2021-2022学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期中数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的根是（　　）
A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
2．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解．则m的值是（　　）
A．6 B．5 C．2 D．﹣6
3．（3分）已知⊙O的半径为5cm，点O到同一平面内直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
4．（3分）如图，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数是（　　）

A．50° B．40° C．100° D．80°
5．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
A．500（1+x）＝800 B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800 D．500（1+x）2＝800
6．（3分）已知a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣1或1
7．（3分）如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　）

A．2 B．2 C．2 D．4
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①至少存在一点P，使得PA＞AB；
②若，则PB＝2PA；
③∠PAB不是直角；
④∠POB＝2∠OPA．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①③ B．③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）若一元二次方程mx2+4x+5＝0有两个不相等实数根，则m的取值范围　 　．
10．（3分）写一个一元二次方程并且两根分别是2和3，则这个一元二次方程的一般形式是 　 　．
11．（3分）在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为　 　．

12．（3分）如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是 　 　．

13．（3分）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 　 　．

14．（3分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为 　 　cm．（结果保留π）

15．（3分）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为 　 　．
16．（3分）若一元二次方程ax2﹣b＝0（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则＝　 　．
17．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 　 　．

18．（3分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在圆O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（8分）解下列方程：
（1）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6．
20．（8分）如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．

21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，当m为取值范围内的最小整数时，求此方程的根．
22．（8分）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，写出点P的坐标并指出点D、点E与⊙P的位置关系；
（2）若在x轴上有一点F，且∠AFB＝∠ACB，则点F的坐标为　 　．

23．（10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

24．（10分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°．
（1）求∠BOC的度数．
（2）求∠EDF的度数．

25．（10分）如图，C是⊙O的直径BA延长线上一点，点D在⊙O上，∠CDA＝∠B．
（1）求证：直线CD与⊙O相切．
（2）若AC＝AO＝1，求图中阴影部分的面积．

26．（10分）诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售　 　件，每件盈利　 　元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
27．（12分）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a，都有a2≥0成立，所以，当a＝0时，a2有最小值0．
【应用】：（1）代数式（x﹣1）2有最小值时，x＝　 　；
（2）代数式m2+3的最小值是　 　；
【探究】：求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+9
＝n2+4n+4+5
＝（n+2）2+5
∴当n＝﹣2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．
请你参照小明的方法，求代数式a2﹣6a﹣3的最小值，并求此时a的值．
【拓展】：（1）代数式m2+n2﹣8m+2n+17＝0，求m+n的值．
（2）若y＝﹣4t2+12t+6，直接写出y的取值范围．
28．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．
（1）当t＝1时，⊙M的半径是　 　cm，⊙M与直线CD的位置关系是　 　；
（2）在点P从点A向点B运动过程中．
①圆心M的运动路径长是　 　cm；
②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．
（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．


2021-2022学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的根是（　　）
A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x+2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2．
故选：A．
2．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解．则m的值是（　　）
A．6 B．5 C．2 D．﹣6
【分析】先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程得：4﹣2m+8＝0，
解得m＝6．
故选：A．
3．（3分）已知⊙O的半径为5cm，点O到同一平面内直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【分析】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．
【解答】解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d＝6，r＝5，
∴d＞r，
∴直线l与圆相离．
故选：C．
4．（3分）如图，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数是（　　）

A．50° B．40° C．100° D．80°
【分析】根据圆周角定理可得∠BOC＝100°，然后根据BO＝CO可得∠OBC＝∠OCB，进而可利用三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵∠BAC＝50°，
∴∠BOC＝100°，
∵BO＝CO，
∴∠OBC＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
故选：B．
5．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
A．500（1+x）＝800 B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800 D．500（1+x）2＝800
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产×（1+增长率）2＝2020年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程．
【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝800，
故选：D．
6．（3分）已知a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣1或1
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0中几个特殊值的特殊形式：x＝1时，a+b+c＝0；x＝﹣1时，a﹣b+c＝0．只需把x＝﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c＝0中验证a﹣b+c＝0即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c＝0中得，a﹣b+c＝0，
所以当a﹣b+c＝0，且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一个定根是﹣1．
故选：C．
7．（3分）如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　）

