AG=CH，所以四边形AGHC为平行四边形，所以AC∥GH，
进而可得AC∥平面BFDE，故①正确；
由于折叠后，直线AE与直线CD为异面直线，所以AE与CD不平行，故②不正确；
当A、C重合于点P时，可得PG=eq \f(10\r(3),3)，PD=10，
又GD=10，∴PG2＋PD2≠GD2，所以PG与PD不垂直，故③不正确；
当A，C重合于点P时，在三棱锥P-DEF中，
△EFD与△FCD均为直角三角形，所以DF为外接球的直径，
即R=eq \f(DF,2)=eq \f(5\r(6),2)，所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(6),2)))2=150π，故④正确.
综上，正确命题的序号为①④.
答案为：①④.
解析：在△ABE中，tan∠ABE=eq \f(\r(2),2)，在△ACD中，tan∠CAD=eq \f(\r(2),2)，
所以∠ABE=∠DAC，由题意，将△ABE，△DCF沿BE，DF折起，且A，C在平面BEDF同侧，此时A、C、G、H四点在同一平面内，平面ABE∩平面AGHC=AG，平面CDF∩平面AGHC=CH，当平面ABE∥平面CDF时，得到AG∥CH，显然AG=CH，所以四边形AGHC为平行四边形，所以AC∥GH，进而可得AC∥平面BFDE，故①正确；
由于折叠后，直线AE与直线CD为异面直线，所以AE与CD不平行，故②不正确；
当A、C重合于点P时，可得PG=eq \f(10\r(3),3)，PD=10，又GD=10，∴PG2＋PD2≠GD2，
所以PG与PD不垂直，故③不正确；
当A，C重合于点P时，在三棱锥P­DEF中，△EFD与△FCD均为直角三角形，
所以DF为外接球的直径，即R=eq \f(DF,2)=eq \f(5\r(6),2)，
所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(6),2)))2=150π，故④正确.
综上，正确命题的序号为①④.