山东省泰安市第四中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题含答案

    高一期中考试数学试题

一、选择题(每题只有一个正确答案，选对得5分，共60分）

1.设集合，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

,选B.

【考点】 集合的运算

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

2.关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述正确的是（    ）

A. p的否定:∃x∈R,x2+1≠0 B. p的否定:∀x∈R,x2+1=0

C. p是真命题,p的否定是假命题 D. p是假命题,p的否定是真命题

【答案】C

【解析】

【分析】

根据含量词的命题的否定与真假即可得到答案.

【详解】对于命题，命题，故A、B都是错误的；

命题为真命题，则为假命题，即C正确，D错误.

故选：C.

【点睛】本题主要涉及含量词的否定，属于基础题.

3.已知在上单调递减，则的取值范围是 （ ）

A.  B.  C.  D. 以上答案都不对

【答案】A

【解析】

试题分析：因为二次函数开口向上，对称轴为，要使得在上单调递减，满足解得，故选择A

考点：二次函数的单调性

4.设偶函数的定义域为R，当x时是增函数，则，，的大小关系是（    ）

A. << B. >>

C. << D. >>

【答案】D

【解析】

【分析】

根据奇偶性得到，结合单调性得到.

【详解】因为是R上的偶函数

所以

又x时是增函数，且

所以

即

故选：D

【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性来比较函数值的大小，属于基础题.

5.函数的定义域是（　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

函数式由两部分构成，且每一部分都是分式，分母又含有根式，求解时既保证分式有意义，还要保证根式有意义．

【详解】解：要使原函数有意义，需解得，所以函数的定义域为．故选C．

【考点】函数的定义域及其求法．

【点睛】先把函数各部分的取值范围确定下来，然后求它们的交集是解决本题的关键．

6.若函数为奇函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据奇函数的性质，，整理化简后，得到的值.

【详解】因为函数为奇函数，

所以

即

整理得，

因为，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数的值，属于简单题.

7.已知在处取得最小值，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由基本不等式求得函数取得最小值时的，代入已知即可.

【详解】，由基本不等式得：

，

当且仅当，即时取等号，

又在处取得最小值，

故，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查基本不等式求解最值得简单应用，属于基础题.

8.设函数，，则的值为（    ）

A.  B. 3 C.  D. 4

【答案】A

【解析】

函数,所以.

所以，

所以.

故选A.

9.已知，那么下列不等式一定正确的是 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据，知的值同号，再由不等式的性质判断即可.

【详解】由，得或，

当时，由不等式的性质得，；

当时，由不等式的性质得，.

综上：当时，，即D选项一定正确.

故选：D.

【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.

10.已知 定义在上的偶函数,且在上是减函数，则满足的实数的取值范围是(          )．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意 定义在上的偶函数,且在上是减函数可知，根据偶函数的性质关于原点对称的区间单调性相反，可推得在上是增函数，再利用函数单调性，列出不等式，即可求解出结果．

【详解】根据题意 定义在上的偶函数,且在上是减函数，可得在上是增函数．由可得，应满足，解得 ，故答案选C．

【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及根据函数单调性求解不等式，解题的一般步骤为：（1）明确已知函数的单调性 （2）根据已知条件列出关于所求函数的的不等式． （3）正确解出并用区间或集合表示．

11.不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】

分为，，三类结合二次函数的性质讨论.

【详解】当时，不等式为，在恒成立；

当时，不等式明显在不恒成立；

当即时，若不等式对一切恒成立，

则，解得；

综上，实数的取值范围是，

故选C.

【点睛】本题考查含有参数的一元二次不等式恒成立.常用方法：1、分离参数，转化为求值域；2、不分离参数，根据二次函数的性质求解.

12.对任意，函数，则的最小值为(　　 )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】

分别作出三个函数的图象，利用数形结合求出f（x）的最小值

【详解】分别作出y＝﹣x+3，yx，y＝x2﹣4x+3的图象如图：（阴影部分对应的曲线ABCDE），

则由图象可知函数f（x）在C处取得最小值，

由，得x＝1，y＝2，即f（x）的最小值为2．

故选A．

【点睛】本题主要考查函数最值的判断，利用数形结合是解决本题的关键．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.命题“”的否定是_________.

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用全称命题否定是特称命题写出结果即可.

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以：的否定是：，

故答案：.

【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的关系，属于基础题.

14.已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，则f(x)＝________．

【答案】

【解析】

【分析】

因为2f(x)＋f(－x)＝3x，①,所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②,解上面两个方程即得解.

