2021-2022学年新疆医科大学子女学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年新疆医科大学子女学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年新疆医科大学子女学校九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、单选题（每小题5分，共45分）
1．下列方程中，关于x一元二次方程是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．
C．x（x﹣3）＝2+x2 D．5x2﹣7＝2x
2．用配方法解方程x2﹣4x+3＝0时，方程可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9
3．已知一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0且a≠1 D．a＞0且a≠1
4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）上，若x1＜x2，x1+x2＝1﹣a，则（　　）
A．当a＞﹣1时，y1＜y2 B．当a＞﹣1时，y1＞y2
C．当a＜﹣1时，y1＜y2 D．当a＜﹣1时，y1＞y2
5．一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，斜边长是（　　）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣3x2﹣2向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（　　）
A．y＝﹣3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣3（x+2）2﹣1 D．y＝﹣3（x+2）2+1
7．已知x为实数，且﹣（x2+3x）＝2，则x2+3x的值为（　　）
A．1 B．1或﹣3 C．﹣3 D．﹣1或3
8．下列命题：①若a+b+c＝0，则1是方程cx2+bx+a＝0的根；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有两不相等的实数根；③若一元二次方程x2+bx+a＝0有一个根是﹣a（a≠0），则代数式a﹣b的值是﹣1；④一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1、x2，若abc＞0，则x1＜0，x2＜0；⑤若b2＞5ac，则一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有两不相等的实数根．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤
9．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②a+b+c＞0；③方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3； ④b2﹣4ac＞0；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大；正确的说法有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题5分，共30分）
10．关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有实数根，则m的取值范围是　 　．
11．二次函数y＝（x﹣1）2+2，当﹣3＜x＜2时，y的取值范围是 　 　．
12．为执行国家药品降价政策，某药品经过两次降价，每瓶零售价由128元降至98元，则平均每次降价的百分率为 　 　．
13．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，拱桥对应抛物线的解析式为 　 　．

14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与一次函数y＝ax+c，y＝cx+a图象中的每一条都至多有一个公共点，则的最大值是 　 　．
15．在平面直角坐标系中，如图所示的函数图象是由函数y＝（x﹣1）2+1（x≥0）的图象C1和图象C2组成中心对称图形，对称中心为点（0，2）．已知不重合的两点A、B分别在图象C1和C2上，点A、B的横坐标分别为a、b，且a+b＝0．当b＜x≤a时该函数的最大值和最小值均与a、b的值无关，则a的取值范围为　 　．

三、解答题（共75分）
16．解下列方程：
（1）x2+4x+1＝13（配方法）；
（2）（x﹣3）（x+2）＝6．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k＝0．
（1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个根分别是x1，x2，若（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，求k的最大整数值．
18．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？
19．将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于10cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
20．如图，在直角坐标系xOy中，四边形OACB为矩形，C点的坐标为（3，6），一个单位长度是1cm，若点P从O点沿OA向点A以1cm/s的速度运动，点Q从点A沿AC以2cm/s的速度运动，如果P，Q分别从O，A同时出发，问：
（1）经过多长时间△PAQ的面积为2cm2？
（2）△PAQ的面积能否达到3cm2？请说明理由；
（3）经过多长时间，P、Q两点之间的距离为cm？

21．在体育考试中，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线．
（1）求实心球行进的高度y（米）与行进的水平距离x（米）之间的函数关系式；
（2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．

22．新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：
第x天
1
2
3
4
5
销售价格p（元/只）
2
3
4
5
6
销量q（只）
70
75
80
85
90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200（6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，过点A的抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交点C，与直线AB的另一个交点为D，点E是线段AD上一点，点F在抛物线上，EF∥y轴，设E的横坐标为m
（1）用含a的代数式表示b．
（2）当点D的横坐标为8时，求出a的值．
（3）在（2）的条件下，设△ABF的面积为S，求出S最大值，并求出此时m的值．