A．2 B．2 C．2 D．4
【分析】根据垂径定理求得＝，AE＝DE＝2，即可得到∠COD＝2∠ABC＝45°，则△OED是等腰直角三角形，得出OD＝＝2，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF＝OC＝OD＝2．
【解答】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴＝，AE＝DE＝2，
∴∠COD＝2∠ABC＝45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE＝ED＝2，
∴OD＝＝2，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF＝OC，
∵OC＝OD＝2，
∴CF＝2，
故选：B．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①至少存在一点P，使得PA＞AB；
②若，则PB＝2PA；
③∠PAB不是直角；
④∠POB＝2∠OPA．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①③ B．③④ C．②③④ D．①②④
【分析】根据圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．
【解答】解：①至少存在一点P，使得PA＞AB，错误．不存在．
②若，则PB＝2PA，错误，应该是PB＜2PA．
③∠PAB不是直角，正确．
④∠POB＝2∠OPA．正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）若一元二次方程mx2+4x+5＝0有两个不相等实数根，则m的取值范围　m＜且m≠0　．
【分析】由一元二次方程mx2+4x+5＝0有两个不相等实数根，可得Δ＝b2﹣4ac＞0且m≠0，解此不等式组即可求得答案．
【解答】解：∵一元二次方程mx2+4x+5＝0有两个不相等实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×m×5＝16﹣20m＞0，
解得：m＜，
∵m≠0，
∴m的取值范围为：m＜ 且m≠0．
故答案为：m＜ 且m≠0．
10．（3分）写一个一元二次方程并且两根分别是2和3，则这个一元二次方程的一般形式是 　x2﹣5x+6＝0　．
【分析】先计算2与3的和、积，然后利用根与系数的关系写出一个满足条件的一元二次方程．
【解答】解：∵2+3＝5，2×3＝6，
∴以2和3为根的一元二次方程可为x2﹣5x+6＝0．
故答案为x2﹣5x+6＝0．
11．（3分）在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为　2　．

【分析】首先连接OC，由弦CD⊥AB于P，OP＝，利用勾股定理即可求得CP的长，然后由垂径定理求得弦CD的长．
【解答】解：连接OC，
∵在⊙O中，直径AB＝4，
∴OA＝OC＝AB＝2，
∴弦CD⊥AB于P，OP＝，
∴CP＝＝1，
∴CD＝2CP＝2．
故答案为：2．

12．（3分）如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是 　3　．

【分析】根据切线长定理得到AC＝AP，BP＝BD＝2，然后求出AP即可．
【解答】解：∵AB、AC、BD是圆O的切线，
∴AC＝AP，BP＝BD＝2，
∵AP＝AB﹣BP＝5﹣2＝3，
∴AC＝3．
故答案为3．
13．（3分）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 　10　．

【分析】设此圆锥的母线长为l，利用扇形的面积公式得到×2π×6×l＝60π，然后解方程即可．
【解答】解：设此圆锥的母线长为l，
根据题意得×2π×6×l＝60π，解得l＝10，
所以此圆锥的母线长为10．
故答案为10．
14．（3分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为 　2π　cm．（结果保留π）

【分析】连接OC，OD，OP，可利用HL证明Rt△OCP≌Rt△ODP，从而可得出∠COD的度数，最后利用弧长公式求解答案即可．
【解答】解：如图所示，连接OC，OD，OP，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，
故∠OCP＝∠ODP＝90°，
由四边形内角和为360°可得，
∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD
＝360°﹣90°﹣90°﹣120°
＝60°．
∴的长为＝＝2π．
故答案为：2π．

