第三章 函数的概念与性质__2021-2022学年高一数学人教A版（2019）必修第一册 击破重难点练习题

第三章 函数的概念与性质

重点追击练

1.函数的定义域为M，的定义域为N，则(   )

A. B. C. D.

2.下列四个函数中，在区间上单调递增的是(   )

A. B. C. D.

3.函数的大致图象是(   )

A. B.

C. D.

4.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系（a，b，c是常数），下图记录了三次试验的数据.根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为(   )

A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟

5.若幂函数过点，则满足不等式的实数a的取值范围是___________.

6.设，，当时，的最小值是__________，若的最小值为1，则a的取值范围为_____________.

7.已知函数对任意的实数a，b都有，且当时，有.

（1）求证：是R上的增函数；

（2）求证：是R上的奇函数；

（3）若，解不等式.

难点突破练

8.已知函数若，则实数a的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

9.已知函数，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为(   )

A. B. C. D.

10.已知是定义在R上的奇函数，对任意两个正数，，都有，且，则满足的x的取值范围是(   )

A. B.

C.  D.

11.用函数表示函数和中的较大者，记为.若，，则的大致图象为(   )

A. B.

C. D.

12.某品牌电动车有两个连锁店，其月利润（单位：元）分别为，，其中x为销售量.若某月两店共销售了110辆电动车，则最大利润为(   )
A.11000元 B.22000元 C.33000元 D.40000元

13.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则时，的解析式为___________________.

14.已知表示不超过x的最大整数，定义函数.有下列结论：

①函数的图象是一条直线；②函数的值域为；③方程有无数个解；④函数是R上的增函数.

其中错误的是______________.（填序号）

15.设，若函数定义域内的任意一个x都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个x都满足.已知函数.

（1）证明：函数的图象关于点对称；

（2）已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在使得成立，求实数m的取值范围.

答案以及解析

1.答案：B

解析：要使函数有意义，则，解得，所以，

要使函数有意义，则，解得，所以，

因此，故选B.

2.答案：D

解析：对于A，为一次函数，在区间上单调递减，不符合题意；对于B，为二次函数，在区间上单调递减，不符合题意；对于C，在区间上单调递减，不符合题意；对于D，在区间上单调递增，符合题意.故选D.

3.答案：D

解析：易知函数是偶函数，排除选项B，C；当时，，对应点在第四象限，故排除A.故选D.

4.答案：B

解析：由已知得解得，

当时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.

5.答案：

解析：设幂函数为，因为其图象过点，所以，解得，所以.因为在R上为增函数，所以由，得，解得.

所以满足不等式的实数a的取值范围是.

6.答案：-7；

解析：当时，在上单调递减，.

由函数的解析式知，若的最小值为1，则在上单调递增，

而的图象开口向上，对称轴为直线，，即a的取值范围是.

7.答案：（1）证明：任取，，且，

则，

对任意的实数a，b都有，

，

.

当时，，且，

，

，即在R上为增函数.

（2）证明：对任意的实数a，b都有，

令，则，，

令，，则，

，

即函数为R上的奇函数.

（3）若，则，，

不等式等价于，

由（2）知为奇函数，

，

，

，

又由（1）知，在R上为增函数，

，即，

或.

原不等式的解集为.

8.答案：A

解析：，或即或

或，即.故a的取值范围是，故选A.

9.答案：A

解析：在函数中，当时，是减函数，因此，；

当时，也是减函数，因此，.

当时，，即.

在函数中，由知，在上单调递增，

.

若，总存在使得，

则，解得，又，.故选A.

10.答案：B

解析：因为对任意两个正数，，都有，

所以在上单调递减，

根据奇函数的性质可知，，在上单调递减且，

由可得或

解得或.

故选B.

11.答案：A

解析：在同一直角坐标系中作出两个函数和的图象，如图所示：

由图象可知，

因此，函数的大致图象为选项A中的图象.故选A.

12.答案：C

解析：设月利润为的连锁店销售x辆电动车，则月利润为的连锁店销售辆电动车，由题意可知两店的月利润之和为，所以当时，两店的月利润之和取得最大值，为33000元.故选C.

13.答案：

解析：当时，，则，又是R上的奇函数，，即.故时，的解析式为.

14.答案：①④

解析：根据定义函数

对于①，作出函数的部分图象如图所示，因此①中结论错误；

对于②，根据函数的图象可知函数的值域为，因此②中结论正确；

对于③，直线与函数的图象有无穷多个交点，因此③中结论正确；

对于④，根据函数的图象知，函数在每个小区间内单调递增，但是在整个定义域内不具备单调性，因此④中结论错误.故答案为①④.

15.答案：（1）证明：，，.

.

即对任意的，都有成立.函数的图象关于点对称.

（2），易知在上单调递增，在上的值域为.

记函数，的值域为A.

若对任意的，总存在使得成立，则.

当时，，

，即函数的图象过对称中心.

①当，即时，函数在上单调递增.由对称性知，在上单调递增，函数在上单调递增.

易知.又，

，则.

由，得解得.

②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增.由对称性，知在上单调递增，在上单调递减.

结合对称性，知或.，.又，.易知当时，

.又，，当时，恒成立.

③当，即时，函数在上单调递减.由对称性，知在上单调递减.

函数在上单调递减.

易知，

又，，

则.

由，得解得.

综上可知，实数m的取值范围为.