2020-2021学年上海市第二中学高一上学期期末数学试题 （解析版）

这是一份2020-2021学年上海市第二中学高一上学期期末数学试题 （解析版），共12页。试卷主要包含了填空题.等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年上海二中高一（上）期末数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．若角θ终边过点P（4，m），且sinθ＝，则m等于　 　．
2．幂的基本不等式是：当a＞1，s＞0时，as　 　1恒成立．
3．已知函数f（x）＝x2+x﹣1的两个零点分别为x1和x2，则x12x2+x1x22的值为　 　．
4．函数，则f﹣1（3）＝　 　．
5．函数y＝f（x）＝ax+1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，则点A坐标是　 　．
6．关于x的方程有实数根，则实数a的取值范围为　 　．
7．若loga4＝m，loga5＝n，则lgam+2n＝　 　．
8．已知函数f（x）＝，则f（log32）＝　 　．
9．不等式的解集是　 　．
10．若对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　 　．
11．设k∈{﹣2，﹣1，，，2}，若x∈（﹣1，0）∪（0，1），且xk＞|x|，则k取值的集合是　 　．
12．若函数f（x）在定义域D内某区间 I上是增函数，且在 I上是减函数，则称y＝f（x）的在 I上是“弱增函数”．已知函数g（x）＝x2+（4﹣m）x+m的（0，2]上是“弱增函数”，则实数m的值为　 　．
二.、选择题（共4小题）.
13．中国银行最新存款利率一年期为：1.75%．小明于2020年存入本金100000（元），计算到2030年可获得利息约18945（元），其计算实质采用的是（　　）模型．
A．一次函数 B．二次函数 C．指数函数 D．对数函数
14．若，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
15．以下命题正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）的图象与垂直于x轴的直线有且仅有一个交点
B．f（0）＝0是函数y＝f（x）是奇函数的充要条件
C．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上有零点，则f（a）f（b）＜0
D．函数是既奇又偶函数
16．把定义域为[0，+∞）且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为“Ω函数”：（1）对任意的x∈[0，+∞），总有f（x）≥0；（2）若x≥0，y≥0，则有f（x+y）≥f（x）+f（y）成立；下列判断错误的是（　　）
A．若f（x）为“Ω函数”，则f（0）＝0
B．若f（x）为“Ω函数”，则f（x）在[0，+∞）上一定是增函数
C．函数在[0，+∞）上是“Ω函数”
D．函数g（x）＝[x]在[0，+∞）上是“Ω函数”（[x]表示不大于x的最大整数）
三.、解答题
17．已知函数y＝f（x）＝loga（2﹣2x）﹣loga（x+4），其中a＞1．
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）解不等式f（x）＞0．
18．国际视力表值（又叫小数视力值．用V表示，范围是[0.1，1.5]）和我国现行视力表值（又叫对数视力值，用L表示，范围是[4.0，5.2]）的换算关系式为L＝5.0+1gV．
（1）请很据此关系式将下面视力对照表补充完整．
V
1.5
②
0.4
④
L
①
5.0
③
4.0
（2）甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5．乙的小数视力值是甲的2倍．求乙的对数视力值．（所求值均精确到小数点后面一位数字．参考数据：1g2＝0.3010，1g3＝0.4771）
19．已知函数，x∈R．
（1）判断函数y＝f（x）的单调性，并给予证明；
（2）求函数y＝f（x）的值域．
20．已知幂函数f（x）＝（m∈Z）在（0，+∞）是单调减函数，且为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论F（x）＝af（x）+（a﹣2）x5•f（x）的奇偶性，并说明理由．
21．已知函数y＝f（x）＝4x﹣2x+1+k（x≥﹣1），y＝g（x）＝f（x）+f（﹣x）．
（1）若函数y＝f（x）在区间[0，1]上有零点，求实数k的取值范围；
（2）写出y＝g（x）的定义域，并求y＝g（x）的最小值；
（3）若对于任意y＝g（x）的定义域中的实数x1、x2、x3、x4、x5，g（x5）＞g（x1）+g（x2）+g（x3）+g（x4）恒成立，求实数k的取值范围．


参考答案
一.、填空题（共12小题）.
