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    2021年河南省安阳市高考数学一模试卷(理科)(含解析).doc

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    这是一份2021年河南省安阳市高考数学一模试卷(理科)(含解析).doc,共37页。试卷主要包含了选择题.,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021年河南省安阳市高考数学一模试卷(理科)

    一、选择题(共12小题).

    1.已知集合A={x|y=},B={x|x2﹣5x﹣14>0},则A∩(∁RB)=(  )

    A.[﹣2,7]    B.[﹣,2)    C.[﹣2,)    D.∅

    2.复数z=在复平面内对应的点位于(  )

    A.第一象限    B.第二象限    C.第三象限    D.第四象限

    3.已知向量,的夹角为,||=,•()=2,则||=(  )

    A.B.1    C.D.2

    4.设函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),且∀x1,x2∈(0,∞)(x1≠x2)有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,则(  )

    A.f(﹣2)<f(﹣3)<f(1)    B.f(﹣3)<f(﹣2)<f(1)   

    C.f(﹣1)<f(﹣2)<f(3)    D.f(﹣1)<f(3)<f(﹣2)

    5.已知=7,则cos()=(  )

    A.B.C.D.

    6.自2021年1月1日起,《中华人民共和国民法典》开始施行,为了解某市市民对《中华人民共和国民法典》的了解情况,决定发放3000份问卷,并从中随机抽取200份进行统计,已知该问卷满分100分,通过对随机抽取的200份问卷成绩进行统计得到了如图所示的频率分布直方图,估计这3000份问卷中成绩不低于80分的份数为(  )



    A.840    B.720    C.600    D.540

    7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=22,则a412=(  )

    A.2    B.4    C.6    D.8

    8.(x3﹣2)(x)6的展开式中x6的系数为(  )

    A.6    B.10    C.13    D.15

    9.用平面α截棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,所得的截面的周长记为m,则当平面α经过正方体的某条体对角线时,m的最小值为(  )

    A.B.C.3D.2

    10.在《西游记》中,凤仙郡太守生气时误推倒祭祀玉帝的贡桌,玉帝一怒之下下令凤仙郡三年不能下雨,于是孙悟空和猪八戒上天庭去找玉帝理论,玉帝要求鸡要吃完米,狗要舔完面,火烧断了锁才能下雨.孙悟空打量着形如圆锥的面山,让猪八戒从面山脚下H出发经过PB的中点M到H′,大致观察一下该面山,如图所示,若猪八戒经过的路线为一条抛物线,PO=2,底面圆O的面积为16π,HH′为底面圆O的一条直径,则该抛物线的焦点到准线的距离为(  )

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    A.B.C.D.

    11.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,B,点P,Q是双曲线C上关于x轴对称的两点,且直线PQ经过点F.如果M是线段FQ上靠近点Q的三等分点,E在y轴的正半轴上,且E,A,M三点共线,P,E,B三点共线,则双曲线C的离心率为(  )

    A.5    B.2C.2D.6

    12.已知向量=(cos2x,m),=(,4x﹣2cosx﹣2sinx),函数f(x)=•﹣3x,且当x∈[0,]时,f(x)单调递增,则实数m的最小值为(  )

    A.3    B.C.2    D.

    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

    13.已知x,y满足,则目标函数z=3x﹣y的最大值为  .

    14.如图,点C在以AB为直径的圆O上,|AC|=|BC|=5,若以直线AB为轴旋转一周,左半圆旋转所形成的几何体的体积为V1,△ABC旋转所形成的几何体的体积为V2,则V1V2=  .



    15.若存在x0∈(﹣1,2),满足ln>ax0﹣2a,则实数a的取值范围为  .

    16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosCcsinA=0,则tanA tanB的取值范围为  .

    三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.

    17.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3n2 9n,bn=2.

    (Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;

    (Ⅱ)求数列{anbn}的前n项和Tn.

    18.如图①,在平面四边形SBCD中,AD∥BC,AD⊥SB,且AD=AB=2BC,将△SAD沿AD折起得到四棱锥P﹣ABCD,如图②,且E为PD的中点.

    (Ⅰ)求证:CE∥平面PAB.

