第四章 指数函数与对数函数__2021-2022学年高一数学人教A版（2019）必修第一册 击破重难点练习题

第四章 指数函数与对数函数

重点追击练

1.函数（，且）的图象过定点(   )
A. B. C. D.

2.已知，且，则函数与的图象只可能是(   )
A.

B.

C.

D.

3.以下四种说法中，正确的是(   )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的，
C.对任意的，
D.不一定存在，当时，总有

4.已知函数.若存在2个零点，则a的取值范围是(   )
A. B. C. D.

5.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，t min后物体的温度可由公式求得.把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40℃，那么t的值约等于_______________.（保留两位小数，参考数据：）

6.已知函数若关于x的方程有8个不同的实根，则a的取值范围为_____________.

7.已知定义域为R的函数是奇函数.

（1）求函数的解析式；

（2）已知，若对任意的，，不等式恒成立，求实数k的取值范围.

难点突破练

8.设a，b，c，d均大于0，且均不等于1，，，，在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系为(   )

A.  B.

C.  D.

9.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制订了一个销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x万元（）时，奖金y（万元）随销售利润x（万元）的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是（参考数据：，，）(   )

A. B. C. D.

10.已知，，，则a，b，c的大小关系为(   )

A. B. C. D.

11.表示不超过x的最大整数，例如，.已知是方程的根，则(   )

A.2 B.3 C.4 D.5

12.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若开始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：，）(   )

A.8 B.9 C.10 D.11

13.函数的零点个数是______________.

14.函数（且）的图象经过的定点坐标为________________.

15.已知函数.

（1）当时，设，证明：函数在R上单调递增；

（2）若，恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.

答案以及解析

1.答案：C

解析：令，解得，所以，所以函数

的图象过定点.

2.答案：C

解析：当时，函数为增函数，且直线与y轴的交点的纵坐标大于1；当时，函数为减函数，且直线与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合，故选C.

3.答案：D

解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B、C，当时，显然不成立；当，时，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“，”，则结论不成立.故选D.

4.答案：C

解析：函数存在2个零点，即关于x的方程有2个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，，解得，故选C.
 

5.答案：4.58

解析：由题意可得，化简可得，，，.

6.答案：

解析：当时，仅一根，故有8个不同的实根不可能成立.当时，画出的大致图象如图所示，

令，则即，解得，，.

又有8个不同的实根，且有3个根，有2个根，所以有3个根.所以，解得.

综上可知，实数a的取值范围为.

7.答案：（1）因为是定义域为R的奇函数，

所以，，

即，，

解得，，

已知函数的奇偶性，先用特殊值确定参数的值，再验证.

此时，

，符合题意，

所以.

（2）因为，所以，

因为对任意的，，不等式恒成立，

所以对任意的，不等式恒成立，

所以对任意的，不等式恒成立，

又，

所以易知在R上单调递减，

所以对任意的，，即，

所以，解得.

8.答案：C

解析：作出直线，如图所示.

直线与四个函数图象的交点从下到上依次为，，，，因此a，b，c，d的大小顺序是，故选C.

9.答案：B

解析：A选项中，当时，，超过2万元，不符；

B选项中，在上是增函数，时，，结合图象知，在上恒成立，故B符合；

C选项中，当时，，超过2万元，不符；

D选项中，当时，，设，则.因此，超过2万元，不符.故选B.

10.答案：B

解析：由，得，又，

所以，即，故选B.

11.答案：C

解析：令，当时，，当时，，即，又单调递增，其图象是连续不断的，所以的零点所在区间为，所以，故选C.

12.答案：D

解析：设至少应过滤n次，则，因此，，

则，

又，所以，即至少要过滤11次才能达到市场要求.故选D.

13.答案：4

解析：当时，或，

此时有2个零点.

当时，.

在同一坐标系中作出与的图象，如图所示，

由图象知有2个零点.因此的零点个数为4.

14.答案：

解析：因为（且），所以在中，取，解得，

故函数的图象过定点.

利用对数特殊值解决过定点问题.

15.答案：（1）证明：，

任取，，且，

则

，

函数在R上单调递增，

，即，

又，，，

，

，

函数在R上单调递增.

（2）设，则，

，恒成立，即，恒成立，

即，令，

易得在上单调递减，在上单调递增，

又，，的最大值为，

，即，

实数a的取值范围为.

（3）函数在上有两个零点且的图象的对称轴为直线，

解得.

实数a的取值范围为.