2020-2021学年江苏省扬州市宝应县中南片九年级（下）第一次中考模拟数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市宝应县中南片九年级（下）第一次中考模拟数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）一组数据10，12，14，则这组数据的平均数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a3÷a2＝aD．（a2）3＝a5
3．（3分）已知2a﹣3b＝0，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．
4．（3分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则a+2b＝（ ）
A．﹣1B．1C．2D．﹣2
5．（3分）若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（ ）
A．B．3πC．6πD．9π
6．（3分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x+3）2+4C．y＝（x+3）2﹣4D．y＝（x﹣3）2﹣4
7．（3分）如图，△ABC中，顶点A、B均在第二象限，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C'，且△A'B'C'与△ABC的位似比为2：1，设点B的对应点B'的横坐标是3，则点B的横坐标是（ ）
A．﹣B．﹣2C．﹣D．﹣3
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则cs∠DMN为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）南京在建的地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32400米．用科学记数法表示32400是 ．
10．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是 ．
11．（3分）某中学为了选拔一名运动员参加市运会100米短跑比赛，有甲、乙两名运动员备选，他们最近测试的10次百米跑平均时间都是12.83秒，他们的方差分别是S2甲＝1.3（秒2），S2乙＝1.7（秒2），如果要选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派 去．
12．（3分）在一个不透明的袋子中有1个红球，2个白球和3个黑球，这些球除颜色外均相同，将球摇匀后，从袋子中任意摸出一个球，摸到 （填“红”或“白”或“黑”）球的可能性最大．
13．（3分）已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其侧面积为 cm2．（结果保留π）
14．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 ．
15．（3分）如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a、b、c的大小是 ．
16．（3分）如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于点D，连接BG．若△BDG的面积为2，则△ABC的面积为 ．
17．（3分）在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于两点M（0，2），N（0，8），则点P的坐标为 ．
18．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝2，点E为对角线AC上一点（不与A、C重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，则的值等于 ．
三、解答题（本大题共10小题，满分96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：．
（2）解方程：（x+1）（x﹣1）＝3．
20．（8分）先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m＝﹣．
21．（8分）在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：
（1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是 （精确到0.01），黄球有 个；
（2）如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率．
22．（8分）中国教育科学研究院对全国2万个学生家庭进行的调查表明，孩子爱做家务的家庭比不爱做家务的家庭，孩子成绩优秀的比例高了27倍．
为调查了解某区学生做家务的情况，随机发放调查表进行调查，要求被调查者从“A：不做家务，B：会煮饭或会做简单的菜，C：洗碗，D：保持自己的卧室清洁，E：洗衣服”五个选项中选择最常做的一项，将所有调查结果整理后绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请结合统计图回答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，“会煮饭或会做简单的菜”对应的扇形圆心角是 度；
（3）若某市有小学生约24万，请你估计做家务中“洗碗”的总人数．
23．（10分）如图，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝2．
（1）在线段BC找一点D，使得点D到边AC的距离等于DB的长（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，求BD的长．
24．（10分）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？
25．（10分）如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3厘米．
（1）求BH的长；
（2）木桩上升了多少厘米？
（sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1厘米）
26．（10分）给出①AO平分∠BAC；②AB是⊙O的切线，从①或②中选择一个填在下面的文字“且”后面的空格上，再将剩余的一项作为结论填在“则”后面的空格上，构成一个命题．并证明你所构造的命题是真命题．
（1）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD是中线，O在边BD上，⊙O与AC相切于点E；且 ，则 ．
（2）根据（1）中的真命题，当AC＝4，AB＝5时，求⊙O的半径．
27．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A'（m，n'）的纵坐标满足n'＝，则称点A′是点A的“绝对点”．
（1）点（3，2）的“绝对点”的坐标为 ．
（2）点P是函数y＝4x﹣1的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P的坐标．
（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y＝2x2的图象上的一点．当0≤a≤2时，求线段QQ′的最大值．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2a﹣ma）x﹣2am（a＜0）与x轴分别交于点A、C，顶点坐标为D．
（1）当a＝﹣1，m＝1时．
①求点D的坐标；
②若F为线段AD上一动点，过点F作FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P，当PH+OH的值最大时，求点F的坐标．
（2）当m＝时，若另一个抛物线y＝ax2﹣（6a+ma）x+6am的顶点为E．试判断直线AD是否经过点E？请说明理由．
2020-2021学年江苏省扬州市宝应县中南片九年级（下）第一次纠错练习数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）
1．（3分）一组数据10，12，14，则这组数据的平均数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【分析】根据算术平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：这组数据的平均数是（10+12+14）＝12．
故选：D．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a3÷a2＝aD．（a2）3＝a5
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、a2与a3是加，不是乘，不能运算，故本选项错误；
B、a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项错误；
C、a3÷a2＝a3﹣2＝a，故本选项正确；
D、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误．
故选：C．
3．（3分）已知2a﹣3b＝0，则的值为（ ）
A．B．2C．3D．
【分析】直接利用已知条件变形得出答案．
【解答】解：∵2a﹣3b＝0，
∴2a＝3b，
则的值为：．
故选：D．
4．（3分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则a+2b＝（ ）
A．﹣1B．1C．2D．﹣2
【分析】将x＝1代入原方程即可求出（5a+b）的值，然后整体代入求值即可．
【解答】解：将x＝1代入原方程可得：12+a+2b＝0，
∴a+2b＝﹣1，
故选：A．
5．（3分）若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（ ）
A．B．3πC．6πD．9π
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：S扇形＝＝9π，
故选：D．
6．（3分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x+3）2+4C．y＝（x+3）2﹣4D．y＝（x﹣3）2﹣4
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：y＝（x﹣3）2+4．
故选：A．
7．（3分）如图，△ABC中，顶点A、B均在第二象限，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C'，且△A'B'C'与△ABC的位似比为2：1，设点B的对应点B'的横坐标是3，则点B的横坐标是（ ）
A．﹣B．﹣2C．﹣D．﹣3
【分析】过点B作BE⊥x轴于E，过点B′作BF⊥x轴于F，根据相似三角形的性质得到＝，根据位似比出去CE，根据坐标与图形性质求出点B的横坐标．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于E，过点B′作BF⊥x轴于F，
则BE∥B′F，
∴△CBE∽△CB′F，
∴＝，
∵点C的坐标是（﹣1，0），
∴OC＝1，
∴CF＝4，
∵△A'B'C'与△ABC的位似比为2：1，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝2，
∴点B的横坐标是﹣3，
故选：D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则cs∠DMN为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接AD，如图，先利用勾股定理计算出BC＝10，再根据直角三角形斜边上的中线性质得DA＝DC＝5，则∠1＝∠C，接着根据圆周角定理得到点A、D在以MN为直径的圆上，所以∠1＝∠DMN，则∠C＝∠DMN，然后在Rt△ABC中利用余弦定义求∠C的余弦值即可得到cs∠DMN．
【解答】解：连接AD，如图，
∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵点D为边BC的中点，
∴DA＝DC＝5，
∴∠1＝∠C，
∵∠MDN＝90°，∠A＝90°，
∴点A、D在以MN为直径的圆上，
∴∠1＝∠DMN，
∴∠C＝∠DMN，
在Rt△ABC中，csC＝＝＝，
