初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质教案及反思

这是一份初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质教案及反思，共12页。
2　二次函数的图象与性质第1课时　二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质教学目标一、基本目标1．会用描点法画出形如y＝x2和y＝－x2的二次函数图象，理解抛物线的概念．在作图的过程中初步研究二次函数的图象变化．2．通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用．二、重难点目标【教学重点】函数y＝x2和y＝－x2的图象的画法，理解函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质．【教学难点】函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P32～P34的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．2．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象都是一条抛物线．3．抛物线y＝x2的开口方向是向上，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴．抛物线y＝－x2的开口方向是向下，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴．环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：y＝x2; y＝－x2.根据图象分别说出两条抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高(低)点坐标．【互动探索】(引发学生思考)利用列表、描点、连线的方法作出两个函数的图象即可．【解答】列表如下：x－2－1012y＝x241014y＝－x2－4－10－1－4描点、连线可得图象如下：抛物线y＝x2的对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)，开口方向向上，最低点坐标为(0，0)．抛物线y＝－x2的对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)，开口方向向下，最高点坐标为(0，0)．【互动总结】(学生总结，老师点评)画二次函数的图象时应注意的问题：(1)在画函数图象时，图象必须平滑，顶端不能画成尖形；(2)抛物线是向两个方向无限延伸的，左右两边必须保持关于对称轴对称；(3)用描点法画出的图象只是二次函数的图象的一部分，且是近似的．活动2　巩固练习(学生独学)1．下列关于抛物线y＝x2与y＝－x2的说法错误的是(　D　)A．抛物线y＝x2与y＝－x2有共同的顶点与对称轴B．抛物线y＝x2与y＝－x2关于x轴成轴对称C．抛物线y＝x2与y＝－x2的开口方向相反D．点A(－2，4)在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上2．二次函数y＝(m＋1)x2的图象过点(－2，4)，则m＝0，这个二次函数的表达式为y＝x2，当x<0时，y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)；当x>0时，y随x的增大而增大(填“增大”或“减小”)．活动3　拓展延伸(学生对学)【例2】如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标．【互动探索】联立两表达式构成方程组 方程组的解即为交点坐标．【解答】由题意，得解得 或所以直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是求直线和抛物线的交点，可联立方程求解．环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次函数y＝x2y＝－x2开口方向向上向下对称轴y轴(或直线x＝0)y轴(或直线x＝0)顶点坐标原点(0，0)原点(0，0)增减性当x＞0时，y的值随x的增大而增大；当x＜0时，y的值随x的增大而减小当x＞0时，y的值随x的增大而减小；当x＜0时，y的值随x的增大而增大最值当x＝0时，y有最小值0当x＝0时，y有最大值0 练习设计请完成本课时对应练习！ 第2课时二次函数y＝ax2(a≠0)和y＝ax2＋c(a≠0)的图象与性质教学目标一、基本目标1．能画出二次函数y＝ax2(a≠0)和y＝ax2＋c(a≠0)的图象，会比较它们与二次函数y＝x2的图象的异同，理解系数a与c对二次函数图象的影响．2．能说出二次函数y＝ax2(a≠0)与y＝ax2＋c(a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．了解抛物线y＝ax2上下平移规律．二、重难点目标【教学重点】二次函数y＝ax2(a≠0)和y＝ax2＋c(a≠0)的图象与性质．【教学难点】掌握二次函数y＝ax2(a≠0)与y＝ax2＋c(a≠0)图象之间的联系．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P35～P36的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标为(0，0)．2．二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标为(0，c)．3．在抛物线y＝x2－4上的一个点是(　C　)A．(4，4)  B．(1，－4)C．(2，0)  D．(0，4)4．画出二次函数y＝x2－1、y＝x2和y＝x2＋1的图象，并观察图象有哪些异同．略环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　)A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到【互动探索】(引发学生思考)二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)熟记二次函数y＝ax2(a≠0)图象平移得到y＝ax2＋c图象的规律：上加下减．【例2】已知二次函数y＝(a－2)x2＋a2－2的最高点为(0，2)，求a的值．【互动探索】(引发学生思考)二次函数的最高点为(0，2)，那么它的二次项系数、常数项分别应该满足什么条件？【解答】∵二次函数y＝(a－2)x2＋a2－2的最高点为(0，2)，∴解得a＝－2.【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝ax2＋k的图象有最高点，那么a＜0；最高点的纵坐标为k，即最高点的坐标为(0，k)．活动2　巩固练习(学生独学)1．将二次函数y＝－2x2－1的图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为(　A　)A．(0，－6)  B．(0，4)C．(5，－1)  D．(－2，－6)2．函数y＝ax2－a与y＝ax－a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是(　D　)3．