专题05 共焦点椭圆、双曲线模型(解析版)

这是一份专题05 共焦点椭圆、双曲线模型(解析版)，共9页。试卷主要包含了故选A，已知椭圆C1等内容，欢迎下载使用。
Ⅰ．|MF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m；Ⅱ．eq \f(sin2eq \f(θ,2),e12)＋eq \f(cs2eq \f(θ,2),e22)＝1．
【方法技巧】
结论Ⅰ的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减．凡是已知公共焦点三角形中的一边（焦半径）或三边的比例关系（可取特值，特别是在直角三角形中），然后使用结论Ⅰ：|MF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，找到a，m，c的关系，从而解决问题．可免去用椭圆与双曲线的定义，节省时间．关于结论Ⅰ的记忆是长边加，短边减，椭圆的长半轴在前，双曲线的实半轴在后．
结论Ⅱ的推导是先用椭圆与双曲线的定义，然后用余弦定理，或用焦点三角形的面积相等．凡是已知公共焦点三角形中的顶角（或隐含如例2(6)，对点练5，6），然后使用结论Ⅱ：eq \f(sin2eq \f(θ,2),e12)＋eq \f(cs2eq \f(θ,2),e22)＝1，可快速到e12，e22的关系，从而解决问题．如果求最值注意基本不等式的使用，如不能用基本不等式可利用三角换元转化为三角函数的最值(如例2(5)，对点练4，6)或用柯西不等式(选修4－5)．关于结论Ⅱ的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上椭圆与双曲线的离心率的平方．
【例题选讲】
[例11] (59)椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2，∠AF1F2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( )
A．2eq \r(3) B．eq \r(3) C．2 D．1
答案 B 秒杀 设椭圆方程为：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线方程为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，根据题意，可设|AF1|＝eq \r(3)，|AF2|＝1，|F1 F2|＝2，则a＋m＝eq \r(3)，a－m＝１，∴eq \f(1,e1)＋eq \f(1,e2)＝eq \f(a,c)＋eq \f(m,c)＝eq \f(a＋m,c)＝eq \r(3)．故选B．
(60)中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1(－c，0)，F2(c，0)，P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|＝|F1F2|且|PF2|＝3，若椭圆C1的离心率e1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(4,5)))，则双曲线的离心率e2的范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，2)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2)) D．(2，3)
答案 C 秒杀 设椭圆方程为：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，设双曲线方程为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，由题意有，a＋m＝2c，a－m＝3，所以m＝2c－a，又e2＝eq \f(c,m)＝eq \f(c,2c－a)＝eq \f(1,2－\f(1,e1))，因为e1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(4,5)))，所以eq \f(1,e1)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(3,2)))，所以e2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2)).
(61)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2＋1的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(eq \f(4,3)，＋∞) C．(eq \f(6,5)，＋∞) D．(eq \f(10,9)，＋∞)
答案 B 秒杀 设椭圆方程为：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，设双曲线方程为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，由题意有，a＋m＝10，a－m＝2c，所以a＝5＋c，m＝5－c，c＞eq \f(5,2)，又e1e2＋1＝eq \f(c2,am)＋1＝eq \f(c2,25－c2)＋1＞eq \f(4,3)．故选B．
【对点训练】
88．F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A是C1，C2在第一象限的交点，且AF1⊥AF2，∠AF1F2＝
eq \f(π,6)，则C1与C2的离心率之积为( )
A．2 B．eq \r(3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
88．答案 A 秒杀 设椭圆方程为：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线方程为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，根据题意，
可设|AF1|＝eq \r(3)，|AF2|＝1，|F1 F2|＝2，则a＋m＝eq \r(3)，a－m＝１，∴a＝eq \f(eq \r(3)＋1,2)，m＝eq \f(eq \r(3)－1,2)，∴e1e2＝eq \f(c2,am)＝2．故选A．
89．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点
为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率为3，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(3,7) B．eq \f(4,7) C．eq \f(5,6) D．eq \f(9,10)
