2020-2021学年上海市大同中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年上海市大同中学高一上学期期末数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年上海市大同中学高一上学期期末数学试题  一、单选题1．如果，那么下列不等式中成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】取特殊值可判断A,B选项，由函数在上为增函数可判断选项C，由的符号不定，则的符号不定，可判断D，从而得出答案.【详解】选项A中，取，则，所以A 不正确.选项B中，取，则，所以B 不正确.选项C中，由函数在上为增函数，由，则有成立，所以C正确.选项D中，由，因为，，则.所以，即，所以D不正确.故选：C2．函数f（x）=x–3+ex的零点所在的区间是（    ）A．（0，1） B．（1，3） C．（3，4） D．（4，+∞）【答案】A【分析】根据零点的性质，依次验证每个选项即可得解.【详解】,,,所以函数 在区间上有零点.故选A.【点睛】本题考查的是函数零点存在性定理，是基础题.3．设是定义在上的偶函数，且在上是严格减函数，，则的解集为（     ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数为偶函数可将不等式化为，即可利用单调性求解.【详解】是定义在上的偶函数，，则不等式为，则，在上是严格减函数，，解得或，又定义域为，故不等式的解集为.故选：C.【点睛】本题考查利用偶函数的性质解不等式，将不等式化为利用单调性求解是解题的关键.4．定义，及表示不大于的最大整数，存在函数满足，对任意的都有（     ）A． B．C． D．【答案】D【分析】取，代入可判断A、B；取，代入可判断C；令，利用换元法可判断D.【详解】对于A，取，，取时，，矛盾，故A不正确；对于B，取，，取时，，矛盾，故B不正确；对于C，取时，，取时，，矛盾，故C不正确；对于D，令，（），，即，，所以，故D正确.故选：D  二、填空题5．已知全集，集合，则_____________.【答案】【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合.【详解】已知全集，集合，因此，.故答案为：.6．设，，则是的______________条件（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空）【答案】充分非必要【分析】利用集合间的关系判断充分条件、必要条件即可.【详解】A是B的真子集，故是的充分非必要条件故答案为：充分非必要7．已知关于的等式的两根为、，则|______________.【答案】【分析】用韦达定理求解即可【详解】故答案为：8．已知函数的图像恒过定点，则的坐标为_____________.【答案】【分析】由过定点（0,1），借助于图像平移即可.【详解】过定点（0,1），而可以看成的图像右移3个单位，再下移2个点位得到的，所以函数的图像恒过定点即A故答案为：【点睛】指数函数图像恒过（0,1），对数函数图像恒过（1,0）.9．不等式，的解集为______________.【答案】【分析】移项通分后不等式可转化为一元二次不等式，计算求解即可.【详解】原不等式等价于即，因为，所以，即，解得：或.故答案为：.10．设、为正数，且，则的最小值为_____________.【答案】4【分析】基本不等式中“1的代换”求最值.【详解】因为、为正数，且，所以,当且仅当a=b=1时取等号即的最小值为4.故答案为：4【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”(1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．11．函数的严格增区间是_____________.【答案】【分析】根据的解析式，可得为奇函数，当时，，不妨令x>0，设，根据对勾函数的性质，可求得的单调减区间，可得的单调增区间，综合分析，即可得答案.【详解】因为，定义域为R，所以，即在R上为奇函数，根据奇函数的性质可得，在y轴两侧单调性相同，当x=0时，，当时，，不妨令x>0，设，根据对勾函数的性质可得，当上单调递减，证明如下：在上任取，且，则=，因为，所以，所以，即，所以在上为减函数，所以在上为增函数，当时，，，，又，所以在为增函数根据奇函数的性质，可得在也为增函数，所以在 上为严格增函数，故答案为：【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的奇偶性、单调性，并灵活应用，结合对勾函数的性质求解，考查分析理解，计算证明的能力，属中档题.12．函数的值域是______________.【答案】；【分析】将函数转化为，然后利用指数函数的单调性求解.【详解】函数，因为，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以的值域是，故答案为：13．函数的最大值为3，则的取值范围为______________.【答案】【分析】将函数化为分段式，再根据函数图象求得参数范围.【详解】当时，；当时，；当时，；所以函数式可化为 函数图象如图所示：因为 时最大值为3，又当时，，当时，；由图知， 故答案为：14．己知四边形为边长为1的正方形，轴，某一直线与正方形相交，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点部分的面积记为，则将表示为的函数，其解析式为______________.