山东省聊城市2021-2022学年上学期九年级第一次调研数学试卷(word版含答案)

这是一份山东省聊城市2021-2022学年上学期九年级第一次调研数学试卷(word版含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省聊城市九年级（上）第一次调研数学试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）已知sina＝，且a是锐角，则a＝（　　）
A．75° B．60° C．45° D．30°
2．（3分）已知两个相似三角形的相似比为4：9，则它们周长的比为（　　）
A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．16：81
3．（3分）如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（　　）

A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
4．（3分）下列说法不一定正确的是（　　）
A．所有的等边三角形都相似
B．有一个角是100°的等腰三角形相似
C．所有的正方形都相似
D．所有的矩形都相似
5．（3分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，则BC的长为（　　）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（　　）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosB＝
7．（3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的相似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（　　）

A．（2，2），2 B．（0，0），2 C．（2，2）， D．（0，0），
9．（3分）如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC＝9米，∠A＝30°，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20cm，则此阶梯最少要建（　　）（最后一阶的高不足20cm时按一阶计算，≈1.732）

A．23阶 B．24阶 C．25 D．26阶
10．（3分）如图，在△ABC中，EF∥BC，EG∥AB，则下列式子一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（　　）

A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③
12．（3分）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）

A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）
13．（3分）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：5，△ABC的面积为9，则△DEF的面积为　 　．
14．（3分）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，那么∠C＝　 　．
15．（3分）在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是　 　cm2．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝6．BC的长为 　 　．（结果保留根号）

17．（3分）如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为　 　．

三．解答题（本题共7个小题，共69分.）
18．（8分）计算：
（1）2tan45°﹣﹣2sin260°+；
（2）2cos30°+tan30°•cos60°﹣．
19．（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）将△ABC先向上平移5个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请在网格内画出△A1B1C1．
（2）以A为位似中心，将△A1B1C1放大，使变换后得到的△A1B2C2与△A1B1C1对应边的比为2：1，请在网格内画出△A1B2C2．

20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD＝2．过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B．求线段EC的长度．

21．（8分）2021年3月23日苏伊士运河发生阻塞时使用了一种如图1的浮式起重机，它是捞、救援的重要设备，某数学研究小组为了计算如图2所示浮式起重机悬索AC的长，他们测量了如下数据，∠A＝30°，∠ABC＝105°，AB＝90m，请你帮助他们求出悬索AC的长（结果保留根号）．

22．（8分）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

23．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E．设BC＝20，AD＝10，PQ：PN＝3：4．
（1）证明：△APN∽△ABC；
（2）求矩形PQMN的面积．

24．（10分）龙门黄河大桥全长4566m．是黄河上跨径最大的斜拉桥．号称“黄河第一桥”．也是山西省里程最长、投资最大、结构最复杂的桥梁．其中的双塔斜拉桥主桥采用两座等高的花瓶型塔，造型优美．数学课外小组的同学们准备用无人机测量花瓶型塔的高度．如图，同学们在无人机上搭载测角仪，当无人机垂直上升到离地面NP高41m的点A处时悬停．测得其中一座塔的塔尖M的仰角∠MAC＝53°．无人机从点A处垂点上升20m后到达点B处再次悬停．此时测得该塔塔尖M的仰角∠MBD＝45°．已知点A、B、C、D、M、N、P均在同一平面内，求此花瓶型塔MN的高度．（结果精确到0.1m；参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈＝0.60，tan53°＝1.33）

25．（12分）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．
（1）求证：△EDF∽△EFC；
（2）如果＝，求证：AB＝BD．


2021-2022学年山东省聊城市九年级（上）第一次调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）已知sina＝，且a是锐角，则a＝（　　）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【分析】根据sin60°＝得出a的值．
【解答】解：∵sina＝sin60°＝，a是锐角，
∴a＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
2．（3分）已知两个相似三角形的相似比为4：9，则它们周长的比为（　　）
A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．16：81
【分析】直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为4：9，
∴它们的周长比等于相似比，即：4：9．
故选：B．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
3．（3分）如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（　　）