    (Ⅱ)若PA=PB=5,AB=6,问:在线段CD上是否存在一点G使二面角G﹣PA﹣B为?若存在,求出线段GC的长;若不存在,请说明理由.



    19.乒乓球是中国国球,它是一种世界流行的球类体育项目.某中学为了鼓励学生多参加体育锻炼,定期举办乒乓球竞赛,该竞赛全程采取“一局定输赢”的比赛规则,首先每个班级需要对本班报名学生进行选拔,选取3名学生参加校内终极赛与其他班级学生进行同台竞技.

    (Ⅰ)若高三(1)班共有6名男生和4名女生报名,且报名参赛的选手实力相当,求高三(1)班选拔的校内终极赛参赛选手均为男生的概率.

    (Ⅱ)若高三(1)班选拔的选手甲、乙、丙分别与高三(2)班选拔的选手A,B,C对抗,甲、乙、丙获胜的概率分别为,p,1﹣p,且甲、乙丙三人之间获胜与否互不影响,记ξ为在这次对抗中高三(1)班3名选手获胜的人数,P(ξ=0)=.

    (ⅰ)求p;

    (ⅱ)求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).

    20.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P(x0,x0)为椭圆C上一点,点M,N关于y轴对称,且=,||=4,△PAB的面积的最大值为2.

    (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

    (Ⅱ)设直线PM,PN分别交x轴于点D,E,若|AD|,|DE|,|EB|成等比数列,求点M的纵坐标.

    21.已知函数f(x)=aex﹣xexx﹣a(a∈R).

    (Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

    (Ⅱ)若对任意x>0都有f(x)<x 1恒成立,求a的最大整数值.

    (二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]

    22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程(θ为参数),直线l过点M(1,0)且倾斜角为α.

    (Ⅰ)求出直线l的参数方程和曲线C的普通方程;

    (Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点,且=,求cosα的值.

    [选修4-5:不等式选讲]

    23.已知函数f(x)=|3x 1|﹣3|x﹣2|.

    (Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≤2x |x﹣2|;

    (Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤14m﹣3m2﹣1恒成立,求实数m的取值范围.



    参考答案

    一、选择题(共12小题).

    1.已知集合A={x|y=},B={x|x2﹣5x﹣14>0},则A∩(∁RB)=(  )

    A.[﹣2,7]    B.[﹣,2)    C.[﹣2,)    D.∅

    解:∵5﹣x2>0,∴﹣<x<,∴A={x|﹣<x<},

    ∵x2﹣5x﹣14>0,∴x>7或x<﹣2,∴∁RB={x|﹣2≤x≤7},

    ∴A∩(∁RB)=[﹣2,),

    故选:C.

    2.复数z=在复平面内对应的点位于(  )

    A.第一象限    B.第二象限    C.第三象限    D.第四象限

    解:z====﹣i,

    故复数对应的点在第四象限,

    故选:D.

    3.已知向量,的夹角为,||=,•()=2,则||=(  )

    A.B.1    C.D.2

    解:向量,的夹角为,||=,•()=2,

    可得=2,

    所以

    =2,

    =2,

    解得||=1(负值舍去).

    故选:B.

    4.设函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),且∀x1,x2∈(0,∞)(x1≠x2)有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,则(  )

    A.f(﹣2)<f(﹣3)<f(1)    B.f(﹣3)<f(﹣2)<f(1)   

    C.f(﹣1)<f(﹣2)<f(3)    D.f(﹣1)<f(3)<f(﹣2)

    解:∵对∀x1,x2∈(0,∞),且x1≠x2,都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,

    ∴函数f(x)在(0,∞)上单调递增,

    ∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(﹣2)=f(2),

    ∴f(1)<f(2)<f(3),

    即f(1)<f(﹣2)<f(3),

    故选:C.

    5.已知=7,则cos()=(  )

    A.B.C.D.

    解:∵cos(2α)=1﹣2,

    ∴=7等价于2[1﹣2]=7sin(α),

    化简得,[4sin(α)﹣1][sin(α) 2]=0,

    ∵sin(α)∈[﹣1,1],∴sin(α)=,

    ∴cos()=cos[(α)﹣]=sin(α)=.

    故选:B.