1．若角θ终边过点P（4，m），且sinθ＝，则m等于　3　．
解：角θ的终边经过点P（4，m），
则r＝＝，
又sinθ＝＝，
解得m＝3．
故答案为：3．
2．幂的基本不等式是：当a＞1，s＞0时，as　＞　1恒成立．
解：当a＞1时，函数y＝ax在R上单调递增，
由s＞0，
所以as＞a0＝1，
故as＞1恒成立．
故答案为：＞．
3．已知函数f（x）＝x2+x﹣1的两个零点分别为x1和x2，则x12x2+x1x22的值为　1　．
解：∵f（x）＝x2+x﹣1的两个零点分别为x1和x2，
∴x1和x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣1，
∴x12x2+x1x22＝x1•x2•（x1+x2）＝1．
故答案为：1．
4．函数，则f﹣1（3）＝　　．
解：因为函数，所以，即，
又因原函数的值域为{y|y≠0}，
所以函数y＝f（x）的反函数为，
所以f﹣1（3）＝．
故答案为：．
5．函数y＝f（x）＝ax+1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，则点A坐标是　（﹣1，﹣1）　．
解：当x＝﹣1时，f（x）＝a0﹣2＝﹣1，
故函数f（x）恒过定点A（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
6．关于x的方程有实数根，则实数a的取值范围为　（﹣，5）　．
解：设y＝2021x，则y的值域为（0，+∞），
所以2021x＝有实数根⇔＞0，
即＞0，
∴（3a+2）（a﹣5）＜0，
解得a∈（﹣，5），
故答案为：（﹣，5）．
7．若loga4＝m，loga5＝n，则lgam+2n＝　2　．
解：∵loga4＝m，loga5＝n，
∴am＝4，an＝5，
∴am+2n＝am•（an）2＝4×25＝100，
∴lgam+2n＝lg100＝2．
故答案为：2．
8．已知函数f（x）＝，则f（log32）＝　　．
解：根据题意，函数f（x）＝，而log32＞0，
则f（log32）＝f（﹣log32）＝f（log3）＝＝，
故答案为：．
9．不等式的解集是　（1，+∞）　．
解：根据题意，设f（x）＝+2x+log3x，其定义域为（0，+∞），
则f（x）在（0，+∞）为增函数且f（1）＝1+2+0＝3，
不等式即f（x）＞f（1），其解集为（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）
10．若对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　a＞4　．
解：若对任意x∈R恒成立，
即不等式ax2﹣4x+a﹣2＞1对任意x∈R恒成立，
即不等式ax2﹣4x+a﹣3＞0对任意x∈R恒成立，
a＝0时，显然不成立，
a≠0时，，
解得：a＞4，
故答案为：a＞4．
11．设k∈{﹣2，﹣1，，，2}，若x∈（﹣1，0）∪（0，1），且xk＞|x|，则k取值的集合是　{﹣2，}，　．
解：令f（x）＝xk，由f（x）＞|x|，可知，
幂函数f（x）的图象在y＝|x|的图象上方，
如果函数f（x）为奇函数，则第三象限有图象，
所以函数f（x）不是奇函数，
所以k＝﹣1，，不符合，
由于x∈（0，1），xk＞x，整理得1＞x1﹣k，
所以1﹣k＞0，所以k＜1，故k＝2不符合，
所以k＝﹣2，，
即{﹣2，}，
故答案为：{﹣2，}，
12．若函数f（x）在定义域D内某区间 I上是增函数，且在 I上是减函数，则称y＝f（x）的在 I上是“弱增函数”．已知函数g（x）＝x2+（4﹣m）x+m的（0，2]上是“弱增函数”，则实数m的值为　4　．
解：由题意可知g（x）＝x2+（4﹣m）x+m在（0，2]上是增函数，
∴≤0，即m≤4．
令h（x）＝＝x++4﹣m，则h（x）在（0，2]上是减函数，
（1）当m≤0时，h（x）在（0，2]上为增函数，不符合题意；
（2）当m＞0时，由对勾函数性质可知h（x）在（0，]上单调递减，
∴≥2，即m≥4．
又m≤4，故m＝4．
故答案为：4．
二.选择题
13．中国银行最新存款利率一年期为：1.75%．小明于2020年存入本金100000（元），计算到2030年可获得利息约18945（元），其计算实质采用的是（　　）模型．
