2019年河南省六市高考数学一模试卷（理科）

这是一份2019年河南省六市高考数学一模试卷（理科），共25页。

2019年河南省六市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合，，则　　
A． B．， C．， D．
2．（5分）设复数，则　　
A． B． C． D．
3．（5分）的值为　　
A． B． C． D．
4．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为　　
A． B． C． D．
5．（5分）已知函数，，则“”是“函数为奇函数”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为　　
A． B． C． D．
7．（5分）若，，，，，则　　
A． B． C． D．
8．（5分）将函数图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点，对称，则函数在，上的最小值是　　
A． B． C． D．
9．（5分）已知变量、满足约束条件，则目标函数的最大值是　　
A． B． C． D．6
10．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的面积的最大值为　　
A． B． C．2 D．
11．（5分）抛物线的焦点为，设，，，是抛物线上的两个动点，若，
则的最大值为　　
A． B． C． D．
12．（5分）函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知向量，，与的夹角为，若，，则在方向上的投影为　　．
14．（5分）在的展开式中，常数项为　 　．
15．（5分）已知双曲线，焦距为，直线经过点和，若到直线的距离为，则离心率为　　．
16．（5分）如图，是等腰直角三角形，斜边，为直角边上一点（不含端点），将沿直线折叠至△的位置，使得在平面外，若在平面上的射影恰好在线段上，则的取值范围是　　．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）设数列前项和为，且满足，．
（Ⅰ）试确定的值，使为等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设，求数列的前项和．
18．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的数学期望和方差；
设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率．
19．（12分）已知五边形有一个直角梯形与一个等边三角形构成，如图1所示，，且，将梯形沿着折起，形成如图2所示的几何体，且平面．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．

20．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点是椭圆上的任意一点，且的最大值为4，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点，过点作两条直线，与圆相切且分别交椭圆于，，求证：直线的斜率为定值．
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）判断的单调性；
（Ⅱ）求函数的零点的个数；
（Ⅲ）令，若函数在内有极值，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点，定点，求的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数．
（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）当时时，函数恒为正值，求实数的取值范围．

2019年河南省六市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合，，则　　
A． B．， C．， D．
【分析】化简集合、，求出即可．
【解答】解：集合，，
，；
，．
故选：．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
2．（5分）设复数，则　　
A． B． C． D．
【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：，

．
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5分）的值为　　
A． B． C． D．
【分析】由诱导公式，两角和的正弦函数公式化简所求，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．
【解答】解：




．
故选：．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
4．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】求出从10部名著中选择2部名著的方法数、2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数，由对立事件的概率计算公式，可得结论．
【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为（种，
2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种，
由对立事件的概率计算公式得．
故选：．
【点评】本题考查概率的计算，考查组合知识，属于中档题．
5．（5分）已知函数，，则“”是“函数为奇函数”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若，则，
则
，则，即是奇函数，即充分性成立，
若函数是奇函数，
则满足，即，即，则，即必要性成立，
则“”是“函数为奇函数”的充要条件，
故选：．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及充分条件和必要条件的判断，利用函数奇偶性的定义以及对数函数的运算性质是解决本题的关键．
6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为　　
A． B． C． D．
【分析】根据三视图知该几何体是棱长为4的正方体截去一个圆柱体，结合图中数据求出它的表面积．
【解答】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个圆柱体，如图所示；

结合图中数据，计算该几何体的表面积为
．
故选：．
【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体的表面积应用问题，是基础题．
7．（5分）若，，，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】利用对数函数的单调性判断出；由于，的指数相同，所以研究一个幂函数的单调性；利用幂函数的单调性判断出，的大小，，都是幂得到，全正，比较出，，的大小．
【解答】解：，