    6.自2021年1月1日起,《中华人民共和国民法典》开始施行,为了解某市市民对《中华人民共和国民法典》的了解情况,决定发放3000份问卷,并从中随机抽取200份进行统计,已知该问卷满分100分,通过对随机抽取的200份问卷成绩进行统计得到了如图所示的频率分布直方图,估计这3000份问卷中成绩不低于80分的份数为(  )



    A.840    B.720    C.600    D.540

    解:由频率分布直方图可知,成绩不低于80分的频率为(0.02 0.008)×10=0.28,

    由样本估计总体,故估计这3000份问卷中成绩不低于80分的份数为3000×0.28=840份.

    故选:A.

    7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=22,则a412=(  )

    A.2    B.4    C.6    D.8

    解:因为等差数列{an}中,S11==22,

    所以a1a11=4,

    则a412=(a1 3d)(a1 11d)=2a1 10d=2a6=a1a11=4.

    故选:B.

    8.(x3﹣2)(x)6的展开式中x6的系数为(  )

    A.6    B.10    C.13    D.15

    解:由于(x)6的展开式的通项公式为Tr 1=•,

    令6﹣=3,求得r=2;令6﹣=6,求得r=0,

    故(x3﹣2)(x)6的展开式中x6的系数为﹣2=15﹣2=13,

    故选:C.

    9.用平面α截棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,所得的截面的周长记为m,则当平面α经过正方体的某条体对角线时,m的最小值为(  )

    A.B.C.3D.2

    解:假设截面α过体对角线BD1,(过其他体对角线结论一样)

    如图所示,



    因为一平面与两平行平面相交,交线平行,

    ∴D1E∥BF,BE∥D1F,且D1E=BF,BE=D1F,

    故四边形D1EBF为平行四边形,

    ∴m=2(BEBF),

    设CF=x,则C1F=1﹣x,

    ∴m=2(),

    ∵a,b为正数时,ab≥2,当且仅当a=b时等号成立,

    ∴当=即x=时,m取最小值为:2,

    故选:D.

    10.在《西游记》中,凤仙郡太守生气时误推倒祭祀玉帝的贡桌,玉帝一怒之下下令凤仙郡三年不能下雨,于是孙悟空和猪八戒上天庭去找玉帝理论,玉帝要求鸡要吃完米,狗要舔完面,火烧断了锁才能下雨.孙悟空打量着形如圆锥的面山,让猪八戒从面山脚下H出发经过PB的中点M到H′,大致观察一下该面山,如图所示,若猪八戒经过的路线为一条抛物线,PO=2,底面圆O的面积为16π,HH′为底面圆O的一条直径,则该抛物线的焦点到准线的距离为(  )



    A.B.C.D.

    解:如图,建立以OM为x轴,过M作MN平行HH'以MN为y轴的直角坐标系,



    设抛物线方程为x2=2py,

    底面圆O的面积为16π,所以OB=4,OP=2,

    在△POB中,PB==2,

    又因M为PB中点,故OM=,

    ∴H(﹣4,),

    16=2p×,

    ∴,

    故选:A.

    11.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,B,点P,Q是双曲线C上关于x轴对称的两点,且直线PQ经过点F.如果M是线段FQ上靠近点Q的三等分点,E在y轴的正半轴上,且E,A,M三点共线,P,E,B三点共线,则双曲线C的离心率为(  )

    A.5    B.2C.2D.6

    解:设F(﹣c,0),A(﹣a,0),B(a,0),

    点P,Q是双曲线C上关于x轴对称的两点,且直线PQ经过点F,可得PQ⊥x轴,

    令x=﹣c,可得﹣=1,解得y=±b=±,

    可设P(﹣c,),Q(﹣c,﹣),

    由M是线段FQ上靠近点Q的三等分点,可得M(﹣c,﹣),

    由E在y轴的正半轴上,可设E(0,e),

    由E,A,M三点共线,可得kEA=kAM,

    即为=,①

    由P,E,B三点共线,可得kEB=kBP,

    即为﹣=,②

    由①②可得=,

    即为3c﹣3a=2c 2a,即c=5a,

    所以e==5.

    故选:A.

    12.已知向量=(cos2x,m),=(,4x﹣2cosx﹣2sinx),函数f(x)=•﹣3x,且当x∈[0,]时,f(x)单调递增,则实数m的最小值为(  )

    A.3    B.C.2    D.

