2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设均为实数，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】因为 ，所以 ，即“”是“”的充要条件，选C.

2．函数的图像的对称性为（    ）

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称

【答案】B

【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．

【详解】解：因为，所以，

所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．

故选：．

3．已知全集及集合，，则的元素个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【分析】可求出集合，，然后进行交集和补集的运算求出，然后即可得出的元素个数．

【详解】解：，

，，，1，2，3，，或，且，

，，

的元素个数为：3．

故选：．

4．已知函数，，的零点依次为、、，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】化函数的零点为方程的根，然后在同一坐标系中画出函数，，和函数的图像，根据图象即可判断、、的大小关系．

【详解】已知函数，，的零点依次为、、，

即，

，

，

在同一坐标系中画出函数，，和函数的图像，

由图可知：．

故选：D

5．设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：因为是定义在R上的奇函数，且当时，，所以时，，所以在R上单调递增，且．对任意的，不等式恒成立，即恒成立．因为在R上单调递增，所以任意的，恒成立．即恒成立，当时，，所以只需，解得．故A正确．

【解析】奇函数的奇偶性和单调性，利用单调性比较大小求最值

二、填空题

6．已知集合，，则__________．

【答案】

【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．

【详解】解：，1，，，，

．

故答案为：．

7．不等式的解集为______.

【答案】

【分析】解分式不等式即可得出该不等式的解集.

【详解】解不等式得，因此，不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.

8．函数，的值域为__________．

【答案】

【分析】根据对勾函数的单调性分析出的单调性，然后即可求解出的最值，从而的值域可确定出.

【详解】由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递减，

所以，

又，且，，

所以，

所以的值域为，

故答案为：.

9．计算：__________．

【答案】4

【分析】根据对数的运算法则和性质求解出结果.

【详解】原式

，

故答案为：.

10．用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是__________．

【答案】

【分析】分别代入，计算得和，所以可得方程在区间内有实根，所以根据二分法，下一个取的点为.

【详解】当时，，时，，所以方程在区间内有实根，所以下一个取的点是.

故答案为：

11．已知条件，，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为_________．

【答案】

【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式组解出即可．

【详解】∴，

∴，解得，

故答案为：．

【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

12．不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】分，，三种情况讨论，即可求出结果．

【详解】当时，原不等式可化为，解得，所以；

当时，原不等式可化为，解得，所以；

当时，原不等式可化为，显然不成立；

综上，原不等式的解集为．

故答案为：．

13．已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a的值为__________．

【答案】-6

【分析】由的图象过点得函数的图象过点，把点代入的解析式求得的值．

【详解】解：的图象过点，

函数的图象过点，

又，

，即．

故答案为：．

14．已知集合A={，其中，且}，B={，其中，且}，则的元素个数为__________．（用含正整数m的式子表示）

【答案】2m

【分析】可求出集合，，然后进行交集的运算求出，根据，且即可得出的元素个数．

【详解】解：A={，其中，且}，B={，其中，且}，

所以，，

，

，，且，，1，2，，，

元素的个数为：．

故答案为：

15．已知函数，若，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【分析】先根据已知条件判断出的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性将原不等式转化为关于的不等式，由此求解出的取值范围.

【详解】当时，，

当时，，

且，

所以是定义在上的奇函数，

因为的对称轴为，所以在上单调递增，

由为奇函数可知在上单调递增，

因为，所以，

所以，所以或，即的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的不等式的思路：

（1）利用奇偶性将不等式变形为；、

（2）根据单调性得到与的大小关系；

（3）结合函数定义域以及与的大小关系，求解出的取值范围即为不等式解集.

三、解答题

16．已知是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件．

【答案】证明见解析；当且仅当时，等号成立．

【分析】做差，然后因式分解，再进行配方，最后与比较大小即可证明.

【详解】因为

故，即．

当且仅当时，等号成立．

17．某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？

【答案】设计矩形停车场南北侧边长为30，则其东西侧边长为40，人行通道占地面积最小528．

【分析】设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为m，人行通道占地面积为，再由基本不等式可得答案.

【详解】设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为m，

人行通道占地面积为

，

由均值不等式，得，

当且仅当，即时，，此时．

所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m，则其东西侧边长为40m，人行通道占地面积最小528m2．

18．已知函数．

（1）作出这个函数的大致图像；

（2）讨论关于x的方程的根的个数．

【答案】（1）作图见解析；（2）答案不唯一，具体见解析．

【分析】（1）把已知函数解析式变形，再由函数图象的平移与翻折变换可得的图象；

（2）对分类，数形结合得答案．

【详解】解：（1）因

故先将函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图像，最后将函数图像x轴下方部分翻折到x轴上方，便得到函数的大致图像．

（2）当时，方程根的个数为0；

当，或时，方程根的个数为1；

当，或时，方程根的个数为2．

19．已知函数是定义在上的奇函数.

（1）求实数的值及函数的值域；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；； （2）.

【分析】（1）根据解得，并检验时，满足题意，得出函数解析式，求解值域；

（2）根据函数值域，将问题转化，故，利用换元法求解最值即可得解.

【详解】（1）由解得，反之时，

，符合题意，

故，据此，，

即值域为

（2）在显然是单调增函数，为正数，

所以，故，

令，则 随的增大而增大，

最大值为，实数范围是.

【点睛】此题考查根据函数奇偶性求参数的取值，根据不等式恒成立求解参数的取值范围，涉及参变分离，换元法求解最值.

20．已知函数．

（1）判断函数的奇偶性；

（2）对任意的实数x、x，且，求证：；

（3）若关于x的方程有两个不相等的正根，求实数a的取值范围．

【答案】（1）奇函数；（2）证明见解析：（3）．

【分析】（1），然后分、两种情况讨论即可；

（2）首先判断出在R上是增函数，然后可证明；

（3）令，则当时，，原方程有两个不相等的正根等价于：关于t的方程有两个不相等的正根，然后可建立不等式组求解.

【详解】（1）．

当时，，有，即．

当时，，有，即．

综上，函数在R上是奇函数．

（2）因为函数在上是增函数，函数在R上也是增函数，

故函数在上是增函数．

由（1）知，函数是R上的奇函数．由奇函数的单调性知，

函数在上也是增函数，

从而函数在R上是增函数．

由，得，所以，

即．

（3）由（1）知，函数是R上的奇函数，故原方程可化为．

令，则当时，．

原方程有两个不相等的正根等价于：关于t的方程有两个不相等的正根，

即

因此，实数a的取值范围为．

21．对于定义在D上的函数，设区间是D的一个子集，若存在，使得函数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区间上具有性质P．

（1）若函数在区间上具有性质P，写出实数a、b所满足的条件；

（2）设c是常数，若函数在区间上具有性质P，求实数c的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据定义判断出为二次函数，然后根据的单调性和单调区间判断出的开口以及对称轴，由此得到满足的条件；

（2）先分析函数在区间上为严格增函数和严格减函数时的取值，据此分析出在区间上先递减再递增时的取值范围，由此求解出的取值范围.

【详解】（1）当函数在区间上具有性质P时，由其图象在R上是抛物线，

故此抛物线的开口向上（即），且对称轴是；

于是，实数a，b所满足的条件为：．

（2）记．设，是区间上任意给定的两个实数，

总有．

若，当时，总有且，

故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．

若，当时，总有且，

故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．

若，当且时，总有且，

故，因此在区间上是严格减函数；

当且时，总有且，

故，因此在区间上是严格增函数．

因此，当时，函数在区间上具有性质P．

【点睛】关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质的理解，通过分析函数不具备性质的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质的情况，然后再进行验证即可.