15．（3分）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为 　8或9　．
【分析】当4为腰长时，将x＝4代入原一元二次方程可求出n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n＝8符合题意；当4为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式Δ＝0，解之可得出n值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n＝9符合题意．
【解答】解：当4为腰长时，将x＝4代入x2﹣6x+n＝0，得：42﹣6×4+n＝0，
解得：n＝8，
当n＝8时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∵2+4＞4，
∴n＝8符合题意；
当4为底边长时，关于x的方程x2﹣6x+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×n＝0，
解得：n＝9，
当n＝9时，原方程为x2﹣6x+9＝0，
解得：x1＝x2＝3，
∵3+3＝6＞4，
∴n＝9符合题意．
∴n的值为8或9．
故答案为：8或9．
16．（3分）若一元二次方程ax2﹣b＝0（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则＝　4　．
【分析】根据方程的特点知m+1+2m﹣4＝0，据此得出m的值，继而得出两根的具体数值，代入得出答案．
【解答】解：∵一元二次方程ax2﹣b＝0（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，
∴m+1+2m﹣4＝0，
解得m＝1，
∴方程的两根为2、﹣2，
∴4a﹣b＝0，
∴4a＝b，
则＝4，
故答案为：4．
17．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 　（0，11）　．

【分析】连接AB，过点A分别作AC⊥x轴、AD⊥y轴，利用根据圆的切线性质可知△PAB、△AOC为直角三角形，AB＝AC＝5，利用直角三角形中30°角的性质和勾股定理分别求出AP、AD的长度，进而求出OD、PD的长度即可求得答案．
【解答】解：过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，
当点P在点D是上方时，如图，

∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴四边形ADOC为矩形，
∴AC＝OD，OC＝AD，
∵⊙A与x轴相切，
∴AC为⊙A的半径，
∵点A坐标为（8，5），
∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，
∵PB是切线，
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝10，
在Rt△PAD中，根据勾股定理得，
PD＝＝＝6，
∴OP＝PD+DO＝11，
∵点P在y轴的正半轴上，
∴点P坐标为（0，11），
故答案为：（0，11）．
18．（3分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在圆O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 　　．

【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；
【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG．

∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
在Rt△AGO中，AG＝2，OG＝1，
∴AG＝2OG，OA＝＝＝，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（8分）解下列方程：
（1）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6．
【分析】（1）移项后，方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）首先把括号去掉得到2x2﹣5x+3＝0，然后分解因式得到（x﹣1）（2x﹣3）＝0，再解两个一元一次方程即可．
【解答】解：（1）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
x（x+4）+3（x+4）＝0
（x+4）（x+3）＝0，
∴x+4＝0，x+3＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣3；

（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6，
∴x2﹣5x﹣3+6＝0，
∴x2﹣5x+3＝0，
∴x﹣1）（2x﹣3）＝0，
∴x1＝1，x2＝．
20．（8分）如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．

【分析】连接OC，构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD＝CE．
【解答】证明：连接OC．
在⊙O中，∵＝
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD＝OE，
∵OC＝OC（公共边），
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE（全等三角形的对应边相等）．

21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，当m为取值范围内的最小整数时，求此方程的根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m+1）2，由偶次方的非负性可得出（m+1）2≥0，即Δ≥0，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出x1＝1，x2＝m+2，结合方程的两个实数根都是正整数，即可得出m的取值范围，取其中的最小整数即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+3），c＝m+2．
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×（m+2）＝m2+2m+1＝（m+1）2．
∵（m+1）2≥0，即Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（m+3）x+m+2＝0，即（x﹣1）[x﹣（m+2）]＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣（m+2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝m+2．
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴m≥﹣1，且m为整数，
∴m的最小值为﹣1．
当m＝﹣1时，此方程的根为x1＝x2＝1．
22．（8分）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，写出点P的坐标并指出点D、点E与⊙P的位置关系；
（2）若在x轴上有一点F，且∠AFB＝∠ACB，则点F的坐标为　（，0）或（﹣﹣1，0）　．