A．一次函数 B．二次函数 C．指数函数 D．对数函数
解：由本金为100000（元），利率一年期为：1.75%，
得1年后的本息为100000（1+1.75%），
2年后的本息为100000（1+1.75%）2，
…
10年后的本息为100000（1+1.75%）10，
则到2030年可获得利息约为100000（1+1.75%）10﹣100000≈18945（元）．
该计算的实质采用的是指数函数模型．
故选：C．
14．若，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
解：因为，所以，
当a＞1时，，不成立，舍去．
当0＜a＜1时，对数函数是减函数，所以．
故选：C．
15．以下命题正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）的图象与垂直于x轴的直线有且仅有一个交点
B．f（0）＝0是函数y＝f（x）是奇函数的充要条件
C．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上有零点，则f（a）f（b）＜0
D．函数是既奇又偶函数
解：对于A，当函数y＝f（x），在某处无定义时，图象与垂直于x轴的直线无交点，则A错；
对于B，f（0）＝0，f（x）未必是奇函数，如f（x）＝；
f（x）是奇函数，未必有f（0）＝0，如f（x）＝，则B错；
对于C，举反例，f（x）＝x2，在[﹣1，1]上有零点，但f（﹣1）f（1）＞0；则C错；
对于D，x2﹣4≥0，4﹣x2≥0⇒x2＝4，x＝﹣2或2则f（x）＝0 （x∈{﹣2，2}）⇒f（x）既是奇函数也是偶函数，则D对．
故选：D．
16．把定义域为[0，+∞）且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为“Ω函数”：（1）对任意的x∈[0，+∞），总有f（x）≥0；（2）若x≥0，y≥0，则有f（x+y）≥f（x）+f（y）成立；下列判断错误的是（　　）
A．若f（x）为“Ω函数”，则f（0）＝0
B．若f（x）为“Ω函数”，则f（x）在[0，+∞）上一定是增函数
C．函数在[0，+∞）上是“Ω函数”
D．函数g（x）＝[x]在[0，+∞）上是“Ω函数”（[x]表示不大于x的最大整数）
解：对于A，由f（x）定义知，f（0）≥0，再令x＝y＝0，则有f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0，于是f（0）＝0，则A对；
对于B，对任意x≥0，y≥0，且x＜y，y＝（y﹣x）+x，则有f（y）≥f（y﹣x）+f（x），于是f（y）﹣f（x）＝f（y﹣x）≥0；则B对；
对于C，由于g（x）在[0，+∞）上不是增函数，所以不是，“Ω函数“，则C错；
对于D，下面证明g（x）是“Ω函数“：
（1）对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）＝[x]≥0；
（2）若x≥0，y≥0，设x＝m+p，y＝n+q，（m，n∈N，p，q∈[0，1），x+y＝m+n+（p+q），
则有f（x+y）≥m+n＝f（x）+f（y）成立；
所以g（x）＝[x]在[0，+∞）上是“Ω函数”，则D对；
故选：C．
三.解答题
17．已知函数y＝f（x）＝loga（2﹣2x）﹣loga（x+4），其中a＞1．
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）解不等式f（x）＞0．
解：∵函数y＝f（x）＝loga（2﹣2x）﹣loga（x+4），其中a＞1，
∴2﹣2x＞0，且 x+4＞0，求得﹣4＜x＜1，可得函数的定义域为（﹣4，1）．
（2）不等式f（x）＞0，即loga（2﹣2x）＞loga（x+4），
即 2﹣2x＞x+4＞0，求得﹣4＜x＜﹣，
故不等式的解集为 ．
18．国际视力表值（又叫小数视力值．用V表示，范围是[0.1，1.5]）和我国现行视力表值（又叫对数视力值，用L表示，范围是[4.0，5.2]）的换算关系式为L＝5.0+1gV．
（1）请很据此关系式将下面视力对照表补充完整．
V
1.5
②