A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
【分析】根据∠1＝∠2，可知∠DAE＝∠BAC，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可．
【解答】解：A和B符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
4．（3分）下列说法不一定正确的是（　　）
A．所有的等边三角形都相似
B．有一个角是100°的等腰三角形相似
C．所有的正方形都相似
D．所有的矩形都相似
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、所有的等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；
B、有一个角是100°的等腰三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；
C、所有的正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；
D、所有的矩形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
5．（3分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，则BC的长为（　　）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
【分析】根据正弦的定义得到sinA＝＝，然后利用比例性质求BC．
【解答】解：如图，
在Rt△ACB中，∵sinA＝＝，
∴BC＝×10＝6．
故选：A．

【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（　　）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosB＝
【分析】利用同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再根据正弦定义可得答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴sinA＝sin∠BCD＝，
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦：锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
7．（3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】过B作BC⊥OA于C，根据勾股定理求出OA、OB，根据三角形面积求出BC，解直角三角形求出即可．
【解答】解：如图：
过B作BC⊥OA于C，
∵∠OEB＝90°，
∴由勾股定理得：AO＝＝2，OB＝＝2，
∵S△ABO＝AB×OE＝OA×BC，
∴2×2＝2×BC，
∴BC＝，
∴∠AOB的正弦值是＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积的应用，能构造直角三角形是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
8．（3分）如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的相似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（　　）

A．（2，2），2 B．（0，0），2 C．（2，2）， D．（0，0），
【分析】两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k．
【解答】解：连接OD、BE，延长OD交BE的延长线于点O′，点O′也就是位似中心为（2，2）；
k＝OA：FD＝8：4＝2，
故选：A．

【点评】本题考查位似变换、坐标与图形的性质等知识，记住两对对应点的连线的交点为位似中心；任意一对对应边的比即为位似比．
9．（3分）如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC＝9米，∠A＝30°，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20cm，则此阶梯最少要建（　　）（最后一阶的高不足20cm时按一阶计算，≈1.732）

A．23阶 B．24阶 C．25 D．26阶
【分析】利用30°的正切值可求得BC长；BC除以20采用进一法即可求得台阶数．
【解答】解：∵AC＝9米，∠A＝30°，
∴BC＝AC×tan30°≈519.6cm，
∴台阶数为：519.6÷20≈26个，
故选：D．
【点评】解决本题的关键是理解阶梯数等于BC长度除以每个台阶的高度．
10．（3分）如图，在△ABC中，EF∥BC，EG∥AB，则下列式子一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理，由EF∥BC得到，则可对A选项进行判断；再由EG∥AB得到，则可对B选项进行判断；由EG∥AB得到，由EF∥BC得到，则可对C选项进行判断；由EG∥AB得到，由EF∥BC得到，则可对D选项进行判断．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴，所以A选项错误；
∵EG∥AB，
∴，
∴，所以B选项错误；
∵EG∥AB，
∴，
∵EF∥BC，
∴，
∴，所以C选项错误；
∵EG∥AB，
∴，
∵EF∥BC，
∴，
∴，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
11．（3分）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（　　）

A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③
【分析】根据平行四边形的性质得到AE＝CE，根据相似三角形的性质得到＝＝，等量代换得到AF＝AD，于是得到＝；故①正确；根据相似三角形的性质得到S△BCE＝36；故②正确；根据三角形的面积公式得到S△ABE＝12，故③正确；由于△AEF与△ADC只有一个角相等，于是得到△AEF与△ACD不一定相似，故④错误．
【解答】解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE＝CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴＝＝，
∵AD＝BC，
∴AF＝AD，
∴＝；故①正确；
∵S△AEF＝4，＝（）2＝，
∴S△BCE＝36；故②正确；
∵＝＝，
∴＝，
∴S△ABE＝12，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选：D．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
12．（3分）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）