参考答案
一、单选题（每小题5分，共45分）
1．下列方程中，关于x一元二次方程是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．
C．x（x﹣3）＝2+x2 D．5x2﹣7＝2x
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．当a＝0，方程ax2+bx+c＝0不是关于x一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．不是整式方程，故本选项不符合题意；
C．x（x﹣3）＝2+x2，整理可得3x+2＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D.5x2﹣7＝2x，是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），特别要注意a≠0的条件．
2．用配方法解方程x2﹣4x+3＝0时，方程可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9
【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．
解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
则x2﹣4x+4＝﹣3+4，即（x﹣2）2＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
3．已知一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0且a≠1 D．a＞0且a≠1
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围即可．
解：∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2+4（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，
解得：a≥0且a≠1．
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）上，若x1＜x2，x1+x2＝1﹣a，则（　　）
A．当a＞﹣1时，y1＜y2 B．当a＞﹣1时，y1＞y2
C．当a＜﹣1时，y1＜y2 D．当a＜﹣1时，y1＞y2
【分析】根据题意可知，抛物线对称轴是直线x＝1；再对a的不同范围进行讨论，判断y1和y2的大小．
【解答】解析：由抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）得y＝a（x﹣1）2+（4﹣a），故抛物线对称轴是直线x＝1．
①当a＞0时，抛物线开口向上，1﹣a＜1，点A比点B距离对称轴更远，
∴y1＞y2；
②当﹣1＜a＜0时，抛物线开口向下，同理y1＜y2；
∴当a＞﹣1时，且x1＜x2，y1和y2的大小不确定．
∴A，B都错误．
③当a＜﹣1时，此时开口向下，1﹣a＞2，点B比点A距离对称轴更远，
∴y1＞y2．
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，关键是了解根据函数的开口方向，结合点到对称轴的距离可判断对应的函数值的大小．
5．一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，斜边长是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设较短的直角边长是xcm，较长的就是（x+5）cm，根据面积是7cm2，求出直角边长，根据勾股定理求出斜边长．
解：设较短的直角边长是xcm，较长的就是（x+5）cm，则x•（x+5）＝7，
整理得：x2+5x﹣14＝0，
∴（x+7）（x﹣2）＝0，
∴x＝2或x＝﹣7（舍去）．
∴5+2＝7（cm），
∴由勾股定理，得＝
即斜边的长是cm．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是知道三角形面积公式以及直角三角形中勾股定理的应用．
6．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣3x2﹣2向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（　　）
A．y＝﹣3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣3（x+2）2﹣1 D．y＝﹣3（x+2）2+1
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
解：将抛物线y＝﹣3x2﹣2向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，
得到抛物线解析式为：y＝﹣3（x+2）2﹣2+1＝﹣3（x+2）2﹣1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，熟记平移规律是解题关键．
7．已知x为实数，且﹣（x2+3x）＝2，则x2+3x的值为（　　）
A．1 B．1或﹣3 C．﹣3 D．﹣1或3
【分析】设x2+3x＝y，把原方程化为整式方程，求得y的值后，即为x2+3x的值．
解：设x2+3x＝y，则原方程变为：﹣y＝2，
方程两边都乘y得：3﹣y2＝2y，
整理得：y2+2y﹣3＝0，
（y﹣1）（y+3）＝0，
∴y＝1或y＝﹣3，
当x2+3x＝1时，Δ＞0，x存在．
当x2+3x＝﹣3时，Δ＜0，x不存在．
∴x2+3x＝1，
故选：A．
【点评】当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．需注意换元后得到的根也必须进行验根．
8．下列命题：①若a+b+c＝0，则1是方程cx2+bx+a＝0的根；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有两不相等的实数根；③若一元二次方程x2+bx+a＝0有一个根是﹣a（a≠0），则代数式a﹣b的值是﹣1；④一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1、x2，若abc＞0，则x1＜0，x2＜0；⑤若b2＞5ac，则一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有两不相等的实数根．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤
【分析】分别利用方程解的定义，根的判别式，方程解的定义，根与系数的关系，根的判别式判断求解．
解：解法一：
①当x＝1时，c+b+a＝0成立，
故①是正确的；
②∵b＞a+c，当a+c＞0
Δ＝b2﹣4ac＞（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两不相等的实数根，
当a+c＜0时，b2＜（a+c）2，Δ＝b2﹣4ac＜（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≤0，
故②是错误的；
③当x＝﹣a时，a2﹣ab+a＝0，
∴a﹣b+1＝0，
∴a﹣b＝﹣1，
故③是正确的；
④∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
∵abc＞0，
∴a，b，c都是正数或有两个负数，一个正数，
当a＜0，c＜0，b＞0时，x1•x2＝＞0，x1+x2＝﹣＞0，
∴x1＞0，x2＞0，
故④是错误的；
⑤∵Δ＝b2﹣4ac＞5ac﹣4ac＝ac，
当ac同号时Δ＞0，
当ac异号时，Δ＞0，
故方程总有两个不相等的实数根，
故⑤是正确的，
故选：B．
【点评】本题考查了命题和定理，一元二次方程的有关知识都是解题的关键．
9．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②a+b+c＞0；③方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3； ④b2﹣4ac＞0；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大；正确的说法有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由抛物线开口方向及与y轴的交点位置可判断①；令y＝1可判断②；由图象与x轴的交点可判断③和④；由图象与x轴的两个交点可求得对称轴，结合图象的开口方向，则可判断⑤；则可求得答案．
解：
∵抛物线开口方向、与y轴的交点在x轴的下方，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
由图象可知当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故②不正确；
由图象可知抛物线与x轴交于（﹣1，0）和（3，0）两点，
∴方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3，且b2﹣4ac＞0，故③、④正确；
∵抛物线与x轴交于（﹣1，0）和（3，0）两点，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1，且抛物线开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故⑤正确；
综上可知正确的结论有4个，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的开口方向、对称轴、与一元二次方程的关系是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
二、填空题（每小题5分，共30分）
10．关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有实数根，则m的取值范围是　　．
【分析】m＝0时是一元一次方程，一定有实根；
m≠0时，方程有两个实数根，则根的判别式△≥0，建立关于m的不等式，求得m的取值范围．
解：当m≠0时：
∵a＝m，b＝﹣2，c＝3且方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣12m≥0
∴m≤．
当m＝0时，
方程为一元一次方程，仍有解，
故m的取值范围是m≤．
【点评】方程有两个不相等的实数根，则一元二次方程的根的判别式△≥0．由于没有说是一定是一元二次方程，所以不用考虑二次项系数为0的情况，若二次项系数为0，方程就变成了一元一次方程，这样的方程还是有解的．
11．二次函数y＝（x﹣1）2+2，当﹣3＜x＜2时，y的取值范围是 　2≤y＜18　．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），
将x＝﹣3代入y＝（x﹣1）2+2得y＝16+2＝18，
∴当﹣3＜x＜2时，2≤y＜18，
故答案为：2≤y＜18．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
12．为执行国家药品降价政策，某药品经过两次降价，每瓶零售价由128元降至98元，则平均每次降价的百分率为 　12.5%　．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，由经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：128（1﹣x）2＝98，
解得：x1＝0.125＝12.5%，x2＝1.875（不合题意，舍去）．
故答案为：12.5%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，拱桥对应抛物线的解析式为 　y＝﹣（x+2）2+2　．

