2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习46《坐标系与参数方程》(含详解)

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在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．
(1)求C与l的直角坐标方程；
(2)过曲线C上任意一点作P与l垂直的直线，交l于点A，求│PA│的最大值．
在直角坐标系中，过点P(1,1)的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A,B两点，求的最小值．
在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2=1.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(eq \r(3)cs θ＋sin θ)=5.
(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；
(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标.
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs α，,y＝2＋2sin α))(α为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)－\f(\r(3),2)t，,y＝3＋\f(1,2)t))(t为参数).在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2eq \r(3)，θ)，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
(1)求θ的值；
(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值.
在平面直角坐标系xOy中，已知直线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4－t，,y＝t－1))(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C2：ρ=8sinθ.
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)判断直线C1与曲线C2的位置关系，若相交，求出弦长.
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcs(θ- eq \f(π,3))=1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程.
已知曲线C的参数方程为 (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，
(1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；
(2)若直线l的极坐标方程为，求曲线C上的点到直线l的最大距离．
设M，N分别是曲线ρ＋2sinθ=0和ρsin(θ+ eq \f(π,4))=eq \f(\r(2),2)上的动点，求M，N的最小距离.
\s 0 答案解析
解：
解：
解：(1)x2＋(y－1)2=1即x2＋y2－2y=0，
因为ρ2=x2＋y2，ρsin θ=y，
所以圆C的极坐标方程为ρ2=2ρsin θ，
即ρ=2sin θ.
ρ(eq \r(3)cs θ＋sin θ)=5即eq \r(3)ρcs θ＋ρsin θ=5，
因为ρcs θ=x，ρsin θ=y，
所以直线l的直角坐标方程为y=－eq \r(3)x＋5.
(2)曲线C：x2＋(y－1)2=1是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆.
设圆上点A(x0，y0)到直线l：y=－eq \r(3)x＋5的距离最短，
所以圆C在点A处的切线与直线l：y=－eq \r(3)x＋5平行.
即直线CA与l的斜率的乘积等于－1，即eq \f(y0－1,x0)×(－eq \r(3))=－1.①
因为点A在圆上，所以xeq \\al(2,0)＋(y0－1)2=1，②
联立①②可解得x0=－eq \f(\r(3),2)，y0=eq \f(1,2)或x0=eq \f(\r(3),2)，y0=eq \f(3,2).
所以点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).
又由于圆上点A到直线l：y=－eq \r(3)x＋5的距离最小，
所以点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))，点A的极径为 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)=eq \r(3)，
极角θ满足tan θ=eq \r(3)且θ为第一象限角，则可取θ=eq \f(π,3).
所以点A的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(π,3))).
解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2=4，
∵x=ρcs θ，y=ρsin θ，
∴曲线C的极坐标方程为(ρcs θ)2＋(ρsin θ－2)2=4，
即ρ=4sin θ.
由ρ=2eq \r(3)，得sin θ=eq \f(\r(3),2)，
∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴θ=eq \f(2π,3).
(2)易知直线l的普通方程为x＋eq \r(3)y－4eq \r(3)=0，
∴直线l的极坐标方程为ρcs θ＋eq \r(3)ρsin θ－4eq \r(3)=0.
又射线OA的极坐标方程为θ=eq \f(2π,3)(ρ≥0)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(θ＝\f(2π,3)ρ≥0，,ρcs θ＋\r(3)ρsin θ－4\r(3)＝0，))解得ρ=4eq \r(3).
∴点B的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(3)，\f(2π,3)))，
∴|AB|=|ρB－ρA|=4eq \r(3)－2eq \r(3)=2eq \r(3).
解：(1)由C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4－t，,y＝t－1))(t是参数)消去t得x＋y－3=0，
所以直线C1的普通方程为x＋y－3=0.
把ρ=8sinθ的两边同时乘ρ，
得ρ2=8ρsinθ，
因为x2＋y2=ρ2，y=ρsinθ，
所以x2＋y2=8y，
即x2＋(y－4)2=16，
所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－4)2=16.
(2)由(1)知，曲线C2：x2＋(y－4)2=16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，
所以圆心(0,4)到直线x＋y－3=0的距离d=eq \f(|0＋4－3|,\r(2))=eq \f(\r(2),2)