∴cs∠DMN＝．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）南京在建的地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32400米．用科学记数法表示32400是 3.24×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：用科学记数法表示32400是3.24×104．
故答案为：3.24×104．
10．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是 x≤1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，1﹣x≥0，
解得x≤1．
故答案为：x≤1．
11．（3分）某中学为了选拔一名运动员参加市运会100米短跑比赛，有甲、乙两名运动员备选，他们最近测试的10次百米跑平均时间都是12.83秒，他们的方差分别是S2甲＝1.3（秒2），S2乙＝1.7（秒2），如果要选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派 甲 去．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵S2甲＝1.3（秒2），S2乙＝1.7（秒2），
∴S2甲＜S2乙，
∴选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派甲去．
故答案为：甲．
12．（3分）在一个不透明的袋子中有1个红球，2个白球和3个黑球，这些球除颜色外均相同，将球摇匀后，从袋子中任意摸出一个球，摸到 黑 （填“红”或“白”或“黑”）球的可能性最大．
【分析】个数最多的球，摸出其可能性最大．
【解答】解：在袋子中，黑球个数最多，
所以从袋子中任意摸出一个球，可能性最大的是黑球，
故答案为：黑．
13．（3分）已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其侧面积为 3π cm2．（结果保留π）
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：圆锥的侧面积＝•2π•1•3＝3π（cm2）．
故答案为3π．
14．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 ﹣2＜x＜3 ．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，
观察函数图象可知：当x﹣2＜x＜3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜3，
即不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣2＜x＜3．
故答案为﹣2＜x＜3．
15．（3分）如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a、b、c的大小是 a＝b＝c ．
【分析】连接OA，OD，OM，根据矩形的对角线相等，即可证明a，b，c都等于圆的半径．
【解答】解：连接OA，OD，OM．
∵四边形ABOC、DEOF、HMON均为矩形．
∴OA＝BC，OD＝EF，OM＝HN
∴BC＝EF＝HN
即a＝b＝c．
故答案是：a＝b＝c．
16．（3分）如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于点D，连接BG．若△BDG的面积为2，则△ABC的面积为 12 ．
【分析】根据三角形的重心的概念得到CG＝2DG，AD＝DB，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵点G是△ABC的重心，
∴CG＝2DG，AD＝DB，
∵△BDG的面积为2，
∴△BCG的面积为4，
∴△BDC的面积为2+4＝6，
∴△ABC的面积为12，
故答案为：12．
17．（3分）在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于两点M（0，2），N（0，8），则点P的坐标为 （4，5） ．
【分析】根据已知条件，纵坐标易求；再根据切割线定理即OQ2＝OM•ON求OQ可得横坐标．
【解答】解：过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．
∵⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，
∴OM＝2，NO＝8，
∴NM＝6，
∵PD⊥NM，
∴DM＝3
∴OD＝5，
∴OQ2＝OM•ON＝2×8＝16，OQ＝4．
∴PD＝4，PQ＝OD＝3+2＝5．
即点P的坐标是（4，5）．
故答案是：（4，5）．
18．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝2，点E为对角线AC上一点（不与A、C重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，则的值等于 ．
【分析】过点E作EM⊥BC，EN⊥DC于点M和N，根据EM∥AB，EN∥AD，对应边成比例，再证明△END∽△EMF，即可求出结果．
【解答】解：过点E作EM⊥BC，EN⊥DC于点M和N，
∴EM∥AB，EN∥AD，
∴＝，＝，
∴＝，
∴＝＝，
∵∠MEN＝∠FED＝90°，
∴∠MEF＝∠NED，
∵∠EMF＝∠END＝90°，
∴△END∽△EMF，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，满分96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：．
（2）解方程：（x+1）（x﹣1）＝3．
【分析】（1）根据零指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算；
（2）整理后，利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣﹣1+4×
＝1﹣﹣1+2
＝；
（2）（x+1）（x﹣1）＝3，
x2﹣1＝3，
x2＝4，
解得：x1＝2，x2＝﹣2．
20．（8分）先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m＝﹣．
