2022-2023学年山东省德州市第一中学高二上学期1月期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省德州市第一中学高二上学期1月期末数学试题

一、单选题

1．已知向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由向量平行关系可求得的值，进而求得结果.

【详解】，，，.

故选：A.

2．若直线与直线互相垂直，则a的值为（    ）

A． B．1

C． D．2

【答案】B

【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；

【详解】解：因为直线与直线互相垂直，所以

解得；

故选：B

3．某夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】不相邻问题用插空法，先排好小吃类店铺，然后将饮料类店铺进行插空即可.

【详解】先将6个小吃类店铺进行全排列，有种排法，再从这6个小吃类店铺形成的7个空中选3个进行排列，有种排法，故排出的摊位规划总个数为．

故选：D

4．某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有1次通过的概率是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式求解．

【详解】解：∵某人通过普通话二级测试的概率是，他连线测试3次，

∴其中恰有1次通过的概率是：

p．

故选C．

【点睛】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式的合理运用．

5．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

【答案】C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.

6．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是（    ）

A．0.013 B．0.04 C．0.002 D．0.003

【答案】A

【分析】设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3,利用全概率公式P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)即得解

【详解】设事件A为“任取一件为次品”，

事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3，

则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，

易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.

∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.

故选：A

7．椭圆C：的焦点为，，点P在椭圆上，若，则的面积为（    ）

A．48 B．40 C．28 D．24

【答案】D

【分析】根据给定条件结合椭圆定义求出，再判断形状计算作答.

【详解】椭圆C：的半焦距，长半轴长，由椭圆定义得，

而，且，则有是直角三角形，，

所以的面积为24.

故选：D

8．已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用面积相等求出.设，得到.利用几何法分析出，即可求出的最小值.

【详解】圆：化为标准方程：，其圆心,半径.

过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：

在△PAC中,有，即，变形可得：.

设，则.

所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.

而的最小值为点C到直线的距离，即，

所以.

故选：B

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则正整数x的值是1

【答案】ABC

【分析】选项A，根据排列数公式直接判断；选项B、D，根据组合数公式及性质直接求解；选项C，根据二项式系数和公式，奇数项与偶数项的二项式系数和各占一半得出结果.

【详解】选项A，因为，故A正确；

选项B，，故B正确；

选项C，由，

，得，故C正确；

选项D，因为，所以或，即或6，故D错误.

故选：ABC.

10．已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是（    ）

A．的离心率为

B．的标准方程为

C．的渐近线方程为

D．直线经过的一个焦点

【答案】ABD

【分析】A选项，求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式求出，从而得到，可以计算出离心率，得到双曲线标准方程及渐近线方程，判断出ABC选项，

在直线上，D正确.

【详解】由题意得：双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，即，

则，解得：，

则，解得：，

所以的离心率为，A正确；

的标准方程为，B正确；

的渐近线方程为，C错误；

在直线上，故经过的一个焦点，D正确.

故选：ABD

11．连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（    ）

A．事件B与事件C互斥

B．

C．事件A与事件B独立

D．记C的对立事件为，则

【答案】BCD

【分析】对A，根据事件B包含事件C判断即可；

对B，根据概率的性质，用1减去全为正面和全为反面的情况概率即可；

对C，根据相互独立事件的公式判断即可；

对D，先求得，再利用条件概率公式求解即可

【详解】选项A：显然B发生的情况中包含C，故可同时发生，错误；

选项B：，正确；

选项C：，

故A与B独立，正确；

选项D：，，正确；

故选：BCD．

12．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连结PC，则在翻折过程中，下列说法正确的是（　　）

A．PC与平面BCD所成的最大角为45°

B．存在某个位置，使得PB⊥CD

C．当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，PC

D．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为

【答案】BC

【分析】A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP＝OC．可得PC与平面BCD所成的角为∠PCO，

当PC时∠PCO＝60°＞45°，即可判断；

B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，可得PB⊂平面PBQPB⊥CD，即可判断；

C，当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，即可得△POC为等腰直角三角形，即可判断；

D，若B到平面PDC的距离为，则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．

【详解】解：选项A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP＝OC．

由题可知，△ABD和△BCD均为等边三角形，

由对称性可知，在翻折的过程中，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，

当PC时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO＝60°＞45°，即选项A错误；

选项B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，有PQ⊥平面BCD，BQ⊥CD，∴PQ⊥CD，

又BQ∩PQ＝Q，BQ、PQ⊂平面PBQ，∴CD⊥平面PBQ，

∵PB⊂平面PBQ，∴PB⊥CD，即选项B正确；

选项C，当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，

∵PB＝PD，∴OP⊥BD，

∵平面PBD∩平面BCD＝BD，∴OP⊥平面BCD，∴OP⊥OC，

又OP＝OC，∴△POC为等腰直角三角形，

∴PCOP，即选项C正确；

选项D，∵点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，

∴若B到平面PDC的距离为，则平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，

则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．

故选：BC．

三、填空题

13．设X是一个离散随机变量，其分布列为：

则实数q的值为______.

【答案】##

【分析】根据概率和为1，结合概率的范围列式求解即可.

【详解】由离散型随机变量分布列的性质，知，故，

因为，解得.