0.4
④
L
①
5.0
③
4.0
（2）甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5．乙的小数视力值是甲的2倍．求乙的对数视力值．（所求值均精确到小数点后面一位数字．参考数据：1g2＝0.3010，1g3＝0.4771）
解：（1）L＝5.0+1gV．
①V＝1.5时，L＝5.0+lg1.5＝5.0+0，4771﹣0.3010≈5.2．
②L＝5.0，5.0＝5.0+lgL，L＝1；
③V＝0.4时，L＝5.0+lg0.4＝5.0+2×0.3010﹣1≈4.6．
④L＝4.0，4.0＝5.0+lgL，L＝0.1；
（2）甲的对数视力值为4.5．则4.5＝5.0+1gV，
解得v＝10﹣0.5≈0.32，
则乙的小数视力值为：0.64，
L＝5.0+lg0.64＝5.0﹣0.2≈4.8．
19．已知函数，x∈R．
（1）判断函数y＝f（x）的单调性，并给予证明；
（2）求函数y＝f（x）的值域．
解：（1）y＝，f（x）在R上单调递减，证明如下：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：
＝，
∵x1＜x2，
∴，，且，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在R上单调递减；
（2）∵2x＞0，∴3+2x＞3，
∴，
∴，
∴y＝f（x）的值域为（﹣1，1）．
20．已知幂函数f（x）＝（m∈Z）在（0，+∞）是单调减函数，且为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论F（x）＝af（x）+（a﹣2）x5•f（x）的奇偶性，并说明理由．
解：（1）由幂函数f（x）＝（m∈Z）在（0，+∞）是单调减函数，
得：m2﹣2m﹣3＜0⇒﹣1＜m＜3，又m∈z，∴m＝0或1或2，
m＝0时f（x）＝x﹣3；m＝1时f（x）＝x﹣4，m＝2时f（x）＝x﹣3，
又函数是偶函数，∴f（x）＝x﹣4．
（2）F（x）＝a•x﹣4+（a﹣2）x，
当a＝0时，F（x）＝﹣2x，∵F（﹣x）＝﹣F（x），∴函数是奇函数；
当a＝2时，F（x）＝，∵F（﹣x）＝F（x），∴函数是偶函数；
当a≠0且a≠2时，F（1）＝2a﹣2，F（﹣1）＝2，
F（1）≠±F（﹣1），∴函数对∀x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），F（﹣x）＝F（x）不成立，F（﹣x）＝﹣F（x）也不成立，
∴函数F（x）是非奇非偶函数．
21．已知函数y＝f（x）＝4x﹣2x+1+k（x≥﹣1），y＝g（x）＝f（x）+f（﹣x）．
（1）若函数y＝f（x）在区间[0，1]上有零点，求实数k的取值范围；
（2）写出y＝g（x）的定义域，并求y＝g（x）的最小值；
（3）若对于任意y＝g（x）的定义域中的实数x1、x2、x3、x4、x5，g（x5）＞g（x1）+g（x2）+g（x3）+g（x4）恒成立，求实数k的取值范围．
解：（1）设t＝2x（1≤t≤2），所以f（t）＝t2﹣2t+k＝（t﹣1）2+k﹣1，
f（t）min＝f（0）＝k﹣1，f（x）max＝f（2）＝k，
由于y＝f（x）有零点，可得f（t）min≤0≤f（t）max，
即k﹣1≤0≤k，解得0≤k≤1，
所以k的取值范围是[0，1]；
（2）由x≥1且﹣x≤﹣1，得﹣1≤x≤1，所以g（x）的定义域为[﹣1，1]；
g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝4x+4﹣x﹣2（2x+2﹣x）+2k
＝（2x+2﹣x）2﹣2（2x+2﹣x）+2k﹣2＝（2x+2﹣x﹣1）2+2k﹣3，
因为2x+2﹣x≥2（当且仅当x＝0时取得等号），
所以g（x）min＝2k﹣2；
（3）对于任意y＝g（x）的定义域中的实数x1、x2、x3、x4、x5，
g（x5）＞g（x1）+g（x2）+g（x3）+g（x4）恒成立，
可得g（x）min＞4g（x）max，
由（2）可得g（x）min＝g（0）＝2k﹣2，g（x）max＝g（1）＝2k﹣，
所以2k﹣2＞4（2k﹣），解得k＜，
所以k的取值范围是（﹣∞，）．