2020届山东省德州市夏津第一中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2020届山东省德州市夏津第一中学高三上学期12月月考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020届山东省德州市夏津第一中学高三上学期12月月考数学试题  一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）．A． B． C． D．【答案】C【解析】求出中不等式的解集确定出，及中的范围确定出，确定出集合的补集再求出即可.【详解】因为集合，则，又，所以.故选：.【点睛】此题考查了交集、补集及其运算,熟练掌握交集、补集的定义是解本题的关键，是基础题.2．若复数为纯虚数，则（    ）．A． B．2 C．5 D．【答案】D【解析】把给出的复数化简,然后由实部等于，虚部不等于求解的值，最后代入模的公式求模.【详解】由，因为复数为纯虚数，，解得,所以故选:.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法,是基础题.3．下列不等式正确的是（  ）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据指数函数、对数函数的图像与性质,结合中间值法即可比较大小.【详解】对于,由对数函数的图像与性质可知对于,由指数函数的图像与性质可知对于,由指数函数的图像与性质可知综上可知, 故选:A【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质的应用,函数值的大小比较,属于基础题.4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（    ）．A． B．C． D．【答案】B【解析】利用奇函数画出函数图像，同时画出的图像，结合图像即可得出.【详解】为上的奇函数，所以如图，画出在的图象，得点、点在上，画出的图象，得到其渐近线为，且在第一象限与的图象交点为，要解不等式，则结合图象，需的图象在图象的上方，从而解得:.  故选：.【点睛】本题主要考查的是函数奇偶性，单调性的应用，以及指数函数的性质应用，数型结合的应用，是中档题.5．已知，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】利用诱导公式和二倍角公式计算可得.【详解】，  .故选：.【点睛】本题主要考查的是诱导公式，二倍角公式的应用，考查学生的计算能力，是基础题.6．数列，满足，，，则数列的前项和为（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意是数列是等差数列，数列的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前项和公式即可求得.【详解】因为，，所以数列是等差数列，数列的等比数列，因此，，数列的前项和为：.故选：.【点睛】本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.7．第七届世界军人运动会于2019年10月18日在武汉举行，现有，，，，5名志愿者分配到甲，乙，丙三个体育馆参加志愿者活动，每个体育馆至少安排一人且和是同学需分配到同一体育馆，则甲体育馆恰好安排了1人的概率是（    ）．A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意,首先和看成一个整体再根据每个体育馆至少安排一人，计算所有的基本事件，再计算甲体育馆恰好安排了1人含的基本事件个数，由等可能事件的概率公式,计算可得答案.【详解】因为和是同学需分配到同一体育馆，所以把看成一个元素，又每个体育馆至少安排一人，所有的基本事件有，甲体育馆恰好安排了1人的基本事件有,甲体育馆恰好安排了1人的概率为.故选：.【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率公式，考查带有限制条件的元素的排列组合问题，考查利用排列组合知识解决实际问题的能力，是中档题.8．设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，与抛物线的准线相交于点 ， ，则 与 的面积之比 等于（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图过作准线的垂线，垂足分别为
又 由拋物线定义 由 知， 把 代入上式，求得 故故选A． 二、多选题9．定义新运算，当时，；当时，，则函数，的值可以等于（    ）．A． B．1 C．6 D．【答案】BCD【解析】先根据题意算出函数的表达式，再算出函数的值域，即可得答案.【详解】由题意知，易知函数在上单调递增，所以，所以函数，的值可以等于为.故选：.【点睛】本题主要考查的是函数的单调性和函数的值域的应用，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.10．已知两条直线，及三个平面，，，则的充分条件是（    ）．A．， B．，，C．， D．，，【答案】ABC【解析】根据面面垂直的判定定理，即可得作出判断.【详解】由面面垂直定理可以判断正确，对于选项，，，，也可以得到，故错.故选：.【点睛】本题主要考查的是面面垂直的判定定理、充分条件的判断，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题.11．已知函数（其中，，的部分图象，则下列结论正确的是（    ）．A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调增D．