【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算．
【解答】解：（m+2﹣）•，
＝•，
＝﹣•，
＝﹣2（m+3）．
把m＝﹣代入，得
原式＝﹣2×（﹣+3）＝﹣5．
21．（8分）在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：
（1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是 0.25 （精确到0.01），黄球有 2 个；
（2）如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率．
【分析】（1）根据表中数据即可估计摸出一个球恰好是白球的概率，再用白球的个数除以摸到白球的概率，然后减去白、红球的个数即可得出答案；
（2）记一红一黄为“√”，其余记为“╳”，列出表格得到所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）摸出一个球恰好是白球的概率大约是0.25，黄球有﹣2＝2（个），
故答案为：0.25、2；
（2）记一红一黄为“√”，其余记为“╳”，列出表格为：
从表中可知，“总次数”为12，“一红一白”的次数为4次，
∴P（一红一黄）＝＝．
22．（8分）中国教育科学研究院对全国2万个学生家庭进行的调查表明，孩子爱做家务的家庭比不爱做家务的家庭，孩子成绩优秀的比例高了27倍．
为调查了解某区学生做家务的情况，随机发放调查表进行调查，要求被调查者从“A：不做家务，B：会煮饭或会做简单的菜，C：洗碗，D：保持自己的卧室清洁，E：洗衣服”五个选项中选择最常做的一项，将所有调查结果整理后绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请结合统计图回答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，“会煮饭或会做简单的菜”对应的扇形圆心角是 54 度；
（3）若某市有小学生约24万，请你估计做家务中“洗碗”的总人数．
【分析】（1）先求出C的人数，从而补全统计图；
（2）用360°乘以B所占的比例即可；
（3）用某市小学生总人数乘以做家务中“洗碗”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次调查中，一共调查的市民数是：500÷25%＝2000（名），洗碗的人数有2000﹣100﹣300﹣500﹣300＝800（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）扇形统计图中，“会煮饭或会做简单菜”对应的扇形圆心角是360°×＝54°，
故答案为：54；
（3）根据题意得：24×＝9.6（万人），
即估计做家务中“洗碗”的总人数约有9.6万人．
23．（10分）如图，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝2．
（1）在线段BC找一点D，使得点D到边AC的距离等于DB的长（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，求BD的长．
【分析】（1）作∠BAC的角平分线交BC于点D，点D即为所求作．
（2）作DE⊥AC于E，利用面积法求解即可．
【解答】解：（1）如图，AD为所求．
（2）作DE⊥AC于E，如图，
∵∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝2．
∴在Rt△ABC中
∴BC＝＝＝，
∵AD为角平分线，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴BD＝DE，
设BD＝x，则DE＝x，
∵S△ABD+S△ADC＝S△ABC，
∴•AB•DB+•AC•DE＝•AB•BC，
∴×1×x+×2×x＝×1×，
∴x＝，
即BD的长为．
24．（10分）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？
【分析】（1）根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．
答：每天的销售利润为1050元．
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，
依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为50元．
25．（10分）如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3厘米．
（1）求BH的长；
（2）木桩上升了多少厘米？
（sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1厘米）
【分析】（1）根据正切的定义求出BC，即可得出答案；
（2）根据正切的定义得出PH＝BH×tan∠ABC，即可得到答案．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，
则BC＝≈＝10（cm），
∴BH＝BC﹣HC＝7（cm）；
（2）在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，
则PH＝BH×tan∠ABC≈7×0.18≈1.3（cm），
答：木桩上升了大约1.3厘米．
26．（10分）给出①AO平分∠BAC；②AB是⊙O的切线，从①或②中选择一个填在下面的文字“且”后面的空格上，再将剩余的一项作为结论填在“则”后面的空格上，构成一个命题．并证明你所构造的命题是真命题．
（1）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD是中线，O在边BD上，⊙O与AC相切于点E；且 AB是⊙O的切线 ，则 AO平分∠BAC ．
（2）根据（1）中的真命题，当AC＝4，AB＝5时，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据题意构成真命题，根据切线的性质定理、角平分线的判定定理证明即可；
（2）根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD是中线，O在边BD上，⊙O与AC相切于点E，AB是⊙O的切线，则AO平分∠BAC；