【分析】（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D、点E与⊙P的位置关系即可；
（2）根据直径对的圆周角是90°进行解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上，点E在⊙P外；

（2）∵∠ACB＝90°，
∵∠AFB＝∠ACB，
∴点F的坐标为（，0）或（﹣﹣1，0），
故答案为：（，0）或（﹣﹣1，0），

23．（10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
解得 x1＝20，x2＝5．
则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5舍去．
即AB＝20，BC＝20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
24．（10分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°．
（1）求∠BOC的度数．
（2）求∠EDF的度数．

【分析】（1）由切线长定理可知BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠OBC和∠OCB的度数可求出，进而可求出∠BOC的度数；
（2）连接OE，OF．由三角形内角和定理可求得∠A＝50°，由切线的性质可知：∠OFA＝90°，∠OEA＝90°，从而得到∠A+∠EOF＝180°，故可求得∠EOF＝130°，即可解决问题．
【解答】解：
（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∠OCB＝∠ACB＝35°，
∴∠BOC＝180°﹣30°﹣35°＝115°；
（2）如图所示；连接OE，OF．

∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣70°＝50°．
∵AB是圆O的切线，
∴∠OFA＝90°．
同理∠OEA＝90°．
∴∠BAC+∠EOF＝180°．
∴∠EOF＝130°，
∴∠EDF＝∠EOF＝65°．

25．（10分）如图，C是⊙O的直径BA延长线上一点，点D在⊙O上，∠CDA＝∠B．
（1）求证：直线CD与⊙O相切．
（2）若AC＝AO＝1，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OD，证明∠ADO＝90°，再根据切线的判定定理证明直线CD与⊙O相切；
（2）先证明△AOD是等边三角形，求得∠AOD＝60°，由勾股定理求出CD的长，由S阴影＝S△COD﹣S扇形AOD求出阴影部分图形的面积．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵∠CDA＝∠B，
∴∠ODB＝∠CDA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ODC＝∠CDA+∠ODA＝∠ODB+∠ODA＝∠ADB＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD，
∴直线CD与⊙O相切．
（2）解：∵AC＝AO＝CO＝1，
∴CO＝2AO＝2，
∵∠CDO＝90°，
∴AD＝CO＝1，
∴AD＝AO＝DO＝1，
∴⊙O的半径为1，
∵△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵CD＝＝，
∴S阴影＝S△COD﹣S扇形AOD＝××1﹣＝，
∴图中阴影部分的面积为．

26．（10分）诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售　（20+2x）　件，每件盈利　（40﹣x）　元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
【分析】（1）根据：销售量＝原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润＝实际售价﹣进价，列式即可；
（2）根据：总利润＝每件利润×销售数量，列方程求解可得；
（3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．
【解答】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（40﹣x）；

（2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）＝1200，
解得：x1＝20，x2＝10，
∵要扩大销售量，
∴x＝20，
答：每件童装降价20元，平均每天赢利1200元；

（3）不能，理由如下：
（20+2x）（40﹣x）＝2000，
整理，得：x2﹣30x+600＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×600＝﹣1500＜0，
∴此方程无实数根，
故不可能做到平均每天盈利2000元．
27．（12分）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a，都有a2≥0成立，所以，当a＝0时，a2有最小值0．
【应用】：（1）代数式（x﹣1）2有最小值时，x＝　1　；
（2）代数式m2+3的最小值是　3　；
【探究】：求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+9
＝n2+4n+4+5
＝（n+2）2+5
∴当n＝﹣2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．
请你参照小明的方法，求代数式a2﹣6a﹣3的最小值，并求此时a的值．
【拓展】：（1）代数式m2+n2﹣8m+2n+17＝0，求m+n的值．
（2）若y＝﹣4t2+12t+6，直接写出y的取值范围．
【分析】（1）由（x﹣1）2≥0可得x＝1时，取得最小值0；
（2）由m2≥0知m2+3≥3可得答案；
（3）将方程变形为（m﹣4）2+（n+1）2＝0，由非负数性质求得m、n的值即可得；
（4）由y＝﹣4t2+12t+6＝﹣4（t﹣）2+15知﹣4（t﹣）2+15≤15，从而得出答案．
【解答】解：（1）代数式（x﹣1）2有最小值时，x＝1，
故答案为：1；

