2021-2022学年九年级上学期第一次调研考试数学试卷

这是一份2021-2022学年九年级上学期第一次调研考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2﹣+1＝0B．3y2﹣7y+1＝0
C．ax2+bx+c＝0D．x2﹣（x﹣1）（x+2）＝0
2．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
4．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣2xB．y＝﹣C．y＝1﹣3x2D．y＝x+3
5．若关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有一个根为x＝2，则m的值为（ ）
A．﹣6B．﹣3C．6D．3
6．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线上y＝﹣5x2的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2
7．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3
8．抛物线y＝x2﹣4x﹣4的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，8）
B．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，﹣8）
C．开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，顶点是（2，﹣8）
D．开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，8）
9．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（1，3）
10．二次函数y＝﹣2x2+3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．﹣5≤x≤3B．﹣1≤y≤3C．﹣5≤y≤1D．﹣5≤y≤0
11．随着市场经济的快速发展，虽然有国家“房住不炒”的宏观调控政策，某市商品房成交价依然由2018年的0.81万元/m2上涨到2020年的1.44万元/m2．设从2018年到2020年平均每年上涨的百分率是x，根据题意列方程得（ ）
A．0.81（1+x）2＝1.44B．0.81（1﹣x）2＝1.44
C．0.81（1+2x）＝1.44D．0.81（1﹣2x）＝1.44
12．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；其中判断正确的选项有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
13．已知一菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两根，则菱形的面积是 ．
14．若函数是二次函数，则m的值为 ．
15．点A（4，n）和点B（m，3）关于原点对称，则m+n＝ ．
16．已知二次函数y＝﹣2（x+3）2+4，则其图象开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
17．将二次函数y＝a（x﹣h）2+k先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝﹣2（x+3）2+1的图象，则a＝ ，h＝ ，k＝ ．
18．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为 ．
三、解答题（共7小题，共66分）
19．用适当的方法解方程：
（1）2x2﹣8＝0．
（2）2x2﹣3x﹣5＝0．
（3）x2+4x﹣1＝0．
（4）x2＝2x．
20．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1，直接写出点C1的坐标为 ；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为 ．
21．一条抛物线y＝a（x﹣h）2+k的形状与抛物线y＝x2相同，对称轴及顶点与抛物线y＝3（x﹣2）2﹣3相同，求该抛物线的解析式．
22．如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝4cm，点C是线段AD的中点，把△ABC按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△ADE重合．
（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
23．将抛物线l：y＝﹣（x﹣3）2先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到新的抛物线m．
（1）写出抛物线m的解析式；
（2）确定抛物线m的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（3）对抛物线m，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
24．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
25．如图，二次函数y＝（x﹣h）2+k的顶点坐标为M（1，﹣4）．
（1）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P（点P与点M不重合），使S△PAB＝？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2﹣+1＝0B．3y2﹣7y+1＝0
C．ax2+bx+c＝0D．x2﹣（x﹣1）（x+2）＝0
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
解：A．是分式方程，故本选项不合题意；
B．是一元二次方程，故此选项符合题意；
C．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D．x2﹣（x﹣1）（x+2）＝0，整理得﹣x+2＝0，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
2．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
3．一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【分析】计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×4×（﹣1）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
4．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣2xB．y＝﹣C．y＝1﹣3x2D．y＝x+3
【分析】直接利用一次函数、二次函数、反比例函数的定义分别判断得出答案．
解：A、y＝﹣2x，是正比例函数，不合题意；
B、y＝﹣，是反比例函数，不合题意；
C、y＝1﹣3x2，是二次函数，符合题意；
D、y＝x+3，是一次函数，不合题意；
故选：C．
5．若关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有一个根为x＝2，则m的值为（ ）
A．﹣6B．﹣3C．6D．3
【分析】把x＝2代入求值即可．
解：把x＝2代入可得22﹣5×2+m＝0，