A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则，解得x＝3，
所以另一段长为18﹣3＝15，
因为15÷3＝5，所以是第5张．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）
13．（3分）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：5，△ABC的面积为9，则△DEF的面积为　25　．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：5，
∴＝（）2＝，
∵△ABC的面积为9，
∴△DEF的面积为25，
故答案为：25．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
14．（3分）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，那么∠C＝　75°　．
【分析】先根据△ABC中，tanA＝1，cosB＝，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0
∴tanA＝1，cosB＝
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
15．（3分）在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是　27　cm2．
【分析】由题意，在长为8cm宽6cm的矩形中，截去一个矩形使留下的矩形与原矩形相似，根据相似形的对应边长比例关系，就可以求解．
【解答】解：设截去的矩形宽为x，
∵留下的矩形与原矩形相似，
∴＝，
解得x＝．
∴截去的矩形的面积为×6＝21cm2，
∴留下的矩形的面积为48﹣21＝27cm2，
故答案为：27．
【点评】此题主要考查多边形相似的性质：对应边长成比例，相似比的平方等于面积比，学生对此性质要熟练掌握．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝6．BC的长为 　3+　．（结果保留根号）

【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中，AB＝6，∠B＝45°，
∴AD＝AB•sin45°＝6×＝3，
BD＝AB•cos45°＝6×＝3，
在Rt△ACD中，∠C＝60°，
∴CD＝＝＝，
∴BC＝BD+CD＝3+，
故答案为：3+．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（3分）如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为　t＝或t＝4秒　．

【分析】此题应分两种情况讨论．（1）当△APQ∽△ABC时；（2）当△APQ∽△ACB时．利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）当△APQ∽△ABC时，
，
设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
则AP＝2t，CQ＝3t，AQ＝16﹣3t．
于是，
解得，t＝；

（2）当△APQ∽△ACB时，
，
设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
则AP＝2t，CQ＝3t，AQ＝16﹣3t．
于是，
解得t＝4．
故答案为：t＝或t＝4．


【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意将对应边转换，得到两组相似三角形是解题的关键．
三．解答题（本题共7个小题，共69分.）
18．（8分）计算：
（1）2tan45°﹣﹣2sin260°+；
（2）2cos30°+tan30°•cos60°﹣．
【分析】（1）tan45°＝1，sin30°＝，sin60°＝，代入锐角三角函数值计算即可；
（2）cos30°＝，tan30°＝，cos60°＝，tan60°＝，代入锐角三角函数值计算即可．
【解答】解：（1）2tan45°﹣﹣2sin260°+
＝2×1﹣﹣2×（）2+
＝2﹣2﹣+
＝0；
（2）2cos30°+tan30°•cos60°﹣
＝2×+×﹣
＝+﹣（1）
＝+1
＝．
【点评】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
19．（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
（1）将△ABC先向上平移5个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请在网格内画出△A1B1C1．
（2）以A为位似中心，将△A1B1C1放大，使变换后得到的△A1B2C2与△A1B1C1对应边的比为2：1，请在网格内画出△A1B2C2．

【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用位似变换的性质，分别作出B1，C1的对应点B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A1B2C2即为所求．

【点评】本题考查作图﹣位似变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，平移变换的性质，属于中考常考题型．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD＝2．过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B．求线段EC的长度．

【分析】由条件可得到∠BAD＝∠EDC，可证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质可得到＝，代入可求得EC．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ACD＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，
又∵∠B＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，
∵BC＝6，BD＝2，
∴CD＝4，
∴＝，
解得EC＝1．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件得到∠BAD＝∠DCE证得△ABD∽△DCE是解题的关键．
21．（8分）2021年3月23日苏伊士运河发生阻塞时使用了一种如图1的浮式起重机，它是捞、救援的重要设备，某数学研究小组为了计算如图2所示浮式起重机悬索AC的长，他们测量了如下数据，∠A＝30°，∠ABC＝105°，AB＝90m，请你帮助他们求出悬索AC的长（结果保留根号）．

【分析】过点B作BD⊥AC于点D，由含30°甲的直角三角形的性质和锐角三角函数定义求出BD＝AB＝45m，AD＝45（m），再证△BCD为等腰直角三角形，得CD＝BD＝45m，即可求解．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，如图2所示：
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝30°，AB＝90m，
∴BD＝AB＝45m，AD＝＝＝45（m），∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝105°﹣60°＝45°，
∵BD⊥AC，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝45m，
∴AC＝AD+CD＝（45+45 ）（m），
答：悬索AC的长为（45+45 ）m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、含30°甲的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识；求出CD、AD的长是解题的关键．
22．（8分）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【分析】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．
【解答】解：∵山坡BM的坡度i＝1：3，
∴i＝1：3＝tanM，
∵BC∥MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝＝tanM＝1：3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即树AB的高度约为5.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义和坡度坡角定义，求出BC的长是解题的关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E．设BC＝20，AD＝10，PQ：PN＝3：4．
（1）证明：△APN∽△ABC；
（2）求矩形PQMN的面积．

