2022-2023学年山东省德州市陵城区第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省德州市陵城区第一中学高二上学期期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省德州市陵城区第一中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．已知直线和互相平行，则实数（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据题意，结合两直线的平行，得到且，即可求解.【详解】由题意，直线和互相平行，可得且，即且，解得或.故选：C.2．若随机变量，且，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用正态密度曲线的对称性可得出，即可得解.【详解】由于随机变量，则，因此，.故选：A.3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A．30种 B．35种 C．42种 D．48种【答案】A【详解】本小题主要考查组合知识以及转化的思想.只在A中选有种，只在B中选有种，则在两类课程中至少选一门的选法有种.4．曲线与曲线的（    ）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等【答案】C【分析】判断出曲线为椭圆，分别计算他们的半焦距长、长半轴长、短半轴长、离心率可得答案.【详解】因为，所以，所以表示焦点在轴上的椭圆，长半轴长为，短半轴长为， 其半焦距，离心率为，椭圆中，因为，所以表示焦点在轴上的椭圆，长半轴长为，短半轴长为， 其半焦距为，离心率为，所以两条曲线的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不相等.故选：C.5．在空间四边形中，，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可表示出.【详解】.故选：C.6．已知抛物线，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足，则线段的中点到准线的距离等于（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】先求出抛物线准线方程，再根据焦半径求出段AB中点的横坐标，最后即可求出答案.【详解】抛物线，F为其焦点，，准线为，设，，所以，线段AB中点的横坐标为3，即线段的中点到y轴的距离为3，所以线段的中点到准线的距离等于4.故选：C.7．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】焦点三角形问题，可结合为三角形的中位线，判断：焦点三角形为直角三角形，并且有，，可由勾股定理得出关系，从而得到关系，从而求得渐近线方程.【详解】由题意知，，且点是线段的中点，点是线段的中点，为三角形的中位线故，故，由双曲线定义有由勾股定理有故则则，故故渐近线方程为：故选：D【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立【答案】B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】 ，故选：B【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立    二、多选题9．已知空间四点，则下列说法正确的是（    ）A． B．C．点O到直线的距离为 D．O，A，B，C四点共面【答案】ABC【解析】计算数量积判断A，求向量夹角判断B，利用向量垂直判断C，根据空间向量共面定理判断D．【详解】，，A正确；，B正确；，，所以，，所以点O到直线的距离为，C正确；，假设若O，A，B，C四点共面，则共面，设，则，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D错．故选：ABC．10．已知的展开式的第项与第项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（    ）A．展开式的奇数项的二项式系数的和为 B．展开式的第项的系数与二项式系数相等且最大C．展开式中不存在常数项 D．展开式中含项的系数为【答案】BD【分析】根据展开式第项与第项的二项式系数相等可求得；根据各项系数和，采用赋值法可求得，由此可得展开式的通项；由奇数项的二项式系数和为可知A错误；由展开式通项可得第项的系数，根据展开式共项可知第项的二项式系数最大，由此可确定B正确；分别令和，可求得的取值，由此可知CD正误.【详解】展开式的第项与第项的二项式系数相等，，则；令，则，解得：；展开式通项为：；对于A，展开式的奇数项二项式系数和为，A错误；对于B，展开式共有项，则二项式系数最大的项为第项，最大的二项式系数为；由通项可知：展开式第项系数为，B正确；对于C，令，解得：，则展开式第项为常数项，C错误；对于D，令，解得：，展开式中含项的系数为，D正确.故选：BD.11．已知圆上至多有一点到直线的距离为2，则实数m的取值可以是（    ）A．0 B．1 C．4 D．4.5【答案】CD【分析】由圆的方程可求圆心和半径及的范围，由题可得圆上的点到直线的最近距离大于等于2，求出圆心到直线的距离，可得，求出的取值范围即可.【详解】方程可化为，所以圆心为，半径，其中，∵圆上至多有一点到直线的距离为2，∴圆上的点到直线的最近距离大于等于2，其中圆心到直线的距离为，∴，解得，∴，则的取值可以是4或4.5．故选：CD．12．已知常数，点，动点M(不与A，B重合)满足：直线与直线的斜率之积为，动点M的轨迹与点A，B共同构成曲线C，则关于曲线C的下列说法正确的是（    ）A．当时，曲线C表示椭圆B．当时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆C．当时，曲线C表示双曲线，其渐近线方程为D．当且时，曲线C的离心率是【答案】BCD【解析】设，则，即曲线C的方程为，然后利用椭圆和双曲线的知识逐一判断即可.【详解】设，则，所以，即曲线C的方程为当且时，曲线C表示椭圆，故A错误当时，，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故B正确当时，曲线C表示双曲线，其渐近线方程为，故C正确当时，曲线C表示双曲线，其离心率为当时，曲线C表示椭圆，其离心率为，故D正确故选：BCD 三、填空题13．在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是________．【答案】160【分析】根据二项式系数之和可求得，再根据二项式的通项即可求得的系数.【详解】因为二项式系数之和为64，故有，得，二项式的通项为，令，得，所以.即的系数是.故答案为：160.14．已知，则________．【答案】-960【分析】将改为，利用二项式展开式的通项公式求出通项，令的指数为7即可.