函数y＝x2，y＝x2，y＝－2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线的函数表达式．略活动3　拓展延伸(学生对学)【例3】抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝x－3交于点(1，b)．(1)求a、b的值；(2)x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？【互动探索】将点(1，b)代入y＝x－3可得b＝－2，将b＝－2代入y＝ax2可得a的值，从而可确定二次函数中的y随x的变化情况．【解答】(1)根据题意，把(1，b)代入y＝x－3，得b＝1－3＝－2，∴点的坐标为(1，－2)．把(1，－2)代入y＝ax2，得－2＝a，即a＝－2.∴a＝－2，b＝－2.(2)由(1)可得y＝－2x2，∴抛物线开口向下，且对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而增大．【互动总结】(学生总结，老师点评)抛物线与直线的交点即为同时满足抛物线方程、直线方程的点，将这个点的坐标代入抛物线方程、直线方程均成立．二次函数y＝ax2的增减性：a＞0时，当x＜0时，y随x增大而减小；当x＞0时，y随x增大而增大．a＜0时，当x＜0时，y随x增大而增大；当x＞0时，y随x增大而减小．环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．在二次函数y＝ax2＋c(a≠0)和二次函数y＝ax2(a≠0)中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口大小：|a|越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴；|a|越小，抛物线的开口越大，即图象越远离y轴．2．二次函数y＝ax2＋c(a≠0)和二次函数y＝ax2(a≠0)的图象的形状相同，只是位置不同．二次函数 y＝ax2＋c(a≠0)的图象可以看作是把y＝ax2(a≠0)的图象向上(c＞0)或向下(c＜0)平移|c|个单位长度得到的．练习设计请完成本课时对应练习！ 第3课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质教学目标一、基本目标1．会画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能求其对称轴、开口方向、顶点坐标．2．掌握抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移规律．3．能运用二次函数的知识解决简单的实际问题．二、重难点目标【教学重点】二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象及其性质．【教学难点】二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2(a≠0)的图象之间的平移关系．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P36～P38的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x＝h；顶点坐标是(h，k)．2．抛物线y＝－3(x＋2)2－4的顶点坐标是(－2，－4)，当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大．3．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与抛物线y＝ax2的形状相同(因为a值相同)，而位置不同．将抛物线y＝ax2上下平移，可得到抛物线y＝ax2＋k(k＞0时，向上平移k个单位；k＜0时，向下平移－k个单位)，再将抛物线y＝ax2＋k左右平移，可得到抛物线y＝a(x－h)2＋k(h＞0时，向右平移h个单位；h＜0时，向左平移－h个单位)．4．函数y＝2(x＋1)2－2的图象是由函数y＝2x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】填写下表：解析式开口方向对称轴顶点坐标y＝－x2向下y轴(0，0)y＝x2＋3向上y轴(0，3)y＝－3(x＋2)2向下直线x＝－2(－2，0)y＝(x＋2)2－7向上直线x＝－2(－2，－7)【互动探索】(引发学生思考)抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k、y＝a(x－h)2＋k有什么联系？开口方向、对称轴和顶点坐标有什么异同？【解答】见题表．【互动总结】(学生总结，老师点评)掌握抛物线y＝ax2、y＝ax2＋k的特点，进而类比得到y＝－a(x－h)2＋k的特点．【例2】已知抛物线y＝a(x－h)2＋k，将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2－4，则原抛物线的解析式为________．【互动探索】(引发学生思考)抛物线y＝－2(x＋1)2－4的顶点坐标为(－1，－4)，它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为(－4，－2)．故原抛物线的解析式为y＝－2(x＋4)2－2.【答案】y＝－2(x＋4)2－2【互动总结】(学生总结，老师点评)抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：顶点的变化．活动2　巩固练习(学生独学)1．对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的个数为(　A　)①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x＝－2；③图象不经过第一象限； ④当x＞2时，y随x的增大而减小．A．4  B．3  C．2  D．12．已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　A　)3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－4，3)，且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是y＝－(x＋4)2＋3.4．已知二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y＝－(x＋1)2＋3.(1)试确定a、h、k的值；(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向，对称轴和顶点坐标．解：(1)二次函数y＝－(x＋1)2＋3的图象的顶点坐标为(－1，3)，把点(－1，3)先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为(1，－1)，∴原二次函数的解析式为y＝－(x－1)2－1，∴a＝－，h＝1，k＝－1.(2)∵y＝a(x－h)2＋k＝－(x－1)2－1，∴它的开口方向向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－1)．