    解:∵=(cos2x,m),=(,4x﹣2cosx﹣2sinx),

    ∴f(x)=•﹣3x=cos2xm(4x﹣2cosx﹣2sinx)﹣3x





    ∵当x∈[0,]时,f(x)单调递增,

    ∴f′(x)=﹣sin2x 4m 2msinx﹣2mcosx﹣3≥0在[0,]上恒成立,



    在[0,]上恒成立,

    也就是

    ≥0在[0,]上恒成立,

    令t=,∵x∈[0,],∴t∈,则sint∈[],

    ∴f′(x)=g(t)=﹣cos2tsint 4m﹣3=



    再令sint=q,即h(q)=≥0在[]上恒成立,

    其对称轴方程为q=,

    当,即m时,



    由2m﹣3≥0,得m,即m;

    当,即m时,



    由6m﹣3≥0,得m,即m∈∅;

    当﹣,即﹣<m<时,

    =4m﹣4,

    由4m﹣4≥0,得m≥1,即m∈∅.

    综上所述,实数m的最小值为.

    故选:D.

    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

    13.已知x,y满足,则目标函数z=3x﹣y的最大值为 5 .

    解:由约束条件作出可行域如图,



    联立,解得A(3,4),

    由z=3x﹣y,得y=3x﹣z,由图可知,当直线y=3x﹣z过A时,

    直线在y轴上的截距最小,z有最大值为5.

    故答案为:5.

    14.如图,点C在以AB为直径的圆O上,|AC|=|BC|=5,若以直线AB为轴旋转一周,左半圆旋转所形成的几何体的体积为V1,△ABC旋转所形成的几何体的体积为V2,则V1V2= 250π .



    解:左半圆旋转一周为球体,

    因为|AC|=|BC|=5,AB为直径,所以∠ACB=90°,

    所以AB=,即半径r=5,

    所以V1==,

    △ABC以直线AB为轴旋转所形成的几何体是两个接在一起的圆锥,

    高h=OB=5,R=OC=5,

    所以V2===,

    所以V1V2==250π.

    故答案为:250π.

    15.若存在x0∈(﹣1,2),满足ln>ax0﹣2a,则实数a的取值范围为 () .

    解:设,则f(2)=0,故函数f(x)过定点(2,0),

    令g(x)=ax﹣2a=a(x﹣2),故函数g(x)过定点(2,0),

    函数f(x)在(﹣1,2)上单调递增,值域为(﹣∞,0),

    若g(x)=a(x﹣2)为f(x)在x=2处的切线,

    则,则切线的斜率a=f'(2)=,

    因为存在x0∈(﹣1,2),满足ln>ax0﹣2a,

    所以g(x)的斜率必须大于f(x)在x=2处切线的斜率,

    故a>.

    故答案为:.



    16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosCcsinA=0,则tanA tanB的取值范围为 [22,1) .

    解:因为acosCcsinA=0,由正弦定理可得sinAcosC sinCsinA=0,

    又sinA≠0,

    可得cosC sinC=0,可得tanC=﹣1,

    因为C∈(0,π),可得C=,

    可得tanC=﹣tan(AB)=﹣=﹣1,

    可得tanA tanB

    =1﹣tanAtanB

    =1﹣tanAtan(﹣A)

    =1﹣tanA•










    因为A∈(0,),可得2A∈(,),可得sin(2A)∈(,1],

    可得tanA tanB=

    ∈[22,1).

    故答案为:[22,1).

    三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.

    17.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3n2 9n,bn=2.

    (Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;

    (Ⅱ)求数列{anbn}的前n项和Tn.

    解:(Ⅰ)由2Sn=3n2 9n,可得n=1时,2a1=2S1=12,

    解得a1=6;

    当n≥2时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n2 9n﹣3(n﹣1)2﹣9(n﹣1)=6n 6,

    即有an=3n 3,

    上式对n=1也成立,

    所以an=3n 3,n∈N*;

    bn=2=2n;

    (Ⅱ)anbn=(3n 3)•2n,

    Tn=6•2 9•22 12•23…(3n 3)•2n,

    2Tn=6•22 9•23 12•24…(3n 3)•2n 1,

    上面两式相减可得﹣Tn=12 3(22 23… 2n)﹣(3n 3)•2n 1=12 3•﹣(3n 3)•2n 1,

    化为Tn=3n•2n 1.

