2020-2021学年山东省德州市夏津第一中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年山东省德州市夏津第一中学高二上学期9月月考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省德州市夏津第一中学高二上学期9月月考数学试题  一、单选题1．已知向量，则下列向量中与同向的单位向量的坐标是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】求得，进而可计算得出与同向的单位向量的坐标.【详解】，则，所以，与同向的单位向量的坐标是.故选：B.【点睛】本题考查与向量同向的单位向量的坐标，考查计算能力，属于基础题.2．直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可.【详解】直线的斜率为,故倾斜角的正切值,又,故.故选：A【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型.3．已知在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】以为原点，在平面内，过点作的垂线为轴，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．【详解】以为原点，在平面内，过点作的垂线为轴，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由题得，，0，，，,，2，，，， 设异面直线与所成角为，则．异面直线与所成角的余弦值为．故选：B．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知直线，，若，则实数（    ）A．或1 B．0或1 C．1 D．【答案】D【解析】讨论，根据两条直线平行的条件列式可解得结果.【详解】当时，的斜率不存在，的斜率为0，此时，不合题意；当时，由可得，解得，故选：D【点睛】本题查了由两条直线平行求参数，属于基础题.5．如图，在正四棱柱中，，则点到平面的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】结合余弦定理、三角形面积公式、棱锥得体积公式，利用等体积法，即可求出答案．【详解】解：设点到平面的距离为，∵，由题意，的面积，在中，易求得，，∴由余弦定理得，∴，∴，又，即，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查等体积法求点到平面的距离，考查转化与化归思想，属于中档题．6．已知空间向量，，且，则与的夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先根据得到，从而得到，再计算即可.【详解】，因为，解得，即.所以.故选：B【点睛】本题主要考查空间向量的夹角计算，属于简单题.7．无论a取何实数，直线恒过（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】将直线化为点斜式，求出直线恒过定点即可得解；【详解】解：将直线方程化为点斜式为，可知直线恒过定点，因为点在第一象限，所以直线恒过第一象限．故选：A【点睛】本题考查直线过定点问题，属于基础题.8．已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（    ）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】求得的中点坐标为，设直线的方程为，且与轴交于点，结合三角形的面积公式，列出方程，求得或，进而求得直线的方程.【详解】由直线，可得与轴，轴分别交于，则的中点为，即中点坐标为，设直线的方程为，即，且与轴交于点，因为直线，及轴围成的三角形面积为6，可得，即，解得或，当时，即点，此时直线的方程为，即；当时，即点，此时，直线的方程为， 综上可得直线的方程为或.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及三角形面积公式的应用，其中解答中熟练直线的点斜式方程，以及结合三角形的面积公式列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 二、多选题9．已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基组表示向量，有，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】求出关于、、的表达式，可求得关于、、的表达式，可得出、、的值，进而可判断出各选项的正误.【详解】如下图所示，为的中点，则，为的中点，则，，，则，，，，则.故选：ABC.【点睛】本题考查利用空间基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.10．下列关于直线的方程，叙述不正确的是（    ）A．经过定点的直线都可以用方程表示B．经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示C．不经过原点的直线都可以用方程表示D．经过定点的直线都可以用方程表示【答案】ACD【解析】根据各种直线方程的适用范围，逐个分析判断即可【详解】解：对于A，经过定点，且斜率存在的直线都可以用方程表示，所以A错误；对于B，经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示，所以B正确；对于C，不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程表示，所以C错误；对于D，经过定点，且斜率存在的直线都可以用方程表示，所以D错误，故选：ACD【点睛】此题考查各个直线方程的适用范围，考查命题的真假判断，属于基础题11．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ）A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于C．与直线垂直 D．上存在与原点距离等于1的点【答案】CD【解析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C，对于计算出原点到直的距离即可判断【详解】解：因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为（），则，所以，所以A错误；因为经过点，所以直线的方程为，令，则，所以在轴上的截距为，所以B错误；因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以，所以与直线垂直，所以C正确；因为原点到直线的距离为，所以上存在与原点距离等于1的点，所以D正确，故选：CD【点睛】此题考查直线方程的求法，考查两直线的位置关系，考查斜率与倾斜角的关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于中档题12．如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，点在棱上且靠近，当时，则（    ）A． B．C． D．二面角的余弦值为【答案】BD【解析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，，根据求出，可得，根据空间两点间的距离公式求出，，，利用法向量求出二面角的余弦值为.