证明：过点O作OF⊥AB，垂足为F，
∵AB是⊙O的切线，
∴OF是⊙O的半径，
∵⊙O与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，OE是⊙O的半径，
∴OE＝OF，
∵OF⊥AB，OE⊥AC，
∴OA为∠CAB的平分线，
故答案为：AB是⊙O的切线；AO平分∠BAC；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，
∵BD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABC＝××AC×BC＝××4×3＝3，
∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD，
∴3＝×AB×OF+×AD×OE，
∵OF＝OE＝r，AD＝DC＝AC＝2，
∴r（AB+AD）＝6，
∴7r＝6，
解得：r＝．
即⊙O的半径为．
27．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A'（m，n'）的纵坐标满足n'＝，则称点A′是点A的“绝对点”．
（1）点（3，2）的“绝对点”的坐标为 （3，1） ．
（2）点P是函数y＝4x﹣1的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P的坐标．
（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y＝2x2的图象上的一点．当0≤a≤2时，求线段QQ′的最大值．
【分析】（1）根据“绝对点”的定义求解可得；
（2）设点P的坐标为（m，n）．若m≥n，则P′的坐标为（m，m﹣n），根据P与P′重合知n＝m﹣n，由4m﹣1＝n求得m、n的值可得；若m＜n，同上的方法即可得出结论；
（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a﹣b），由Q′是函数y＝2x2的图象上一点知a﹣b＝2a2，即b＝a﹣2a 2．可得QQ′＝|a﹣b﹣b|＝|a﹣2（a﹣2a2）|＝|4a2﹣a|，利用二次函数的图象和性质求出其最大值；当a＜b时，Q′的坐标为（a，b﹣a），知QQ′＝|b﹣b+a|＝|a|，显然可得其最值．
【解答】解：（1）∵3＞2，
∴点（3，2）的“绝对点”的纵坐标为3﹣2＝1，
则点（3，2）的“绝对点”的坐标为（3，1），
故答案为：（3，1）．
（2）设点P的坐标为（m，n）．
当m≥n时，P′的坐标为（m，m﹣n）．
若P与P′重合，则n＝m﹣n，
∵点P是函数y＝4x﹣1的图象上的一点，
∴4m﹣1＝n，
∴n＝．
即P的坐标为（，）．
当m＜n时，P′的坐标为（m，n﹣m）．
若P与P′重合，则n﹣m＝n
∴m＝0．
∵点P是函数y＝4x﹣1的图象上的一点，
∴4m﹣1＝n，
∴n＝﹣1，（不符合m＜n，舍）
综上所述，点P的坐标为（，）；
（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a﹣b）．
因为Q′是函数y＝2x2的图象上一点，
所以a﹣b＝2a2．
即b＝a﹣2a 2．
QQ′＝|a﹣b﹣b|＝|a﹣2（a﹣2a2）|＝|4a2﹣a|，
其函数图象如图所示：
．
由图象可知，当a＝2时，QQ′的最大值为14．
当a＜b时，Q′的坐标为（a，b﹣a）．
QQ′＝|b﹣b+a|＝|a|＝a．
当a＝2时，QQ′的最大值为2．
综上所述，Q Q′的最大值为14或2．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2a﹣ma）x﹣2am（a＜0）与x轴分别交于点A、C，顶点坐标为D．
（1）当a＝﹣1，m＝1时．
①求点D的坐标；
②若F为线段AD上一动点，过点F作FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P，当PH+OH的值最大时，求点F的坐标．
（2）当m＝时，若另一个抛物线y＝ax2﹣（6a+ma）x+6am的顶点为E．试判断直线AD是否经过点E？请说明理由．
【分析】（1）①当a＝﹣1，m＝1时，y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，即可求解；
②点P的横坐标为t，点P的纵坐标为﹣t2﹣t+2，则PH+OH＝﹣t2﹣t+2﹣t＝﹣（t+1）2+3，即可求解；
（2）利用m＝，分别求出D（﹣，﹣），E（，﹣），进而求解．
【解答】解：（1）①当a＝﹣1，m＝1时，y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+；
∴点D的坐标为（﹣，）；
②∵y＝﹣x2﹣x+2，当y＝0时，y＝﹣x2﹣x+2＝0，解得x＝﹣2或1，故点A的坐标为（﹣2，0），
设直线AD的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
∴直线AD的表达式为：y＝x+3，
∵F为线段AD上一动点，
设点F的横坐标为t，
∵FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P，
∴点P的横坐标也为t，点P的纵坐标为﹣t2﹣t+2，
∴P（t，﹣t2﹣t+2），H（t，0）
∴PH+OH＝﹣t2﹣t+2﹣t＝﹣（t+1）2+3，
∴当t＝﹣1时，PH+OH有最大值，
当t＝﹣1时，y＝×（﹣1）+3＝
∴F（﹣1，）；
（2）直线AD经过点E，理由：
∵m＝，
∴y＝ax2+（2a﹣ma）x﹣2am＝a（x+）2﹣，
∴D（﹣，﹣），
则y＝ax2﹣（6a+ma）x+6am＝a（x﹣）2﹣，
∴E（，﹣），
令y＝ax2+（2a﹣ma）x﹣2am＝a（x+）2﹣＝0，解得x＝﹣2或，
∴A（﹣2，0）
设直线AD的表达式为：y＝mx+n，则，解得，
∴直线AD的表达式为y＝﹣x﹣，
当x＝时，y＝﹣x﹣＝﹣，
∴点E在直线AD上
∴直线AD经过的点E．
摸球次数
80
180
600
1000
1500
摸到白球次数
21
46
149
251
371
摸到白球的概率
0.2625
0.256
0.2483
0.251
0.247
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