活动3　拓展延伸(学生对学)【例3】已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)写出它的开口方向、对称轴．【互动探索】根据顶点坐标设出解析式，再用待定系数法求二次函数的解析式，进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴．【解答】(1)设函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2.把点(1，－3)代入解析式，得 a＝－ ，所以抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋2.(2)由(1)的函数解析式可得抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)给出二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式是解题的关键．环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！ 第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质教学目标一、基本目标1．能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式．2．能正确求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴和顶点坐标．3．掌握利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)解决函数增减性问题的方法；会利用对称性画出二次函数的图象．二、重难点目标【教学重点】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质．【教学难点】用配方法确定抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标、对称轴及最值．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P39～P41的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，对称轴是x＝h，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小 值，当x＞h 时，y随x的增大而增大，当x<h时，y随x的增大而减小；当a<0时，开口向下，此时二次函数有最大 值，当x<h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小．2．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可以通过配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，即y＝ax＋2＋.因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是－，.3．从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看出：如果a>0，当x<－时，y随x的增大而减小，当x>－时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<－时，y随x的增大而增大，当x>－时，y随x的增大而减小．4．已知二次函数y＝－x2＋4x＋5，化为y＝a(x－h)2＋k的形式为y＝－(x－2)2＋9，对称轴是直线x＝2，顶点是(2，9)．环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】求二次函数y＝2x2－x－1的开口方向、对称轴及顶点坐标．【互动探索】(引发学生思考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口方向、对称轴、顶点坐标怎么确定？【解答】∵y＝2x2－x－1＝2x－2－，∴二次函数的对称轴是直线x＝，顶点坐标为，－.【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可以通过配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，即y＝ax＋2＋，其对称轴是直线x＝－，顶点坐标是－，. 活动2　巩固练习(学生独学)1．抛物线y＝－x2＋4x－7的开口方向向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，－3)．当x＝2 时，函数y有最大值，其值为－3.2．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且ac＝4，则二次函数的顶点在第四象限．3．已知二次函数y＝－x2－2x＋6.(1)求函数图象的顶点坐标和对称轴；(2)自变量x在什么范围内时，函数值y＞0？y随x的增大而减小？解：(1)∵y＝－x2－2x＋6＝－(x2＋4x)＋6＝－[(x＋2)2－4]＋6＝－(x＋2)2＋8，∴顶点坐标为(－2，8)，对称轴为直线x＝－2.(2)令y＝0，得－x2－2x＋6＝0，解得x1＝－6，x2＝2.∴当－6＜x＜2时，y＞0；当x＞－2时，y随x的增大而减小．活动3　拓展延伸(学生对学)【例2】如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的直角坐标系，左边的一条抛物线可以用y＝x2＋x＋10表示．(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？【互动探索】(1)根据抛物线顶点的坐标公式可以求得顶点的横坐标和纵坐标，根据抛物线顶点的纵坐标可得出钢缆的最低点到桥面的距离；(2)根据两最低点的横坐标可得出两条钢缆最低点之间的距离．【解答】(1)∵y＝x2＋x＋10＝(x＋20)2＋1，∴该抛物线的顶点的横坐标x＝－20，纵坐标y＝1.故钢缆的最低点到桥面的距离是1 m.(2)∵桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左边的一条抛物线可以用y＝ x2＋ x＋10表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称，∴两条钢缆的顶点横坐标分别为x1＝－20，x2＝20，即两条钢缆最低点对应的横坐标分别是x1＝－20，x2＝20，故两条钢缆最低点之间的距离是20－(－20)＝40(m)，即两条钢缆最低点之间的距离是40 m.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，坐标和线段长度之间的转换，关于y轴对称的点和抛物线的关系．环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质：(1)开口方向：当a>0时，向上；当a<0时，向下．(2)对称轴：直线x＝－.(3)顶点坐标：－，.(4)增减性：如果a>0，当x<－时，y随x的增大而减小，当x>－时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<－时，y随x的增大而增大，当x>－时，y随x的增大而减小．练习设计请完成本课时对应练习！