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为【答案】BCD【解析】根据图像求出函数的解析式，再求出它的对称轴和对称中心，以及单调区间，即可判断.【详解】由函数（其中，，）的图像可得：，，因此,,所以，过点，因此，又，所以，，当时，，故错；当时，，故正确；当，，所以在上单调递增，故正确；当时，，所以与函数有的交点的横坐标为 ，，故正确.故选：.【点睛】本题主要考查的是三角函数图像的应用，正弦函数的性质的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题.12．已知函数，下列四个命题正确的是（    ）．A．函数为偶函数B．若，其中，，，则C．函数在上为单调递增函数D．若，则【答案】ABD【解析】根据函数的奇偶性定义，函数性质、对数函数的性质，以及作差法，可以判断.【详解】函数对于，，，所以函数为偶函数，故正确；对于，若，其中，，，所以，，即，得到，故正确；对于，函数，由，解得，所以函数的定义域为，因此在上不具有单调性，故错误；对于，因为，，故，故正确.故选：.【点睛】本题主要考查的是函数的性质以及对数函数性质的应用，作差法的应用，考查学生的分析问题的能力，和计算能力，是中档题.  三、填空题13．已知向量．若向量，则_____．【答案】【解析】由向量的差的坐标运算可得：，由两向量平行的坐标运算得：，运算即可得解.【详解】解：向量，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了两向量平行的坐标运算，属基础题.14．某海域中有一个小岛（如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域的处出发由西向东直线航行，在处望见小岛位于北偏东75°，渔船继续航行8海里到达处，此时望见小岛位于北偏东60°，若渔船不改变航向继续前进，试问渔船有没有触礁的危险？答：______.（填写“有”、“无”、“无法判断”三者之一）【答案】无【解析】可过作的延长线的垂线，垂足为，结合角度关系可判断为等腰三角形，再通过的边角关系即可求解，判断与3.8的大小关系即可【详解】如图，过作的延长线的垂线，垂足为，在中，，，则，所以为等腰三角形。，又，所以，，所以渔船没有触礁的危险故答案为：无【点睛】本题考查三角函数在生活中的实际应用，属于基础题15．如图，在三棱锥中，若底面是正三角形，侧棱长，、分别为棱、的中点，并且，则异面直线与所成角为______；三棱锥的外接球的体积为______．【答案】        【解析】根据题意得出三棱锥是正三棱锥，易证出平面，再根据，可得，从而得出异面直线与所成角；判断出三棱锥是正方体的一部分，从而得出球的直径，即可得出球的体积.【详解】由三棱锥中，若底面是正三角形，侧棱长知，三棱锥是正三棱锥，则点在底面中的投影为底面的中心，为中点如图，因此,所以平面,平面,,又、分别为棱、的中点，则,因此，异面直线与所成角为；,平面,又，则平面,又三棱锥是正三棱锥，因此三棱锥可以看成正方体的一部分且为正方体的四个顶点，故球的直径为，则球的体积为.故答案为：；.【点睛】本题主要考查的是异面直线所成角，线面垂直的判定定理，以及球的体积，考查学生的理解能力，是中档题.16．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为_________.【答案】【解析】先证明是正三角形，在中，由余弦定理、结合双曲线的定义可得，化为，从而可得结果.【详解】由题意，得，另一个焦点，由对称性知，，又因为线段的垂直平分线经过点，，则，可得是正三角形，如图所示，连接，则，由图象的对称性可知，，又因为是等腰三角形，则，在中，由余弦定理：，上式可化为，整理得：，即，由于，则，故，故答案为.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值. 四、解答题17．已知函数，将函数的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，然后向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的图像.（1）当时，求的值域；（2）已知锐角△的内角、、的对边分别为、、，若，，，求△的面积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）现根据平移法则求得，再求值域即可；（2）由求得，再结合正弦的面积公式，余弦定理联立求解，即可求得面积.【详解】（1），将函数的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得；再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，得到；然后向左平移个单位，得到；再向上平移个单位，得到，当，， ，（2）或（由题意三角形为锐角三角形，故舍去），，①，②又，，代入①②得bc=3,则【点睛】本题考查三角函数的化简、值域求解，三角函数图像平移法则，正弦定理余弦定理结合求面积，属于基础题18．已知是各项为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等比中项．（1）设，，求证：是等差数列；（2）若，，，（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析(2) （Ⅰ）（Ⅱ）【解析】(1)根据等差数列定义即可证明；(2)(Ⅰ)求出数列的通项，再利用并项求和即可得出；（Ⅱ）求出数列的通项，再利用裂项求和即可得出.【详解】（1）证明：∵是和的等比中项，∴，，，，，所以是等差数列．（2）由（1）可得，（Ⅰ）知，数列的前项和；．（Ⅱ）因为，，∴，.【点睛】本题主要考查等差定义的应用，等差数列通项公式，数列求和的并项求和、裂项求和的应用，考查学生的计算能力，是中档题.19．