【详解】因为2f(x)＋f(－x)＝3x，①

所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②

解由①②组成的方程组得f(x)＝3x.

故答案为3x

【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

15.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

化简方程得，利用基本不等式即可得到答案.

详解】由正数，满足得，，即，

，

当且仅当，即时等号成立.

故答案为：

【点睛】本题考查基本不等式，恒等式的利用是关键，属于基础题.

16.若函数在上为增函数，则取值范围为_____.

【答案】

【解析】

函数在上为增函数，则需，

解得，故填.

三、解答题（本题共6个大题，总分70分）

17.已知的定义域为集合A，集合B=.

（1）求集合A；

（2）若AB,求实数的取值范围.

【答案】（1）;（2）.

【解析】

【分析】

（1）求定义域注意：根号下被开方数大于等于，分式的分母不为；

（2）由，分别考虑与区间左端点的大小关系、与区间右端点的大小关系，不熟练的情况下，可画数轴去比较大小.

【详解】（1）由已知得  即

 ∴

（2）∵

∴   解得

∴取值范围.

【点睛】（1）子集关系中包含了相等关系，这一点考虑问题的时候需要注意；

（2）两个集合满足某种关系，当需要考虑到端点处取等号的情况，若不确定，可利用数轴直观进行分析（数形结合）.

18.已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：x2+mx﹣6m2≤0，m＞0．

（1）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围；

（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求m的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：1）分别求出为真时的的范围，根据充分必要条件的定义得到关于的不等式组，解出即可；

（2）求出是的充分不必要条件，得到关于的不等式组，解出即可．

试题解析：若命题为真，则，若命题为真，则，

（1）若q是p的必要不充分条件，则或解得，故的取值范围为．

（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，则或 解得，故m的取值范围为．

19.已知f（x）为二次函数，且．

（1）求f（x）的表达式；

（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明．

【答案】（1）；（2）增函数，证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）利用题中所给的条件，先设出函数的解析式，利用，将式子化为恒等式，利用对应项系数相等，得到方程组，求得结果；

（2）先化简函数解析式，利用单调性的定义，证明得到函数的单调性，得到结果.

【详解】（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

由条件得：a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x，

从而，   解得：，

所以f（x）=x2﹣2x﹣1；

（2）函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．

理由如下：g（x）==，

设设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

则g（x1）﹣g（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）（1+），

∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，1+＞0，

∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），

所以函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．

【点睛】该题考查的是有关函数的解析式的求解以及单调性的判断与证明的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数解析式，用定义法证明函数的单调性，注意要掌握利用定义法证明函数单调性的步骤.

20.已知不等式的解集是．

（1）求的值；

（2）解不等式.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）由题意，利用根与系数的关系即可求得的值；

（2）将的值代入分类讨论即可.

【详解】（1）由题意知，，且和是方程的两根，

，解得.

（2）由（1）知，原不等式变为，

若，即时，不等式的解为；

若，即时，不等式的解为；

若，即时，不等式的解为；

综上：当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和根与系数的关系，考查分类讨论思想，属于基础题.

21.已知函数，若在区间上有最大值1．

（1）求的值；

（2）若在上单调，求数的取值范围．

【答案】（1）-1；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据函数的开口方向和对称轴，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值是f（2）=1，求出a的值即可；（2）求出f（x）的解析式，求出g（x）的表达式，根据函数的单调性求出m的范围即可．

【详解】因为函数的图象是抛物线，，

所以开口向下，对称轴是直线，

所以函数在单调递减，

所以当时，，

因为，，

所以，

，

在上单调，

，或.

从而，或

所以，m的取值范围是.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题;二次函数在小区间上的单调性，需要讨论二次函数对称轴和区间的位置关系,结合函数图像的特点得到函数的单调性，进而得到最值.

22.某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.

（1）将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

【答案】（1） ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大

【解析】

【分析】

（1）先求出，利用题设中给出的计算公式可得故.

（2）利用基本不等式可求函数的最大值.

【详解】（1）由题意可知，当时， （万件），

所以，所以，所以，

每件产品的销售价格为 （万元），

所以年利润

所以，其中.

（2）因为时，，即

所以，当且仅当，即 （万元）时，  （万元）.

所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.

【点睛】本题为应用题，主要考查数学建模和解模，注意建模时要依据题设给出的公式构建模型并关注自变量的范围，解模时可以依据模型的函数特点选择合适的解模方法（如基本不等式、导数等）.