故答案为：

14．若随机变量，且，则_______．

【答案】

【分析】由，得，两个式子相加，根据正态分布的对称性和概率和为1即可得到答案．

【详解】由随机变量，且，根据正态分布的对称性得且正态分布的概率和为1，得.

故答案为0.15

【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，属于基础题．

15．的展开式中，二项式系数最大的项的系数是___________.

【答案】

【分析】利用二项式定理的展开式二项式系数的性质求解即可.

【详解】解：因为的展开式有项，

所以第项的二项式系数最大，

所以的展开式中的二项式系数最大的项为.

所以，的展开式中，二项式系数最大的项的系数是.

故答案为：

16．已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为_____.

【答案】8

【解析】根据题目意思将面积用和面积表示得到，结合即可求解.

【详解】解：不妨设直线的斜率，过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，

过作于，

由，得，，

，

，

由，

又，

所以，

.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．

（1）若题目已给出抛物线的方程(含有未知数)，那么只需求出即可；

（2）若题目未给出抛物线的方程：

a.对于焦点在轴上的抛物线的标准方程可统一设为的正负由题设来定；

b.焦点在轴上的抛物线的标准方程可设为，这样就减少了不必要的讨论．

四、解答题

17．已知的展开式中各项的二项式系数之和为16．

(1)求的值及展开式中各项的系数之和；

(2)求展开式中的常数项．

【答案】(1)；展开式中各项的系数之和为81.

(2)24

【分析】（1）根据二项式系数的性质可求出，利用赋值法可求出展开式中各项的系数之和；

（2）利用通项公式可求出结果.

【详解】（1）由题意知，,

解得．

在展开式中，令x＝1，得展开式中各项的系数之和为.

（2）展开式的通项为

令，得，

所以.

即展开式中的常数项为24．

18．某班有名班干部，其中男生人，女生人，任选人参加学校的义务劳动．

（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；

（2）设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和．

【答案】（1）；（2），．

【解析】（1）求出总的选法，男生甲或女生乙被选中的选法，由此能求出男生甲或女生乙被选中的概率．

（2）求出女生乙被选中的概率，男生甲、女生乙都被选中的概率，即可得出结论.

【详解】（1）某班从名班干部(男生人、女生人)中任选人参加学校的义务劳动，总的选法有种，

男生甲或女生乙都没有被选中的选法：

则男生甲或女生乙被选中的选法有种，

∴男生甲或女生乙被选中的概率为；

（2）总的选法有种，男生甲被选中的选法有种，∴，

男生甲被选中、女生乙也被选中选法有种，∴，

∴在男生甲被选中的前提下，女生乙也被选中的概率为．

19．已知抛物线上一点到焦点的距离为4.

(1)求实数的值；

(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可知，由此即可求出答案；

（2）由（1）可知焦点坐标为，则可设直线为，联立直线与抛物线，则可得，再利用，即可求出直线.

【详解】（1）由题意可知：，

解得：.

（2）由（1）知抛物线，则焦点坐标为，

由题意知直线斜率不为0，设直线为：，

联立直线与抛物线：，消得：，

则

则

所以，

解得，

所以直线为：或

20．在四棱锥中，底面．

(1)证明：；

(2)求PD与平面所成的角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；

（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，

因为，

所以四边形为等腰梯形，

所以，

故，，

所以，

所以，

因为平面，平面，

所以，

又，

所以平面，

又因为平面，

所以；

（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

，

则，

则，

设平面的法向量，

则有，可取，

则，

所以与平面所成角的正弦值为.

21．在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.

(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的

分布列与数学期望E(X).

(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)

【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．

【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；

②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.

【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；

所以总检测次数为20次；

②由题意，可以取20，30，

，，

则的分布列:

所以；

（2）由题意，可以取25，30，

两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，

则.

22．已知椭圆的左右顶点为A、B，右焦点为F，C为短轴一端点，的面积为，离心率为．

(1)求椭圆的标准方程：

(2)过点F的直线交椭圆于M，N两点（异于A，B），直线AM与BN的交点为Q.

①求证：Q点在定直线上；

②求证：射线FQ平分∠MFB.

【答案】(1)

(2)①Q点在定直线上，证明见解析；②证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；

（2）①设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程，进而表达出直线，的方程，联立可得交点横坐标，进而结合韦达定理化简即可；

②设，的倾斜角分别为，当时，计算各点坐标，结合斜率与倾斜角的关系可得，当时，设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得坐标，进而可得，再根据正切的二倍角公式证明即可.

【详解】（1）由题意，，故，解得，故椭圆的方程为.

（2）①设直线的方程为，，联立可得，故，，所以.

又直线的方程为，直线的方程为，联立可得，解得，即Q点在定直线上.

②设，的倾斜角分别为，当时，轴，此时不妨设，则直线的方程，代入可得，即，故直线的斜率为１，倾斜角，此时射线FQ平分∠MFB，同理时射线FQ平分∠MFB.

当时，设由斜率与倾斜角的关系有，，此时直线的方程，联立椭圆方程有，由韦达定理可得，即，代入可得，故直线的斜率为，即，由倾斜角的范围可得，故射线FQ平分∠MFB.