解得m＝6，
故选：C．
6．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线上y＝﹣5x2的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2
【分析】根据二次函数的性质比较即可．
解：二次函数y＝﹣5x2的图象开口向下，对称轴是y轴，当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线上y＝﹣5x2的点，
∴点（1，y3）是关于y轴的对称点是（﹣1，y3），
∵﹣3＜﹣2＜﹣1，
∴y1＜y2＜y3，
故选：A．
7．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），
∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），
∴新抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣1，
故选：C．
8．抛物线y＝x2﹣4x﹣4的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，8）
B．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，﹣8）
C．开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，顶点是（2，﹣8）
D．开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点是（2，8）
【分析】所给抛物线是一般式，可得a＝1＞0，所以开口向上；再通过配方法变形为顶点式，可直接得出抛物线的对称轴及顶点坐标．
解：∵抛物线y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴a＝1＞0，开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，﹣8），
故选：B．
9．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（1，3）
【分析】根据网格结构找出点A、B旋转后的对应点A′、B′的位置，然后与点O顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标．
解：如图，点A′的坐标为（1，3）．
故选D．
10．二次函数y＝﹣2x2+3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．﹣5≤x≤3B．﹣1≤y≤3C．﹣5≤y≤1D．﹣5≤y≤0
【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线x＝0，且开口向下，再由﹣1≤x≤2可知，当x＝0时，取得最大值，当x＝2时，取得最小值，即可求出答案．
解：∵二次函数的解析式为y＝﹣2x2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝0，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∵﹣1≤x≤2，
当x＝0时，取得最大值y＝3，
当x＝﹣1时，y＝1，
当x＝2时，y＝﹣5，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是﹣5≤y≤3，
故选：A．
11．随着市场经济的快速发展，虽然有国家“房住不炒”的宏观调控政策，某市商品房成交价依然由2018年的0.81万元/m2上涨到2020年的1.44万元/m2．设从2018年到2020年平均每年上涨的百分率是x，根据题意列方程得（ ）
A．0.81（1+x）2＝1.44B．0.81（1﹣x）2＝1.44
C．0.81（1+2x）＝1.44D．0.81（1﹣2x）＝1.44
【分析】利用该市2020年商品房成交价＝该市2018年商品房成交价×（1+平均每年上涨的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：0.81（1+x）2＝1.44，
故选：A．
12．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；其中判断正确的选项有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【分析】用图象开口方向，对称轴位置和与y轴交点判断①，由对称轴为直线x＝﹣1判断②，由抛物线与x轴交点与Δ的关系判断③．
解：∵图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵图象与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，①错误．
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0，②正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，③正确．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
13．已知一菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两根，则菱形的面积是 10.5 ．
【分析】利用因式分解法求出方程x2﹣10x+21＝0的解，可得出菱形两条对角线长，进而求出面积即可．
解：方程x2﹣10x+21＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣7）＝0，
所以x﹣3＝0或x﹣7＝0，
解得：x＝3或x＝7，
则菱形的面积为×3×7＝10.5．
故答案为：10.5．
14．若函数是二次函数，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】根据二次函数的定义得出m2﹣7＝2，再利用m﹣3≠0，求出m的值即可．
解：若y＝（m﹣3）xm2﹣7是二次函数，
则m2﹣7＝2，且m﹣3≠0，
故（m﹣3）（m+3）＝0，m≠3，
解得：m1＝3（不合题意舍去），m2＝﹣3，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．点A（4，n）和点B（m，3）关于原点对称，则m+n＝ ﹣7 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
解：∵点A（4，n）和点B（m，3）关于原点对称，
∴m＝﹣4，n＝﹣3，
则m+n＝﹣4﹣3＝﹣7．
故答案为：﹣7．
16．已知二次函数y＝﹣2（x+3）2+4，则其图象开口向 下 ，对称轴为 直线x＝﹣3 ，顶点坐标为 （﹣3，4） ．
【分析】由a＝﹣2＜0，可以判断抛物线开口向下，由抛物线解析式可以判断顶点坐标和对称轴．
解：∵y＝﹣2（x+3）2+4，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，4），
故答案为：下，直线x＝﹣3，（﹣3，4）．
17．将二次函数y＝a（x﹣h）2+k先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝﹣2（x+3）2+1的图象，则a＝ ﹣2 ，h＝ ﹣1 ，k＝ ﹣2 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律写出平移后抛物线解析式，然后写出对应的a、h、k的值．