【答案】【分析】讨论当直线在的右侧时，利用三角形的面积公式可求解；当直线在的左侧时，利用间接法即可求解.【详解】讨论当直线在的右侧时，即直线与正方形的交点在时，当时，直线的左侧为三角形，此时，当直线与正方形的交点在时，即，直线的左侧为五边形，，所以表示为的函数解析式为，故答案为：15．已知函数若且，则的最小值为______________.【答案】1【分析】画出函数图象，可得，，，则可得出最值.【详解】作出的图象如图所示，若且，可得，，，，即，，当时，取得最小值为1，此时，满足题意.故答案为：1.【点睛】本题考查函数与方程的应用，解题的关键是利用函数图象得出，，然后表示出.16．设，，或，若，且关于的方程无实数解，则实数的取值范围为_____________.【答案】【分析】根据题意得只需寻找使得定义域为上的函数满足，方程无实数解的函数，进而根据数形结合思想即可得答案.【详解】解：根据题意得或表示的集合如图所示，因为若，且关于的方程无实数解，即构造定义域为上的函数使得时，方程无实数解所以函数的图象上的点构成的集合可以是以下几种情况：1），当是图1时，方程无实数解，则； 2），当是图2时，方程无实数解，则； 3），当是图3时，方程无实数解，则.此外，还有其他情况，但均与这三类问题相类似.综上，当，且关于的方程无实数解，则实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题解题的关键在于根据已知条件将问题转化为寻找定义域为上的函数使其满足，关于的方程无实数解的函数，进而求解.考查分类讨论思想，是中档题. 三、解答题17．判断函数的单调性并说明理由.【答案】单调递增【分析】根据单调函数运算性质即可判断结果.【详解】函数是增函数；因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，则由单调函数的运算性质可知，函数是增函数.18．已知，，，.（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，求函数的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分、两种情况讨论，分析二次函数在区间上的单调性，由此可求得函数在区间上的最小值；（2）分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值.【详解】（1）当时，，其中.①当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，；②当时，函数在区间上单调递增，此时，.综上所述，；（2）当时，，其中.①当时，函数在区间上单调递增，；②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，；③当时，函数在区间上单调递减，所以，.综上所述，.【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.19．设（、为实常数）.（1）当时，证明：不是奇函数；（2）当，时，判断并证明函数的奇偶性.【答案】（1）证明见解析；（2）奇函数，证明见解析.【分析】（1）证明不是奇函数，可用特殊值法；如证明： 不是奇函数；（2）利用函数奇偶性定义判断即可.【详解】（1），，，所以不是奇函数； （2）当，时，是奇函数，，定义域为，关于原点对称，，所以函数为奇函数.20．已知.（1）若，求的取值范围；（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用对数的运算法则化简，求解对数不等式.注意化简前保证真数大于零.（2）分离参数，利用方程有解，构造函数，求导，分析函数单调性，求出最值，得到的取值范围.【详解】（1）则故的取值范围为.（2）则设当时，当时，且时，故则故的取值范围为：【点睛】利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.21．若存在常数，使得对定义域内的任意、，都有成立，则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”.（1）若函数是“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；（2）判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若是定义在上的“利普希兹条件函数”，且，求最小的实数，使得对任意的、都有.【答案】（1）；（2）不是，理由见解析；（3）.【分析】（1）由题中定义可得，化简得出，求出的取值范围，由此可求得的最小值；（2）取，，利用题中定义得出，从而可得出结论；（3）由题意可知，对任意的、且，，可得，利用题中定义得出，由此可求得实数的最小值.【详解】（1）任取、且，，所以，，、，则，，由于，则，所以，，因此，，即的最小值为；（2）函数不是“利普希兹条件函数”，理由如下：取，，则，而，此时，，因此，函数不是“利普希兹条件函数”；（3）由于是定义在上的“利普希兹条件函数”，对任意的、且，，则，根据“利普希兹条件函数”的定义可得，.因此，实数的最小值为.【点睛】思路点睛：本题考查函数的新定义“利普希兹条件函数”，解题的关键在于充分利用这个定义进行推理，在求解参数时，充分利用参变量分离法转化为恒成立问题求解.