即
考察幂函数

当时，是减函数


所以有
故选：．
【点评】本题考查利用对数函数的单调性比较大小、考查利用幂函数的单调性比较大小．
8．（5分）将函数图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点，对称，则函数在，上的最小值是　　
A． B． C． D．
【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为，根据函数的图象变换规律及余弦函数的性质可解得的值，求得函数的解析式为，利用余弦函数值域求得函数的最值．
【解答】解：，
将函数图象向左平移个单位后，得到函数解析式为：，
函数的图象关于点，对称，
对称中心在函数图象上，可得：，解得：，，解得：，，
，
解得：，
，
，，，，
，，则函数在，上的最小值是．
故选：．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数的图象变换规律，余弦函数的单调性、定义域、值域，属于中档题．
9．（5分）已知变量、满足约束条件，则目标函数的最大值是　　
A． B． C． D．6
【分析】先画出满足条件的平面区域，由得，结合图象得到直线过时最大，求出的最大值即可．
【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由得，
显然直线过时最大，
的最大值是6，
故选：．
【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．
10．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的面积的最大值为　　
A． B． C．2 D．
【分析】由已知式子和正弦定理可得，再由余弦定理可得，由三角形的面积公式可得．
【解答】解：在中，
，
，
，
约掉可得，即，
由余弦定理可得，
，当且仅当时取等号，
的面积
故选：．
【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．
11．（5分）抛物线的焦点为，设，，，是抛物线上的两个动点，若，
则的最大值为　　
A． B． C． D．
【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值．
【解答】解：因为，，所以．
在中，由余弦定理得：．
又．
所以，的最大值为，
故选：．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．
12．（5分）函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【分析】构造函数，，利用导函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．
【解答】解：函数是定义在上的可导函数，为其导函数，
令，则，
可知当时，是单调减函数，
并且（1）（1），即（1），
时，函数是单调增函数，，
则，
则不等式的解集就是的解集，
即，
故不等式的解集为：．
故选：．
【点评】本题考查函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知向量，，与的夹角为，若，，则在方向上的投影为　　．
【分析】根据的坐标可求出，进而求出，从而可求出，从而得出在方向上的投影为．
【解答】解：，的夹角为；
；
；
，且；
在方向上的投影为：．
故答案为：．
【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，一个向量在另一个向量方向上投影的计算公式，以及向量夹角的余弦公式．
14．（5分）在的展开式中，常数项为　　．
【分析】的展开式中的通项公式：，1，2，3，．的通项公式：，令，即．进而得出．
【解答】解：的展开式中的通项公式：，1，2，3，．
的通项公式：，
令，即．
，；，；，．
常数项．
故答案为：．
【点评】本题考查了二项式定理的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（5分）已知双曲线，焦距为，直线经过点和，若到直线的距离为，则离心率为　3或　．
【分析】求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合，，的关系和离心率公式，化简整理即可得到，解方程即可得到离心率，注意条件，则有，注意取舍．
【解答】解：直线的方程为，即为，
，到直线的距离为，
可得：，
即有，
即，即，
，
由于，则，
解得，或．
由于，即，即有，即有，
则或．
故答案为：3或．
【点评】本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．
16．（5分）如图，是等腰直角三角形，斜边，为直角边上一点（不含端点），将沿直线折叠至△的位置，使得在平面外，若在平面上的射影恰好在线段上，则的取值范围是　　．

【分析】推导出，，，，，平面，从而，当时，与重合，，当时，，由此能求出的取值范围．
【解答】解：在等腰中，斜边，为直角边上的一点，
，，
将沿直折叠至△的位置，使得点在平面外，
且点在平面上的射影在线段上，设，
，，，
平面，
，当时，与重合，，
当时，，
为直角边上的一点，
，
的取值范围是．
故答案为：．

【点评】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）设数列前项和为，且满足，．
（Ⅰ）试确定的值，使为等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设，求数列的前项和．
【分析】（Ⅰ）通过可得，通过时，得，利用等比数列的性质可得，计算即得结论；
（Ⅱ）通过知，分、两种情况讨论即可．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，
当时，，与已知式作差得，即，
欲使为等比数列，则，
又，，
故数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（Ⅱ）由知，，
若，，
若，，
．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，前项和公式，对数的运算，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的数学期望和方差；
设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率．
【分析】（Ⅰ）利用用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人．
（Ⅱ）由题意得的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列、数学期望和方差．
基本事件总数，事件包含的基本事件个数，由此能求出事件发生的概率．
【解答】解：（Ⅰ）某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．
现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
应从甲部门的员工中抽取：人，
乙部门的员工中抽取：人，
丙部门的员工中抽取：人．
（Ⅱ）由题意得的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
随机变量的分布列为：