【分析】根据题意先画出抛物线解析式，然后设出顶点式，再根据点A（﹣4，0）在抛物线上，代入求出a的值，即可写出抛物线的解析式．
解：如图所示，
由题意可得，该抛物线的顶点坐标为（﹣2，2），点A的坐标为（﹣4，0），
设该抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+2，
∵点A在该抛物线上，
∴0＝a（﹣4+2）2+2，
解得a＝﹣，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）2+2，
故答案为：y＝﹣（x+2）2+2．

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，设出合适的抛物线解析式，利用数形结合的思想解答．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与一次函数y＝ax+c，y＝cx+a图象中的每一条都至多有一个公共点，则的最大值是 　5　．
【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c交于点（0，c），可得a方程x2+bx+c＝ax+c中Δ＝（b﹣a）2＝0，从而可得b＝a，然后令ax2+ax+c＝cx+a，由题意得Δ＝（a﹣c）2﹣4a（c﹣a）≤0，设＝k，通过分类讨论求解．
解：令ax2+bx+c＝ax+c，整理得ax2+（b﹣a）x＝0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c交于点（0，c），
∴Δ＝（b﹣a）2＝0，
解得b＝a，
∴y＝ax2+ax+c，
令ax2+ax+c＝cx+a，整理得ax2+（a﹣c）x+c﹣a＝0，
由题意得Δ＝（a﹣c）2﹣4a（c﹣a）≤0，
设＝k，则c＝ka，
∴（a﹣ka）2﹣4a（ka﹣a）≤0，
（ka﹣a）（ka﹣5a）≤0，
当时，
解得1≤k≤5，
当时，
不等式组无解，
∴k最大值为5，即的最大值是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
15．在平面直角坐标系中，如图所示的函数图象是由函数y＝（x﹣1）2+1（x≥0）的图象C1和图象C2组成中心对称图形，对称中心为点（0，2）．已知不重合的两点A、B分别在图象C1和C2上，点A、B的横坐标分别为a、b，且a+b＝0．当b＜x≤a时该函数的最大值和最小值均与a、b的值无关，则a的取值范围为　1＜a≤+1　．

