北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系4 解直角三角形教学设计

4　解直角三角形

教学目标

一、基本目标

1．理解解直角三角形的意义．

2．理解直角三角形中五个元素的关系，会用已知条件解直角三角形．

二、重难点目标

【教学重点】

直角三角形的解法．

【教学难点】

会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P16～P17的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．任何一个三角形都有六个元素，分别是三条边、三个角．

2．在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把由直角三角形中已知的元素，求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．

3．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.

(1)两锐角互余，即∠A＋∠B＝90°；

(2)三边满足勾股定理，即a2＋b2＝c2；

(3)边与角关系sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，tan A＝，tan B＝.

4．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，那么BC＝8，tan B＝.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝，b＝，求这个三角形的其他元素．

【互动探索】(引发学生思考)由已知条件，需要求出的其他元素有c、∠A、∠B.由勾股定理可求得c，由sin B＝＝＝，可求得∠B，从而由直角三角形两锐角互余求得∠A.

【解答】详细解答过程见教材P16例1.

【互动总结】(学生总结，老师点评)在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第3个元素，那么这个直角三角形的其他元素就都可以确定下来．

【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B，∠C所对的边分别为a、b、c，且b＝30，∠B＝25°，求这个三角形的其他元素．(边长精确到1)

【互动探索】(引发学生思考)已知∠B＝25°，可求得∠A，由sin B＝，可求出c，由tan B＝，可求出a.

【解答】详细解答过程见教材P16～P17例2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形有以下基本类型：

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，则BC等于(　B　)

A．45  B．5

C．   D．

2．如图，已知AD⊥CD，∠ABD＝60°，AB＝4 m，∠ACB＝45°，则AC＝2 m.

3．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，已知c＝10，∠B＝30°，解这个直角三角形．

解：∵在△ABC中，∠C为直角，

∴∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.

∵cos B＝，

∴a＝c·cos B＝10·cos 30°＝10×＝5.

∵sin B＝，

∴b＝c·sin B＝10·sin 30°＝10×＝5.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】某数学兴趣小组想测量河流的宽度AB，河流两岸AC、BD互相平行，河流对岸有两棵树A和C，且A、C之间的距离是60 m，他们在D处测得∠BDC＝36°，前行140米后测得∠BPA＝45°，请根据这些数据求出河流的宽度．(结果精确到0.1米，参考数据：tan 36°≈0.73，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81)

【互动探索】已知一边与一角，求其他边→利用锐角三角函数的定义求解→需作辅助线，构造直角三角形．

【解答】过点C作CH⊥BD，则BH＝AC＝60米．设AB为x米，则CH＝AB＝x米．

在Rt△ABP中，∵tan∠BPA＝＝1，

∴BP＝AB＝x米，

∴HD＝BP＋PD－BH＝x＋140－60＝(x＋80)(米)．

在Rt△CHD中，∵tan∠CDH＝，

∴tan 36°＝，

∴x＝(x＋80)·tan 36°，

∴x≈216.3.

即河流的宽度约为216.3米．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题目一般是根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)

解直角三角形

练习设计

请完成本课时对应练习！