89．答案 A 秒杀 设椭圆方程为：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线方程为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，根据题意，
a－m＝2c，eq \f(c,m)＝3，∴eq \f(c,a)＝eq \f(c,m＋2c)＝eq \f(3,7)．故选A．
90．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在
第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1，2)．则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．(eq \f(1,3)，eq \f(1,2)) B．(eq \f(2,5)，eq \f(1,2)) C．(eq \f(1,3)，eq \f(2,5)) D．(eq \f(1,2)，1)
90．答案 C 秒杀 设椭圆方程为：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，设双曲线方程为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，由题意
有，a＋m＝10，a－m＝2c，所以a＝5＋c，m＝5－c，因为双曲线的离心率的取值范围为(1，2)，所以1b>0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A，B关于原点对
称，又AF1⊥BF1，且∠AF1O＝eq \f(π,3)，故|AF1|＝|OF1|＝|OA|＝|OB|＝c，∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))，代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，结合b2＝a2－c2及e＝eq \f(c,a)，整理可得，e4－8e2＋4＝0，∵00)，双曲线方程为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，根据题意，可设|AF1|＝1，|AF2|＝eq \r(3)，|F1 F2|＝2，则a＋m＝eq \r(3)，a－m＝１，∴e＋e1＝eq \f(c,a)＋eq \f(c,m)＝eq \f(c(a＋m),am)＝2eq \r(3)．故选A．
【例题选讲】
[例12] (62)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为e1，e2，则eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝( )
A．eq \f(3,2) B．2 C．eq \f(5,2) D．4
答案 B 通解 以AC边所在的直线为x轴，AC中垂线所在的直线为y轴建立直角坐标系(图略)，设椭圆方程为eq \f(x2,a\\al(2,1))＋eq \f(y2,b\\al(2,1))＝1，设双曲线方程为eq \f(x2,a\\al(2,2))－eq \f(y2,b\\al(2,2))＝1，焦距都为2c，不妨设|AB|>|BC|，椭圆和双曲线都过点B，则|AB|＋|BC|＝2a1，|AB|－|BC|＝2a2，所以|AB|＝a1＋a2，|BC|＝a1－a2，又因为△ABC为直角三角形，|AC|＝2c，所以(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝(2c)2，即aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＝2c2，所以eq \f(a\\al(2,1),c2)＋eq \f(a\\al(2,2),c2)＝2，即eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝2．故选B．
秒杀 由已知eq \f(θ,2)＝eq \f(π,4)，又由eq \f(sin2eq \f(θ,2),e12)＋eq \f(cs2eq \f(θ,2),e22)＝1，得eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝2．故选B．
(63)(2013浙江)已知F1，F2为椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1和双曲线C2的公共焦点，P为它们的一个公共点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若四边形AF1BF1为矩形，则C2的离心率是( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．eq \f(3,2) D．eq \f(eq \r(6),2)
答案 D 秒杀 由已知eq \f(θ,2)＝eq \f(π,4)，又由eq \f(sin2eq \f(θ,2),e12)＋eq \f(cs2eq \f(θ,2),e22)＝1，得eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(1,eeq \\al(2,2))＝2，又e1＝eq \f(\r(3),2)，∴e2＝eq \f(\r(6),2)，故选D．
(64)(2016全国高中数学联赛四川预赛)已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为( )
A．eq \f(eq \r(3),3) B．eq \f(eq \r(3),2) C．1 D．eq \r(3)
答案 B 秒杀 由已知eq \f(θ,2)＝eq \f(π,6)，又由eq \f(sin2eq \f(θ,2),e12)＋eq \f(cs2eq \f(θ,2),e22)＝1，得eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(3,eeq \\al(2,2))＝4，4＝eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(3,e\\al(2,2))＞eq \f(2eq \r(3),e1e2)，e1e2≥eq \f(\r(3),2)(当且仅当e2＝eq \r(3)e1时取等号)，故选B．
(65)已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(其中m＞0，n＞0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，e1，e2分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF1，则4eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)的最小值是( )