【分析】由题意可得抛物线C2的解析式y＝﹣（x+1）2+3，由当b＜x≤a时该函数的最大值和最小值均与a、b的值无关，可得函数的最大值和最小值为两抛物线顶点坐标的纵坐标．
则a≥1，b＜﹣1，再考虑y＝1和3时，x的取值，可求a，b的取值范围．
解：∵函数y＝（x﹣1）2+1（x≥0）的图象C1和图象C2组成中心对称图形，对称中心为点（0，2）．
∴抛物线C2的解析式y＝﹣（x+1）2+3，
∵当b＜x≤a时该函数的最大值和最小值均与a、b的值无关，
∴当b＜x≤a时该函数的最大值和最小值分别为3和1，
∴a≥1，b＜﹣1，
当y＝1时，1＝﹣（x+1）2+3，且x＜0，
∴x＝﹣﹣1，
当y＝3时，3＝（x﹣1）2+1且x＞0，
∴x＝+1，
∴﹣﹣1＜b＜﹣1，
∴1＜a≤+1
故答案为：1＜a≤+1
【点评】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的最值，关键是理解图象的点所表示的意义．
三、解答题（共75分）
16．解下列方程：
（1）x2+4x+1＝13（配方法）；
（2）（x﹣3）（x+2）＝6．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：（1）x2+4x+1＝13，
x2+4x＝12，
x2+4x+4＝12+4，
（x+2）2＝16，
x+2＝±4，
x+2＝4或x+2＝﹣4，
x1＝2，x2＝﹣6；
（2）（x﹣3）（x+2）＝6，
x2﹣x﹣12＝0，
（x﹣4）（x+3）＝0，
x﹣4＝0或x+3＝0，
x1＝4，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k＝0．
（1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个根分别是x1，x2，若（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，求k的最大整数值．
【分析】（1）先计算根的判别式的意义得到Δ＝（k﹣3）2+12，则可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）先利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k﹣5），x1x2＝1﹣k，再利用（x1﹣3）（x2﹣3）＜0得到1﹣k+3（k﹣5）+9＜0，然后解不等式得到k的取值范围，从而确定k的最大整数值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k﹣5）2﹣4×（1﹣k）
＝k2﹣10k+25﹣4+4k
＝k2﹣6k+21
＝（k﹣3）2+12＞0，
∴不论k取何实数，该方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k﹣5），x1x2＝1﹣k，
∵（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，
即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，
∴1﹣k+3（k﹣5）+9＜0，
解得k＜，
∴k的最大整数值为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
18．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？
【分析】设矩形田地的长为x步，则宽为（60﹣x）步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出矩形田地的长，再将其代入（60﹣x）中即可求出矩形田地的宽．
解：设矩形田地的长为x步，则宽为（60﹣x）步，
依题意得：x（60﹣x）＝864，
整理得：x2﹣60x+864＝0，
解得：x1＝24，x2＝36
又∵x≥60﹣x，
∴x≥30，
∴x＝36，
∴60﹣x＝60﹣36＝24．
答：矩形田地的长为36步，宽为24步．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于10cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设剪后其中一段长为xcm，则另一段为（20﹣x）cm，根据这两个正方形的面积之和等于17cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设剪后其中一段长为ycm，则另一段为（20﹣y）cm，根据这两个正方形的面积之和等于10cm2，即可得出关于y的一元二次方程，根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝﹣80＜0，进而可得出此方程无解，即不能剪成两段，使得两个正方形的面积之和为10cm2．
解：（1）设剪后其中一段长为xcm，则另一段为（20﹣x）cm，
依题意，得（）2+（）2＝17，
整理，得x2﹣20x+64＝0，
解得x1＝16，x2＝4．
当x＝16时，20﹣x＝4；当x＝4时，20﹣x＝16．
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别为4cm和16cm．
（2）不能，理由如下：
设剪后其中一段长为ycm，则另一段为（20﹣y）cm，
依题意，得（）2+（）2＝10，
整理，得y2﹣20y+120＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣20）2﹣4×1×120＝﹣80＜0，
∴此方程无解，
即不能剪成两段，使得两个正方形的面积之和为10cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
20．如图，在直角坐标系xOy中，四边形OACB为矩形，C点的坐标为（3，6），一个单位长度是1cm，若点P从O点沿OA向点A以1cm/s的速度运动，点Q从点A沿AC以2cm/s的速度运动，如果P，Q分别从O，A同时出发，问：
（1）经过多长时间△PAQ的面积为2cm2？
（2）△PAQ的面积能否达到3cm2？请说明理由；
（3）经过多长时间，P、Q两点之间的距离为cm？