0
1
2
3





，
．
抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，
现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
基本事件总数，
为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，
则事件包含的基本事件个数，
事件发生的概率（A）．
【点评】本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差、概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）已知五边形有一个直角梯形与一个等边三角形构成，如图1所示，，且，将梯形沿着折起，形成如图2所示的几何体，且平面．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．

【分析】（1）延长，相交于，连接，证明面，即可证明平面平面；
（2）根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，即可求二面角的平面角的余弦值．
【解答】证明：（1）直角梯形中，
延长，相交于，
则，
连接，
三角形为等边三角形，是直角三角形，
则，
平面．平面．
．
，
面，
面，
平面平面；
（2）由（1）知面，
则，
则是二面角的平面角，
，
设，则，，，
则，
即二面角的平面角的余弦值是．

【点评】本题主要考查空间面面垂直的证明以及二面角的求解，根据面面垂直的判定定理，以及二面角的平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．
20．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点是椭圆上的任意一点，且的最大值为4，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点，过点作两条直线，与圆相切且分别交椭圆于，，求证：直线的斜率为定值．
【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，以及基本不等式和椭圆的定义，求出，，然后求解椭圆方程．
（Ⅱ）直线，的斜率存在，设为，，，，，，直线，与圆相切，则有，直线的方程为直线的方程为，与椭圆方程联立，求出，同理，当与椭圆相交时，然后求解直线的斜率即可．
【解答】解：（Ⅰ）双曲线的离心率为，
可得椭圆的离心率为，设椭圆的半焦距为，，
，
，
，
又
椭圆方程为；
（Ⅱ）证明：显然两直线，的斜率存在，
设为，，，，，，
由于直线，与圆相切，则有，
直线的方程为，
联立椭圆方程，
消去，得，
，为直线与椭圆的交点，所以，
同理，当与椭圆相交时，，
，而，
直线的斜率．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立椭圆方程和直线方程，运用韦达定理，注意运用基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）判断的单调性；
（Ⅱ）求函数的零点的个数；
（Ⅲ）令，若函数在内有极值，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）化简，并求导数，注意定义域：，求出单调区间；
（Ⅱ）运用零点存在定理说明在内有零点，再说明在上有且只有两个零点；
（Ⅲ）对化简，并求出导数，整理合并，再设出，说明的两个根，有一个在内，另一个大于，由于，通过解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）设，
则，
在上单调递增；
（Ⅱ）（1），（2），且在上单调递增，
在内有零点，
又，显然为的一个零点，
在上有且只有两个零点；
（Ⅲ），
则，
设，
则有两个不同的根，，且有一根在内，
不妨设，由于，即，
由于，故只需即可，
即，解得，
实数的取值范围是，．
【点评】本题主要考查导数在函数中的综合运用：求单调区间，求极值，同时考查零点存在定理和二次方程实根的分布，是一道综合题．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点，定点，求的面积．
【分析】（Ⅰ）由曲线的普通方程能求出曲线的极坐标方程；由曲线的参数方程能求出曲线的普通方程，由此能求出曲线的极坐标方程．
（Ⅱ）点的极坐标为，点的极坐标为，，从而，点到射线的距离为，由此能求出的面积．
【解答】解：（Ⅰ）曲线，
曲线的极坐标方程为：，（2分）
曲线的参数方程为为参数）．
曲线的普通方程为：，（3分）
，
曲线的极坐标方程为．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：点的极坐标为，（5分）
点的极坐标为，，（6分）
，（7分）
点到射线的距离为，（8分）
的面积为：
．（10分）
【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数．
（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）当时时，函数恒为正值，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由分类讨论，解不等式可得所求解集；
（Ⅱ）求得的最小值，解不等式可得所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）等价于
或或，
解得或或，
综上所述，不等式的解集为，，；
（Ⅱ）当时，则，
只需，不可能！
当时，，
要使函数恒为正值，
则，可得，
当时，恒成立，
只需要，可得，
综上所述，实数的取值范围是，，．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立的解法，考查运算能力，属于基础题．
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日期：2019/5/3 23:37:52；用户：高中数学1；邮箱：jt0017@xyh.com；学号：24416196