2020-2021学年第二十四章 圆24.3 正多边形和圆复习练习题

24.3　正多边形和圆

测试时间:30分钟

一、选择题

1.(2021山西阳泉平定期末)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,连接AC,则∠BAC的度数是 (　　)

A.60°　　　　　B.50°　　　　　C.40°　　　　　D.30°

2.(2021浙江宁波慈溪期末)一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为 (　　)

A.3∶2　　　　　B.1∶　　　　　C.1∶　　　　　D.∶

3.(2020江苏连云港中考)10个大小相同的正六边形按如图所示的方式紧密排列在同一平面内,A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点,则点O是下列哪个三角形的外心              (　　)

A.△AED　　　　　B.△ABD　　　　　C.△BCD　　　　　D.△ACD

二、填空题

4.(2021广西南宁期中)如图,正六边形ABCDEF的中心为原点O,顶点A、D在x轴上,半径为2,则顶点E的坐标为　　　　. 

5.(2020陕西西安碑林四模)如图,若正六边形ABCDEF的边长为1,连接对角线AC,AD,则△ACD的周长为　　　　. 

6.(2020江苏南京玄武一模)如图,点O为正五边形的中心,☉O与正五边形的每条边都相交,则∠1=　　　　. 

三、解答题

7.如图,已知☉O,用尺规作☉O的内接正四边形ABCD(写出结论,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑).

8.如图,正方形ABCD的外接圆为☉O,点P在劣弧上(不与C点重合).

(1)求∠BPC的度数;

(2)若☉O的半径为8,求正方形ABCD的边长.

9.如图,已知正五边形ABCDE中,BF与CM相交于点P,CF=DM.

(1)求证:△BCF≌△CDM;

(2)求∠BPM的度数.

一、选择题

1.D　连接BO、CO,在正六边形ABCDEF中,∠BOC==60°,∴∠BAC=∠BOC=30°,故选D.

2.C　设此圆的半径为R,则它的内接正六边形的边长为R,它的内接正方形的边长为R,所以内接正六边形与内接正方形的边长比为R∶R=1∶.故选C.

3.D　连接OA、OB、OC、OD、OE,有OA=OC=OD,∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,∴点O是△ACD的外心.故选D.

二、填空题

4.答案　(1,)

解析　如图,连接OE,由正六边形是轴对称图形知,在Rt△OEG中,∠GOE=30°,∵OE=2,∴GE=1,OG=.∴E(1,).

5.答案　3+

解析　∵正六边形ABCDEF中,AB=BC=CD=1,∠B=∠BCD=120°,∴∠ACB=∠BAC=30°,∴∠ACD=90°.∵∠CDA=∠EDA=60°,∴∠CAD=30°,∴AD=2CD=2,AC=,∴△ACD的周长=AD+AC+CD=3+.

6.答案　108°

解析　如图,设AB与CD交于点P,连接OA、OB、OC、OD、OE、BC,则∠AOC=∠COB=∠BOE=∠EOD=∠AOD==72°,∵∠ABC=∠AOC=×72°=36°,∠BOD=∠BOE+∠EOD=72°+72°=144°,∠BCD=∠BOD=×144°=72°,∴∠APC=∠PBC+∠BCP=36°+72°=108°,即∠1=108°.

三、解答题

7.解析　如图,过圆心O作直径DB,作直径BD的垂直平分线,交☉O于A、C两点,连接AB、BC、CD、DA,四边形ABCD即为所求作的正四边形.

8.解析　(1)如图,连接OB,OC.

∵四边形ABCD为正方形,∴∠BOC=90°,

∴∠BPC=∠BOC=45°.

(2)如图,过点O作OE⊥BC于点E,

∵OB=OC,∠BOC=90°,

∴∠OBE=45°,∵OE⊥BC,∴OE=BE,

∵OE2+BE2=OB2,∴BE===4,

∴BC=2BE=2×4=8,即正方形ABCD的边长为8.

9.解析　(1)证明:∵五边形ABCDE是正五边形,

∴BC=CD,∠BCF=∠CDM.

在△BCF和△CDM中,

∴△BCF≌△CDM.

(2)∵五边形ABCDE是正五边形,

∴∠BCF==108°,

∴∠CBF+∠CFB=180°-∠BCF=72°,

∵△BCF≌△CDM,∴∠MCD=∠CBF,

∴∠MCD+∠CFB=72°,

∴∠BPM=∠CPF=180°-(∠MCD+∠CFB)=108°.