专题11 代数法解决的最值模型(原卷版)

这是一份专题11 代数法解决的最值模型(原卷版)，共7页。
[例2] (7)设F1，F2是椭圆E：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左右焦点，P是椭圆E上的点，则|PF1|·|PF2|的最小值是________．
答案 16 解析 由椭圆方程可知a＝5，c＝3，根据椭圆的定义，有|PF2|＝2a－|PF1|＝10－|PF1|，故|PF1|·|PF2|＝|PF1|·(10－|PF1|)，由于|PF1|∈[a－c，a＋c]＝[2，8]注意到二次函数y＝x(10－x)的对称轴为x＝5，故当x＝2，x＝8时，都是函数的最小值，即最小值为2×8＝16．
(8)如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up8(→))·eq \(PA,\s\up8(→))的最大值为________．
答案 4 解析 设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3．故椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．所以－2≤x0≤2，－eq \r(3)≤y0≤eq \r(3)．因为F(－1，0)，A(2，0)，eq \(PF,\s\up8(→))＝(－1－x0，－y0)，eq \(PA,\s\up8(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq \(PF,\s\up8(→))·eq \(PA,\s\up8(→))＝xeq \\al(2,0)－x0－2＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2．即当x0＝－2时，eq \(PF,\s\up8(→))·eq \(PA,\s\up8(→))取得最大值4．
(9)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0，1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0，1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，则t的最大值为( )
A．eq \r(3) B．eq \r(5) C．2 D．eq \r(2)
答案 B 解析 由平面几何知识可得|BD|＝|AC|＝eq \r(1＋4x)，所以e1＝eq \f(2,\r(1＋4x)－1)，e2＝eq \f(2x,\r(1＋4x)＋1)，所以e1e2＝1．因为e1＋e2＝e1＋eq \f(1,e1)＝eq \f(2,\r(1＋4x)－1)＋eq \f(\r(1＋4x)－1,2)在x∈(0，1)上单调递减，所以e1＋e2＞eq \f(2,\r(1＋4)－1)＋eq \f(\r(1＋4)－1,2)＝eq \r(5)．因为对任意x∈(0，1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，所以t≤eq \r(5)，即t的最大值为eq \r(5)．
(10)已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2面积的最大值是( )
A．1 B．eq \f(4,3) C．eq \f(5,3) D．2
答案 B 解析 ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝2|PF2|，,|PF1|－|PF2|＝2a，))∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，设∠F1PF2＝θ，∴csθ＝eq \f(16a2＋4a2－4,2×4a×2a)＝eq \f(5a2－1,4a2)，∴S2△PF1F2＝(eq \f(1,2)×4a×2a×sinθ)2＝16a4(1－eq \f(25a4－10a2＋1,16a4))＝eq \f(16,9)－9(a2－eq \f(5,9))2≤eq \f(16,9)，当且仅当a2＝eq \f(5,9)时，等号成立，故S△PF1F2的最大值是eq \f(4,3)．故选B．
(11)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则eq \f(b,a＋1)的最大值为________．
答案 eq \f(4,3) 解析 由题意，得△ABF2的周长为32，∴|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝32，∵|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，|AB|＝eq \f(2b2,a)，∴eq \f(4b2,a)＝32－4a，∴b＝eq \r(8a－a2)(0