解：将二次函数y＝a（x﹣h）2+k先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝a（x﹣h+2）2+k+3的图象，即y＝a（x﹣h+2）2+k+3＝﹣2（x+3）2+1，
所以a＝﹣2，﹣h+2＝3，k+3＝1．
所以a＝﹣2，h＝﹣1，k＝﹣2．
故答案是：﹣2；﹣1；﹣2．
18．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为 x（x﹣1）＝4×7 ．
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可．
解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝4×7．
故答案为：x（x﹣1）＝4×7．
三、解答题（共7小题，共66分）
19．用适当的方法解方程：
（1）2x2﹣8＝0．
（2）2x2﹣3x﹣5＝0．
（3）x2+4x﹣1＝0．
（4）x2＝2x．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可；
（3）方程利用配方法求出解即可；
（4）方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
解：（1）方程分解得：2（x+2）（x﹣2）＝0，
所以x+2＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝2；
（2）分解因式得：（2x﹣5）（x+1）＝0，
所以2x﹣5＝0或x+1＝0，
解得：x1＝2.5，x2＝﹣1；
（3）方程移项得：x2+4x＝1，
配方得：x2+4x+4＝5，即（x+2）2＝5，
开方得：x+2＝±，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（4）方程移项得：x2﹣2x＝0，
分解因式得：x（x﹣2）＝0，
所以x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
20．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1，直接写出点C1的坐标为 （﹣1，﹣3） ；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为 （﹣3，1） ．
【分析】（1）先利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；点C2的坐标为（﹣1，﹣3）；
故答案为（﹣1，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C2为所作；点C2的坐标为（﹣3，1）；
故答案为（﹣3，1）．
21．一条抛物线y＝a（x﹣h）2+k的形状与抛物线y＝x2相同，对称轴及顶点与抛物线y＝3（x﹣2）2﹣3相同，求该抛物线的解析式．
【分析】由题意得出a＝，h＝2，k＝﹣3，即可求得抛物线的解析式．
解：∵一条抛物线y＝a（x﹣h）2+k的形状与抛物线y＝x2相同，
∴a＝，
∵对称轴及顶点与抛物线y＝3（x﹣2）2﹣3相同，
∴h＝2，k＝﹣3，
∴抛物线的解析式是：y＝（x﹣2）2﹣3；
故此抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x﹣5或y＝x2﹣2x﹣1．
22．如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝4cm，点C是线段AD的中点，把△ABC按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△ADE重合．
（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
【分析】（1）由旋转的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠EAD＝140°，由周角的性质和中点的性质可求解．
解：（1）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点，
∴旋转中心是点A，
根据旋转的性质可知：∠CAE＝∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝140°，
∴旋转角度是140°；
（2）由旋转可知：△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠EAD＝140°，
∴∠BAE＝360°﹣2∠BAC＝360°﹣140°×2＝80°，
∵C为AD中点，
∴AC＝AE＝AB＝×4＝2cm．
23．将抛物线l：y＝﹣（x﹣3）2先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到新的抛物线m．
（1）写出抛物线m的解析式；
（2）确定抛物线m的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（3）对抛物线m，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得答案；
（2）根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）将抛物线l：y＝﹣（x﹣3）2先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到新的抛物线m为：y＝﹣（x﹣6）2﹣2；
（2）在y＝﹣（x﹣6）2﹣2中，
∵a＝﹣1＜0，
∴开口向下；
顶点坐标为（6，﹣2），对称轴为直线x＝6；
（3）∵抛物线m的对称轴为直线x＝6；
∴当x＜6时，y随x的增大而增大，当x＞6时，y随x的增大而减小．
24．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）直接把x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0求出m的值；
（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．
解：（1）根据题意，将x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0，
得：1+m+m﹣2＝0，
解得：m＝；
（2）∵Δ＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
25．如图，二次函数y＝（x﹣h）2+k的顶点坐标为M（1，﹣4）．
（1）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P（点P与点M不重合），使S△PAB＝？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由条件可先求得二次函数的解析式，再令y＝0可求得A、B两点的坐标；
（2）求出△MAB的面积，再求出点P的纵坐标，然后代入抛物线解析式求解即可．
解：（1）∵二次函数y＝（x﹣h）2+k的顶点坐标为M（1，﹣4），
∴抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4，
令y＝0，得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），M（1，﹣4），
∴AB＝4．
∴S△MAB＝8，
∵AB＝4，
∴点P到AB的距离为5时，S△PAB＝，
即点P的纵坐标为±5．
∵点P在二次函数的图象上，且顶点坐标为M（1，﹣4），
∴点P的纵坐标为5，
∴5＝（x﹣1）2﹣4，
∴x1＝﹣2，x2＝4．
∴点P的坐标为（4，5）或（﹣2，5）．