【详解】依题意可知，，，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：设，，则，，，，，，，，所以，， 因为，所以，即，解得或（舍），所以，，故选项正确，，故选项不正确，因为，所以，故不正确，取平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，，由，即，取，则，，所以，显然二面角为锐角，所以二面角的余弦值为，故选项正确.故选：BD【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标表示，考查了空间两点间的距离公式，考查了二面角的向量求法，属于中档题.  三、填空题13．已知直线与垂直，则____________．【答案】【解析】由题意得，解出即可．【详解】解：∵直线与垂直，∴，即，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查根据两条直线垂直求参数值，属于基础题．14．已知点到直线的距离为，则____________.【答案】【解析】根据点到直线的距离公式列式可解得结果.【详解】由点到直线的距离公式得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题.15．设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，λ的取值范围是________．【答案】(，1)【解析】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，意在考查考生的空间想象能力以及运算求解能力．以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，则＝(1,1，－1)，得＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于·<0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，即(λ－1)(3λ－1)<0，解得<λ<1，因此λ的取值范围是(，1)．  四、双空题16．已知点，，，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是____________；若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是____________.【答案】        【解析】分别画出图象，数形结合可得答案.【详解】由，，直线过点与线段相交，如上图，,，则直线的斜率的取值范围是； 由，，直线过点与线段相交，如上图，，，则直线的斜率的取值范围，故答案为：① ；②.【点睛】本题考查了直线的斜率，斜率的取值范围，属于基础题. 五、解答题17．已知向量，.（1）若，求实数；（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围.【答案】（1）；（2）且.【解析】（1）求出，，根据可解得结果；（2）根据可得，除去可得解.【详解】（1）由已知可得，，，因为，所以，可得. （2）由（1）知，，，因为向量与所成角为锐角，所以，解得， 又当时，，可得实数的范围为且.【点睛】本题考查了空间向量共线问题，考查了空间向量的夹角问题，属于中档题.18．在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，求：（1）边所在直线的方程；（2）边上的高所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出直线的斜率，代入点斜式方程即可；(2)求出直线BC的斜率，得到BC边上的高所在直线的斜率，代入点斜式方程即可.【详解】（1）设的直线方程为.将，坐标代入可得，解方程组可得，则直线方程为，化为一般式为. （2）因为为直线的高，所以，故， 设的直线方程为，将代入，解得，得的直线方程为，代为一般式为.【点睛】本题主要考查了直线方程问题，考查求直线的斜率，两条垂直直线斜率间的关系，属于基础题．19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点为的中点，，. （1）求证：直线平面；（2）求直线与平面夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由平面可得出，由勾股定理可得出，进而利用线面垂直的判定定理可证得直线平面；（2）以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值.【详解】（1）由题知，，，，那么，可得， 由平面，平面，可得，，因此，直线平面；（2）由（1）知，平面，，以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图，可得，，，，，则，，.  设平面的一个法向量为，那么，即得，令，得，那么，所以直线与平面夹角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定，同时也考查了利用空间向量法求解线面角的正弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等题.20．已知直线.（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值；（2）若直线与轴所成的角为，求的值.【答案】（1）或；（2）或.【解析】（1）根据方程解出横纵截距，然后建立方程求解即可；（2）由条件可得直线的倾斜角为或，然后可求出答案.【详解】（1）由题意令，， 令，，由，得或，综上，的值为或；（2）∵直线与轴所成的角为，∴直线与轴所成的角为或，即直线的倾斜角为或，∴直线的斜率存在，∴，又∵直线的斜率为，∴或，∴或【点睛】本题考查的是直线的一般式方程的应用，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.21．已知在平行六面体中，，，，且.（1）求的长；（2）求与夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由空间向量的加法法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，由此可求得的长；（2）计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值，即可得解.【详解】（1）由题可知，，那么，因此，的长为；（2）由题知，，则，，所以，.【点睛】本题考查利用空间向量法计算线段长，同时也考查了利用空间向量法计算向量夹角的余弦值，解题的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.22．如图在四面体中，平面，，分别为边的中点，为边上任意一点.（1）证明：平面；（2）当二面角的平面角为时，求的长度.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】(1)由已知证明面面,由面即可证得面;(2)设,根据已知条件建系如图,求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式代入即可求得.【详解】解：（1）证明：因为分别为边的中点，所以.又因为，所以面面.又因为面，所以面（2）设.，.在底面作直线垂直于，如图建立空间直角坐标系，则，.设面的法向量所以，令，.又知面的法向量.所以，.综上可知.【点睛】本题主要考查面面平行的判定和性质定理,考查向量法在求解二面角中的应用,考查了转化化归的思想和运算求解的能力,-属于中档题.