A．eq \f(5,2) B．eq \f(7,2) C．eq \f(9,2) D．eq \f(11,2)
答案 C 秒杀 由已知eq \f(θ,2)＝eq \f(π,4)，又由eq \f(sin2eq \f(θ,2),e12)＋eq \f(cs2eq \f(θ,2),e22)＝1，得eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(1,eeq \\al(2,2))＝2，4eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)＝eq \f(1,2)(4eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2))(eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(1,eeq \\al(2,2)))＝eq \f(5,2)＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(eeq \\al(2,2),e12)＋\f(4e12,eeq \\al(2,2))))≥eq \f(9,2) (当且仅当eeq \\al(2,2)＝2eeq \\al(2,1)时取等号)，故选C．
(66)(2014湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A．eq \f(4\r(3),3) B．eq \f(2\r(3),3) C．3 D．2
答案 A 秒杀 由已知eq \f(θ,2)＝eq \f(π,6)，又由eq \f(sin2eq \f(θ,2),e12)＋eq \f(cs2eq \f(θ,2),e22)＝1，得eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(3,eeq \\al(2,2))＝4，可利用三角换元eq \f(1,e1)＝2csθ，eq \f(\r(3),e2)＝2sinθ，则eq \f(1,e1)＋eq \f(1,e2)＝eq \f(4\r(3),3)sin(θ＋φ)≤eq \f(4\r(3),3)．故选A．
(67)(2016浙江)已知椭圆C1：eq \f(x2,m2)＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：eq \f(x2,n2)－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e21．故选A．
秒杀 由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得，b2taneq \f(θ,2)＝b2eq \f(1,tan\f(θ,2))，即，taneq \f(θ,2)＝eq \f(1,tan\f(θ,2))，解得θ＝eq \f(π,2)．∴eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝2，因为e1≠e2，∴2＝eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＞eq \f(2,e1e2)，∴e1e2>1．故选A．
【对点训练】
93．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝eq \f(2π,3)，记椭圆和双曲线的
离心率分别为e1，e2，则eq \f(3,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))等于( )
A．4 B．2eq \r(3) C．2 D．3
93．答案 A 通解 如图所示，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线
的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝eq \f(2π,3)，则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cseq \f(2π,3)，化简得3aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＝4c2，该式可变成eq \f(3,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝4．故选A．
秒杀 由已知eq \f(θ,2)＝eq \f(π,3)，又由eq \f(sin2eq \f(θ,2),e12)＋eq \f(cs2eq \f(θ,2),e22)＝1，得eq \f(3,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝4．故选A．
94．已知圆锥曲线C1：mx2＋ny2＝1(n>m>0)与C2：px2－qy2＝1(p>0)的公共焦点为F1，F2.点M为C1，C2
的一个公共点，且满足∠F1MF2＝90°，若圆锥曲线C1的离心率为eq \f(3,4)，则C2的离心率为( )
A．eq \f(9,2) B．eq \f(3\r(2),2) C．eq \f(3,2) D．eq \f(5,4)
94．答案 B 通解 C1：eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，C2：eq \f(x2,\f(1,p))－eq \f(y2,\f(1,q))＝1．设a1＝eq \r(\f(1,m))，a2＝eq \r(\f(1,p))，MF1＝s，MF2＝t，由椭圆
的定义可得s＋t＝2a1，由双曲线的定义可得s－t＝2a2，解得s＝a1＋a2，t＝a1－a2，由∠F1MF2＝90°，运用勾股定理，可得s2＋t2＝4c2，即为aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＝2c2，由离心率的公式可得，eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝2，∵e1＝eq \f(3,4)，∴eeq \\al(2,2)＝eq \f(9,2)，则e2＝eq \f(3\r(2),2)，故选B．
秒杀 由已知eq \f(θ,2)＝eq \f(π,4)，又由eq \f(sin2eq \f(θ,2),e12)＋eq \f(cs2eq \f(θ,2),e22)＝1，得eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝2，∵e1＝eq \f(3,4)，∴eeq \\al(2,2)＝eq \f(9,2)，则e2＝eq \f(3\r(2),2)，故选B．