【分析】（1）由PN∥BC即可得出结论；
（2）设PQ＝3x，则PN＝4x，利用PN∥BC，可得到＝，代入可求得x，再计算矩形PQMN的面积即可．
【解答】（1）证明：∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥QM，
∴△APN∽△ABC；
（2）解：∵PQ：PN＝3：4，
∴设PQ＝3x，则PN＝4x，
∵四边形PQMN为矩形，
∴ED＝PQ＝3x，AE＝AD﹣DE＝10﹣3x，
又PN∥BC，
∵△APN∽△ABC，
∴＝，
即，
解得x＝2，
∴PQ＝6，PN＝8，
∴S矩形PQMN＝PQ•PN＝6×8＝48．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（10分）龙门黄河大桥全长4566m．是黄河上跨径最大的斜拉桥．号称“黄河第一桥”．也是山西省里程最长、投资最大、结构最复杂的桥梁．其中的双塔斜拉桥主桥采用两座等高的花瓶型塔，造型优美．数学课外小组的同学们准备用无人机测量花瓶型塔的高度．如图，同学们在无人机上搭载测角仪，当无人机垂直上升到离地面NP高41m的点A处时悬停．测得其中一座塔的塔尖M的仰角∠MAC＝53°．无人机从点A处垂点上升20m后到达点B处再次悬停．此时测得该塔塔尖M的仰角∠MBD＝45°．已知点A、B、C、D、M、N、P均在同一平面内，求此花瓶型塔MN的高度．（结果精确到0.1m；参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈＝0.60，tan53°＝1.33）

【分析】分别延长AC、BD交MN于E、F，延长BA交NP于H，则四边形ABFE、四边形AHNE都是矩形，得AE＝BF，EN＝AH＝41m，EF＝AB＝20m，证△MBF是等腰直角三角形，得MF＝BF，则MF＝AE，再由锐角三角函数定义求出ME＝1.33AE，则20＝1.33AE﹣AE，解得AE≈60.61（m），即可解决问题．
【解答】解：分别延长AC、BD交MN于E、F，延长BA交NP于H，如图2所示：
则四边形ABFE、四边形AHNE都是矩形，
∴AE＝BF，EN＝AH＝41m，EF＝AB＝20m，
在Rt△MBF中，∠MBF＝45°，
∴△MBF是等腰直角三角形，
∴MF＝BF，
∴MF＝AE，
在Rt△MAE中，tan∠MAE＝，
∴tan53°＝≈1.33，
∴ME＝1.33AE，
∵EF＝ME﹣MF，
∴20＝1.33AE﹣AE，
解得：AE≈60.61（m），
∴MF＝AE＝60.61m，
∴MN＝MF+EF+EN＝60.61+20+41≈121.6（m），
答：花瓶型塔MN的高度约为121.6m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，由锐角三角函数定义求出AE是解题的关键．
25．（12分）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．
（1）求证：△EDF∽△EFC；
（2）如果＝，求证：AB＝BD．

【分析】（1）利用“两边成比例且夹角相等”即可证得△EDF∽△EFC；
（2）根据相似三角形的性质可得＝（）2＝，推出＝，即 ED＝AD，由此即可解决问题；
【解答】证明：（1）∵AB＝AD，AE⊥BC，
∴BE＝ED＝DB；
∵EF2＝•BD•EC，
∴EF2＝ED•EC，即得 ＝，
又∵∠FED＝∠CEF，
∴△EDF∽△EFC．

（2）∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
又∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B，
∴∠ADB＝∠FDC，
∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC；
∵△EDF∽△EFC，
∴∠EFD＝∠C，
∴△EDF∽△ADC，
∴＝（）2＝，
∴＝，即 ED＝AD；
又∵ED＝BE＝BD，
∴BD＝AD，
∴AB＝BD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，充分发挥基本图形的作用．本题属于中考常考题型．