    18.如图①,在平面四边形SBCD中,AD∥BC,AD⊥SB,且AD=AB=2BC,将△SAD沿AD折起得到四棱锥P﹣ABCD,如图②,且E为PD的中点.

    (Ⅰ)求证:CE∥平面PAB.

    (Ⅱ)若PA=PB=5,AB=6,问:在线段CD上是否存在一点G使二面角G﹣PA﹣B为?若存在,求出线段GC的长;若不存在,请说明理由.



    【解答】(Ⅰ)证明:取PA的中点F,连接EF,BF,

    ∵E为PD的中点,∴EF∥AD,EF=AD,

    ∵AD∥BC,AD=2BC,

    ∴EF∥BC,EF=BC,

    ∴四边形BCEF为平行四边形,

    ∴CE∥BF,

    又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,

    ∴CE∥平面PAB.



    (Ⅱ)解:假设存在点G满足题意,

    取AB的中点O,连接OP,

    ∵PA=PB=5,AB=6,

    ∴OP⊥AB,OP===4,

    ∵AD⊥AB,AD⊥PA,AB∩PA=A,AB、PA⊂平面PAB,

    ∴AD⊥平面PAB,

    ∵OP⊂平面PAB,∴AD⊥OP,

    又AB∩AD=A,AB、AD⊂平面ABCD,

    ∴OP⊥平面ABCD,

    故以O为原点,OB,OP所在直线分别为x,z轴,作Oy⊥平面PAB,建立如图所示的空间直角坐标系,

    则P(0,0,4),A(﹣3,0,0),C(3,3,0),D(﹣3,6,0),

    ∴=(﹣6,3,0),=(﹣3,0,﹣4),

    设=λ,λ∈[0,1],则G(3﹣6λ,3 3λ,0),

    ∴=(6﹣6λ,3 3λ,0),

    设平面PAG的法向量为=(x,y,z),则,即



    令x=4,则y=,z=﹣3,∴=(4,,﹣3),

    ∵平面PAB⊥y轴,

    ∴平面PAB的一个法向量为=(0,1,0),

    ∵二面角G﹣PA﹣B为,

    ∴cos=|cos<,>|=||=|

    |,化简得=±5,

    ∵λ∈[0,1],∴=﹣5,解得λ=,

    ∴G(,,0)

    ∴CG=

    =,

    故存在点G满足题意,且CG=.

    19.乒乓球是中国国球,它是一种世界流行的球类体育项目.某中学为了鼓励学生多参加体育锻炼,定期举办乒乓球竞赛,该竞赛全程采取“一局定输赢”的比赛规则,首先每个班级需要对本班报名学生进行选拔,选取3名学生参加校内终极赛与其他班级学生进行同台竞技.

    (Ⅰ)若高三(1)班共有6名男生和4名女生报名,且报名参赛的选手实力相当,求高三(1)班选拔的校内终极赛参赛选手均为男生的概率.

    (Ⅱ)若高三(1)班选拔的选手甲、乙、丙分别与高三(2)班选拔的选手A,B,C对抗,甲、乙、丙获胜的概率分别为,p,1﹣p,且甲、乙丙三人之间获胜与否互不影响,记ξ为在这次对抗中高三(1)班3名选手获胜的人数,P(ξ=0)=.

    (ⅰ)求p;

    (ⅱ)求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).

    解:(Ⅰ)设“高三(1)班选拔的参数选手均为男生”为事件A,则=;

    (Ⅱ)(ⅰ)由题意,P(ξ=0)=

    =,解得p=;

    (ⅱ)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,

    所以P(ξ=0)=,

    P(ξ=1)=

    =,

    P(ξ=2)=

    =,

    P(ξ=3)==,

    故ξ的分布列为:

    ξ
    0
    1
    2
    3
    P





    所以ξ的数学期望E(ξ)=0× 1× 2× 3×=.

    20.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P(x0,x0)为椭圆C上一点,点M,N关于y轴对称,且=,||=4,△PAB的面积的最大值为2.