95．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)具有相同焦点F1，F2，且在第一象限交于点
P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)的最小值是( )
A．eq \f(2＋\r(3),2) B．2＋eq \r(3) C．eq \f(1＋2\r(3),2) D．eq \f(2＋\r(3),4)
95．答案 A 通解根据题意，可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|－|PF2|＝2m，解得|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，
根据余弦定理，可知(2c)2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cs eq \f(π,3)，整理得c2＝eq \f(a2＋3m2,4)，所以eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)＝eq \f(c2,a2)＋eq \f(c2,m2)＝eq \f(a2＋3m2,4a2)＋eq \f(a2＋3m2,4m2)＝1＋eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3m2,a2)＋\f(a2,m2)))≥1＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(2＋\r(3),2)(当且仅当a2＝eq \r(3)m2时取等号)，故选A．
秒杀 由已知eq \f(θ,2)＝eq \f(π,6)，又由eq \f(sin2eq \f(θ,2),e12)＋eq \f(cs2eq \f(θ,2),e22)＝1，得eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(3,eeq \\al(2,2))＝4，eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)＝eq \f(1,4)(eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2))(eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(3,eeq \\al(2,2)))＝1＋eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(eeq \\al(2,2),e12)＋\f(3e12,eeq \\al(2,2))))≥1＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(2＋\r(3),2)(当且仅当eeq \\al(2,2)＝3eeq \\al(2,1)时取等号)，故选A．
96．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，csθ＝eq \f(4,5)，则椭圆
和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(10,3) C．eq \f(5,3) D．eq \f(7,3)
96．答案 B 秒杀 由eq \f(sin2eq \f(θ,2),e12)＋eq \f(cs2eq \f(θ,2),e22)＝1，得eq \f(1,eeq \\al(2,1))＋eq \f(9,eeq \\al(2,2))＝10，可利用三角换元eq \f(1,e1)＝eq \r(10)csθ，eq \f(1,e2)＝eq \f(eq \r(10),3)sinθ，则eq \f(1,e1)
＋eq \f(1,e2)＝eq \f(10,3)sin(θ＋φ)≤eq \f(10,3)．故选B．
97．已知椭圆C1：eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,4b2)＝1(其中m＞2b＞0)与双曲线C2：eq \f(x2,n2)－eq \f(y2,b2)＝1(其中n＞0，b＞0)的焦点重合，e1，
e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A．m＞n且e1e2≥eq \f(4,5) B．m＞n且e1e2≤eq \f(4,5) C．m＜n且e1e2≥eq \f(4,5) D．m＜n且e1e2≤eq \f(4,5)
97．答案 A 秒杀 由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得，b2taneq \f(θ,2)＝b2eq \f(1,tan\f(θ,2))，即，4taneq \f(θ,2)＝eq \f(1,tan\f(θ,2))，解得taneq \f(θ,2)
＝eq \f(1,2)．∴eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(4,e\\al(2,2))＝5，∴5＝eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(4,e\\al(2,2))≥2eq \r(\f(4,eeq \\al(2,1)eeq \\al(2,2)))≥eq \f(4,e1e2)，∴5≥eq \f(4,e1e2)，当且仅当2e1＝e2时，等号成立．∴e1e2≥eq \f(4,5)．故选A．
98．(2014全国高中数学联赛湖北预赛)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，记椭圆和双曲线的离心率
分别为e1，e2，若椭圆的短轴长是和双曲线虚轴长的2倍，则eq \f(1,e1)＋eq \f(1,e2)的最大值为( )
A．4 B．2eq \r(3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(5,2)
98．答案 D 秒杀 由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得，b2taneq \f(θ,2)＝b2eq \f(1,tan\f(θ,2))，即，4taneq \f(θ,2)＝eq \f(1,tan\f(θ,2))，解得taneq \f(θ,2)
＝eq \f(1,2)．∴eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(4,e\\al(2,2))＝5，可利用三角换元eq \f(1,e1)＝eq \r(5)csθ，eq \f(2,e2)＝eq \r(5)sinθ，则eq \f(1,e1)＋eq \f(1,e2)＝eq \f(5,2)sin(θ＋φ)≤eq \f(5,2)．