【详解】，其展开式的通项为，令得故答案为：-96015．在一平面直角坐标系中，已知，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为___________.【答案】【解析】平面直角坐标系中，沿轴将坐标平面折成的二面角后，在平面上的射影为，作轴，交轴于点，通过用向量的数量积转化求解距离即可.【详解】在直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角后，在平面上的射影为，作轴，交轴于点，所以,所以，所以,故答案为：16．已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，以a为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点.若(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为___________.【答案】【解析】过F作，利用点到直线距离可求出，再根据勾股定理可得，，由可得，即可建立关系求解.【详解】如图，过F作，则E是AB中点，设渐近线为，则，则在直角三角形OEF中，，在直角三角形BEF中，，，则，即，即，则，即，.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是分别表示出，，由建立关系. 四、解答题17．已知圆，直线.（1）若直线l平分圆C的周长，求实数k的值；（2）若直线l与直线的倾斜角互补，求圆C上的点到直线l的距离的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题可得圆心在直线l上，代入即可求出k；（2）由倾斜角互补可得，求出圆心到直线l的距离，则所求最小值为该距离减去半径.【详解】（1）若直线l平分圆C的周长，则圆心在直线l上，则，解得；（2）若直线l与直线的倾斜角互补，则，即，则直线，圆心到直线l的距离，圆C上的点到直线l的距离的最小值为.18．已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求含的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】(1)；(2)答案见解析.【详解】（1） （2）展开式中所有的有理项为19．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.问题：已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且___________.（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且，求直线l的方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）若选择条件①，利用焦半径公式求，若选择条件②，代入点，求；（2）直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示，求.【详解】（1）若选择条件①，根据焦半径公式可知，解得：，所以抛物线方程是；若选择条件②，即，代入抛物线方程，得，所以抛物线方程是；（2）抛物线的焦点，当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，设直线，与抛物线方程联立，化简为，，，解得：，所以直线的方程是或20．如图，在直四棱柱中，四边形为平行四边形，，直线与平面所成角的正弦值为.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由条件可得，然后建立空间直角坐标系，设，算出平面的法向量，然后由条件可求出，然后可算出答案；（2）算出平面的法向量，然后可算出答案.【详解】（1）因为，所以，所以如图建立空间直角坐标系，设，则设平面的法向量为则，即，所以可取所以，解得所以，所以点到平面的距离为（2）设平面的法向量为，则，即，可取所以，由图可得平面与平面的夹角为锐角所以平面与平面的夹角的余弦值为21．根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为，求的概率分布及数学期望；（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率，并根据的值解释该试验方案的合理性.（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）【答案】（1）分布列见解析，；（2），答案见解析.【解析】（1）先分析的可取值，然后根据超几何分布的相关知识求解出的概率分布以及数学期望；（2）先分析新药无效的情况：中人痊愈、中人痊愈，由此求解出无效的概率，并分析试验方案的合理性.【详解】解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，，∴X的分布列如下：X012P ．（2）新药无效的情况有：中人痊愈、中人痊愈，∴故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理.【点睛】易错点睛：超几何分布和二项分布的区别与联系：（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题；（2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题；（3）当调查研究的样本容量很大时，在有放回地抽取和不放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似将超几何分布认为是二项分布.22．在圆内有一点，动点M为圆A上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点N，设点N的轨迹为C.（1）求轨迹C的方程；（2）若直线与轨迹C交于不同两点E，F，轨迹C上存在点P，使得以为邻边的四边形为平行四边形(O为坐标原点)，求证：的面积为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）依题意，，即点N的轨迹是以，为焦点的椭圆，然后可得答案；（2）设，联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理可得，，，由四边形为平行四边形可得点的坐标为，然后由点在椭圆上可得，然后算出和点到直线的距离，然后利用可证明的面积为定值.【详解】（1）依题意，所以点N的轨迹是以，为焦点的椭圆所以，即，所以所以轨迹C的方程为（2）由可得设，则所以因为四边形为平行四边形所以，即点的坐标为因为点在椭圆上所以，整理得因为直线与轨迹C交于不同两点E，F，所以，即因为点到直线的距离为所以故的面积为定值，定值为【点睛】方法点睛：对于解析几何中直线与圆锥曲线相交的问题，常利用设而不求法解决，即设出交点的坐标，联立直线与圆锥曲线的方程，然后韦达定理可得出两坐标的横纵坐标之和、之积.