【分析】（1）设经过x秒△PAQ的面积为2cm2，根据三角形的面积公式列出方程解答即可；
（2）设经过x秒△PAQ的面积为3cm2，通过列出方程解答可知此方程无实数根，即不能达到；
（3）根据P、Q两点的移动规律，分别写出经过1，2，3秒时的坐标，再根据两点间的距离公式解答即可．
解：（1）设经过xs，△PAQ的面积为2cm2，
由题意得（3﹣x）•2x＝2，
解得x1＝1，x2＝2，
所以经过1秒或2秒时，△PAQ的面积为2cm2；
（2）设经过xs，△PAQ的面积为3cm2，
由题意得（3﹣x）•2x＝3，
即x2﹣3x+3＝0，
因为b2﹣4ac＝﹣3＜0，
所以此方程没有实数根，
所以△PAQ的面积不能达到3cm2；
（3）设经过t秒，P、Q两点之间的距离为cm，
根据题意得（2t）2+（3﹣t）2＝17，
∴t1＝﹣0.8（不合题意舍去），t2＝2，
答：经过2秒后，P、Q两点之间的距离为cm．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握三角形的面积公式与两点间的距离公式是解答本题的关键．
21．在体育考试中，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线．
（1）求实心球行进的高度y（米）与行进的水平距离x（米）之间的函数关系式；
（2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．

【分析】（1）已知抛物线经过顶点（4，3.6），y轴上一点（0，2），可设抛物线顶点式，求解析式；
（2）要得到运动员成绩，就是当y＝0时，x的值．
解：（1）由抛物线顶点是（4，3.6），
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2+3.6，
把点（0，2）代入得a＝﹣，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+3.6；

（2）当y＝0时，0＝﹣（x﹣4）2+3.6，
解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝10，
即这名男生在这次考试中成绩是10米，能达到优秀．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
22．新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：
第x天
1
2
3
4
5
销售价格p（元/只）
2
3
4
5
6
销量q（只）
70
75
80
85
90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200（6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大．
【分析】（1）根据表格数据可得前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系；
（2）当1≤x≤5且x为整数时，W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）＝5x2+x+；当6≤x≤30且x为整数时，W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）＝﹣x2+40x﹣100．再根据二次函数的性质即可求出第5天时利润最大为495元．
解：（1）根据表格数据可知：
前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系为：
p＝x+1，1≤x≤5且x为整数；
q＝5x+65，1≤x≤5且x为整数；
（2）当1≤x≤5且x为整数时，
W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）
＝5x2+x+；
当6≤x≤30且x为整数时，
W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）
＝﹣x2+40x﹣100．
即有W＝；
当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，
∴当x＝5时，W有最大值为：495元；
当6≤x≤30且x为整数时，
W＝﹣x2+40x﹣100＝﹣（x﹣20）2+300，
∵﹣1＜0，6≤x≤30，
∴当x＝20时，W有最大值，最大值为300，
∵495＞300，
∴第5天时利润最大为495元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意找等量关系．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，过点A的抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交点C，与直线AB的另一个交点为D，点E是线段AD上一点，点F在抛物线上，EF∥y轴，设E的横坐标为m
（1）用含a的代数式表示b．
（2）当点D的横坐标为8时，求出a的值．
（3）在（2）的条件下，设△ABF的面积为S，求出S最大值，并求出此时m的值．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）求出点D坐标，利用待定系数法，把问题转化为方程组解决；
（3）如图，连接AF、BF，作FH⊥AB用H．设E（m，﹣m+2），则F（m，﹣m+m﹣2）．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
解：（1）由题意A（2，0），B（0，2），
把A（2，0）代入y＝ax2+bx﹣2得到4a+2b﹣2＝0，
∴b＝1﹣2a．

（2）∵D的横坐标为8，
x＝8时，y＝﹣8+2＝﹣6，
∴D（8，﹣6），
把D（8，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣2得到：64a+8b﹣2＝﹣6，
∴64a+8（1﹣2a）﹣2＝﹣6，
∴a＝﹣．

（3）如图，连接AF、BF，作FH⊥AB用H．设E（m，﹣m+2），则F（m，﹣m+m﹣2）．

∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝45°，AB＝2，
∵EF∥OB，
∴λFEH＝∠OBA＝45°，
∴FH＝EF，
∴S△ABF＝×AB×FH＝×2×（﹣m2+m﹣4）＝﹣（m﹣5）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝5时，△ABF的面积最大，最大值为．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．