    (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

    (Ⅱ)设直线PM,PN分别交x轴于点D,E,若|AD|,|DE|,|EB|成等比数列,求点M的纵坐标.

    解:(Ⅰ)由=,||=4,

    可得2a=4,解得a=2,

    又△PAB的面积的最大值为2,

    所以×4×b=2,解得b=1,

    所以椭圆C的方程为y2=1.

    (Ⅱ)由题意知,点P与点A,B不重合,

    设M(﹣2,m),N(2,m),

    则直线PM的方程为y﹣y0=(x﹣x0),

    令y=0得xD=x0﹣,

    同理得xE=x0﹣,

    所以|AD|=|x0﹣ 2|=||,

    |DE|=|[x0﹣]﹣[x0﹣]|=||,

    |BE|=|2﹣x0|=||,

    因为|AD|,|DE|,|EB|成等比数列,

    所以|AD|•|EB|=|DE|2,即=,

    因为y02=1,

    所以4﹣x02=4y02,

    所以m2=4,即m=±2.

    21.已知函数f(x)=aex﹣xexx﹣a(a∈R).

    (Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

    (Ⅱ)若对任意x>0都有f(x)<x 1恒成立,求a的最大整数值.

    解:(Ⅰ)a=2,则f(x)=2ex﹣xexx﹣2,

    所以f(0)=0,f′(x)=2ex﹣(exxex) 1=ex﹣xex 1,

    则f′(0)=2,

    所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=0=2(x﹣0),即y=2x.

    (Ⅱ)对任意x>0都有f(x)<x 1恒成立,即a(ex﹣1)<xex 1,

    因为x>0,所以ex﹣1>0,所以a<=x,

    令g(x)=x(x>0),则只需a<g(x)min即可,

    g′(x)=1﹣=,

    令h(x)=ex﹣x﹣2(x>0),则h′(x)=ex﹣1>0恒成立,

    所以h(x)在(0,∞)上单调递增,

    因为h(1)=e﹣3<0,h(2)=e2﹣4>0,

    所以存在唯一一个x0∈(1,2)使得h(x0)=0,

    所以当x∈(0,x0)时,h(x)<0,g′(x)<0,当x∈(x0,∞)时,h(x)>0,g′(x)>0,

    所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,∞)上单调递增,

    所以g(x)min=g(x0)=x0,

    由﹣x0﹣2=0得=x0 2,

    所以g(x0)=x0=x0 1∈(2,3),

    故a的最大整数值为2.

    (二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]

    22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程(θ为参数),直线l过点M(1,0)且倾斜角为α.

    (Ⅰ)求出直线l的参数方程和曲线C的普通方程;

    (Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点,且=,求cosα的值.

    解:(Ⅰ)曲线C的参数方程(θ为参数),转换为普通方程为;

    直线l过点M(1,0)且倾斜角为α,则参数方程为(α为参数).

    (Ⅱ)把直线l的参数方程(α为参数)代入.

    得到(1 sin2α)t2 2cosαt﹣1=0,

    所以



    (t1和t2为A和B对应的参数),

    利用,

    整理得





    解得.

    [选修4-5:不等式选讲]

    23.已知函数f(x)=|3x 1|﹣3|x﹣2|.

    (Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≤2x |x﹣2|;

    (Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤14m﹣3m2﹣1恒成立,求实数m的取值范围.

    解:(Ⅰ)∵f(x)=|3x 1|﹣3|x﹣2|,由f(x)≤2x |x﹣2|,

    则|3x 1|﹣4|x﹣2|≤2x,









    解得:﹣9≤x<﹣或﹣≤x≤或x≥3,

    综上,不等式f(x)≤2x |x﹣2|的解集是[﹣9,]∪[3,∞);

    (Ⅱ)∵f(x)=|3x 1|﹣3|x﹣2|≤|3x 1﹣3x 6|=7,

    当x≥2时“=”成立,故f(x)max=7,

    由关于x的不等式f(x)≤14m﹣3m2﹣1恒成立,

    可得f(x)max≤14m﹣3m2﹣1,

    故3m2﹣14m 8≤0,解得:≤m≤4,

    故实数m的取值范围是[,4].


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