（2）代数式m2+3的最小值是在m＝0时，最小值为3，
故答案为：3．

（3）∵m2+n2﹣8m+2n+17＝0，
∴（m﹣4）2+（n+1）2＝0，
则m＝4、n＝﹣1，
∴m+n＝3；

（4）y＝﹣4t2+12t+6
＝﹣4（t2﹣3t）+6
＝﹣4（t2﹣3t+﹣）+6
＝﹣4（t﹣）2+15，
∵（t﹣）2≥0，
∴﹣4（t﹣）2≤0，
则﹣4（t﹣）2+15≤15，即y≤15．
28．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．
（1）当t＝1时，⊙M的半径是　　cm，⊙M与直线CD的位置关系是　相离　；
（2）在点P从点A向点B运动过程中．
①圆心M的运动路径长是　5　cm；
②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．
（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．

【分析】（1）先求出PB，BQ的长，根据勾股定理可得PQ的长，根据直角三角形的外接圆直径是斜边即可求解；
（2）①根据边界点确定：故M运动路径为OB，根据勾股定理即可求解；
②如图3，根据切线的性质作辅助线EF，则EF⊥AD，EF⊥BC，由EF＝FM+ME列方程即可求解；
（3）如图4，作辅助线，构建全等三角形，证明AP＝PQ，AD＝DQ，最后根据勾股定理列方程即可求解．
【解答】解：（1）如图1，过M作KN⊥AB于N，交CD于K，
∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，AB∥CD，
∴⊙M的直径是PQ，KN⊥CD，
当t＝1时，AP＝3，AQ＝4，
∵AB＝6，BC＝8，
∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4，
∴PQ＝＝5，
∴⊙M的半径为cm，
∵MN∥BQ，M是PQ的中点，
∴PN＝BN，
∴MN是△PQB的中位线，
∴MN＝BQ＝×4＝2，
∴MK＝8﹣2＝6＞，
∴⊙M与直线CD的位置关系是相离；
故答案为：，相离；
（2）①如图2，由P、Q运动速度与AB，BC的比相等，

∴圆心M在对角线BD上，
由图可知：P和Q两点在t＝2时在点B重合，
当t＝0时，直径为对角线AC，M是AC的中点，
故M运动路径为OB＝BD，
由勾股定理得：BD＝＝10，
则圆心M的运动路径长是5cm；
故答案为：5；
②如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥AD，EF⊥BC，

则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，
∴PQ＝10﹣5t，
∴PM＝＝FM＝5﹣t，
△BPQ中，ME＝PB＝3﹣t，
∵EF＝FM+ME，
∴5﹣t+3﹣t＝6，
解得：t＝；
（3）如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，

∵∠APD＝∠NBQ，∠NBQ＝∠NPQ，
∴∠APD＝∠NPQ，
∵∠A＝90°，DG⊥PG，
∴AD＝DG＝8，
∵PD＝PD，
∴Rt△APD≌Rt△GPD（HL），
∴PG＝AP＝3t，
∵PQ＝10﹣5t，
∴QG＝3t﹣（10﹣5t）＝8t﹣10，
∵DC2+CQ2＝DQ2＝DG2+QG2，
∴62+（4t）2＝82+（8t﹣10）2，
∴3t2﹣10t+8＝0，
（t﹣2）（3t﹣4）＝0，
解得：t1＝2（舍），t2＝．