如图所示，等腰梯形中，，，，为中点，与交于点，将沿折起，使点到达点的位置（平面）．（1）证明：平面平面；（2）若，试判断线段上是否存在一点（不含端点），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】(1)先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直证明面平面即可；(2)建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再利用向量所成角的关系式求出直线与平面所成角的正弦值，建立关系式，即可得出的值.【详解】（1）证明：连接，在等腰梯形中，，，为中点，∴四边形为菱形，∴，∴，，即，，且，平面，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）由（1）可知四边形为菱形，∴，在等腰梯形中，∴正三角形，∴，同理，∵，∴，∴．由（1）可知，，以为原点，，，分别为轴，轴，为轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，，，，， ∴，，，设，，设平面的一个法向量为，则，即，取，，得，∴，设直线与平面所成角为，，则，即，化简得：，解得，∴存在点为的中点时，使直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题主要考查的是线面垂直和面面垂直的证明，以及利用空间向量法求线面所成角，考查学生的分析问题、解决问题的能力，同时考查学生的计算能力，是中档题.20．2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定．草案提出，国家推行生活垃圾分类制度．为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：得分频数2515020025022510050 （1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求；（2）在（1）的条件下，市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于“的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：获赠的随机话费（单位：元）2040概率 现市民小王要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．附：①；②若，则，，，【答案】（1）（2）分布列见解析,【解析】(1)先求出，再根据正态分布的知识求出即可；(2)先求出的所有可能情况元，再求的的分布列及数学期望即可.【详解】（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得；又，，所以．（2）根据题意可以得出所得话费的可能值有20，40，60，80元，得20元的情况为低于平均值，概率，得40元的情况有一次机会获得40元，两次机会获得2个20元，概率，得60元的情况为两次机会，一次40元，一次20元，概率，得80元的情况为两次机会，都是40元，概率，所以变量的分布列为：20406080  所以其期望为．【点睛】本题主要考查的是正态分布的知识及离散型随机变量的分布列、数学期望问题，综合性强，考查学生的分析问题能力，是中档题.21．已知椭圆，四点，，，，恰有三点在椭圆上．（1）求的方程；（2）设、为椭圆在左、右焦点，是椭圆在第一象限上一点，满足，求面积的最大值．【答案】（1）（2）1【解析】(1)根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆上，把代入椭圆，即可求出椭圆方程；(2)由可得点坐标，设出直线方程，代入椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得三角形的高,由三角形面积公式及基本不等式可得结论.【详解】（1）∵椭圆，四点、、、 结合椭圆几何特征，可得、、在椭圆上，所以，，解得，∴椭圆的方程为．（2）由椭圆的方程可知：，，，，，由，即，由，解得，则点坐标为，设直线的方程为，，整理得，由得，则，，，，∴，．当且仅当，即时，取等号，∴面积的最大值1．【点睛】本题主要考查椭圆的性质，以及直线与椭圆的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式及基本不等式的应用，考查学生的计算能力，是难题.22．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）设函数，若存在不相等的实数，，使得，证明：．【答案】（1）见解析；（2）详见解析.【解析】（1）对函数进行求导得，再对分三种情况进行讨论；（2）先求出，再对进行求导研究函数的图象特征，当时，图象在上是增函数，不符合题；当时，再将问题转化为构造函数进行求解证明.【详解】（1）函数的定义域为.，因为，所以，①当，即时，由得或，由得，所以在，上是增函数， 在上是减函数；②当，即时，所以在上是增函数；③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函综上可知：当时在，上是单调递增，在上是单调递减；当时，在.上是单调递增； 当时在，上是单调递增，在上是单调递减. （2），，当时， ，所以在上是增函数，故不存在不相等的实数，，使得，所以. 由得，即，不妨设，则，要证，只需证，即证，只需证，令，只需证，即证，令，则，所以在上是增函数，所以，从而，故.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及证明问题，考查函数与方程思想、分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题.