山东省泰安市重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试——数学试题

这是一份山东省泰安市重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试——数学试题，共17页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，如图，平行六面体中，，，，则，在正三棱柱，已知直线，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ A ）
A．B．1C．D．
解：虚部为-1，故选A.
2．在△中，为边上的中线，为的中点，则（ A ）
A． B． C．D．
解：根据向量的运算法则，可得
，所以，故选A.
3．某校共有学生3 000名,各年级男、女生人数如表所示,已知高一、高二年级共有男生1 120人,现用分层抽样的方法在全校抽取60名学生,则应在高三年级抽取的学生人数为( C )
A．16B．18C．20D．24
解：根据题意得,高一、高二学生总数是1120+(456+424)=2000,∴高三学生总数是3000-2000=1000.用分层抽样法在高三年级抽取的学生数为×60=20.故选C.
4．已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( B )
A．0.4B．0.6C．0.8D．1
解：件产品中有件次品，记为，，有件合格品，记为，，，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件“恰有一件次品”，则，故选B．
5．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ B ）
A．14斛 B．22斛 C．36斛D．66斛
解：试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.
6．如图，平行六面体中，，，，则（D）
A．B．C．D．
解：，
,.故选：D
7．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，，分别为和的中点，当和所成角的余弦值为时，与平面所成角的正弦值为（ B ）
A．B．C．D．
解：设，以为原点，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，
，，，，，，和所成角的余弦值为，
，
解得．，，，平面的法向量，
与平面所成角的正弦值为：．
故选：B．
8．已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（B）
A．2B．C．3D．
.故选B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．已知直线，则下列结论正确的是（ CD ）
A．直线的倾斜角是B．若直线则
C．点到直线的距离是D．过与直线平行的直线方程是
解：对于A．直线的斜率k＝tanθ，故直线l的倾斜角是，故A错误；
对于B．因为直线的斜率k′，kk′＝1≠﹣1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；
对于C．点到直线l的距离d2，故C正确；
对于D．过与直线l平行的直线方程是y﹣2（x﹣2），整理得：，故D正确．综上所述，正确的选项为CD．故选：CD．
10．在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ABC）
A．成绩在的考生人数最多B．不及格的考生人数为1000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D．考生竞赛成绩的中位数为75分
解：由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确；
考生竞赛成绩的平均分约为，故C正确；
因为成绩在的频率为0.45，在的频率为0.3，
所以中位数为，故D错误.故选：ABC.
11．如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：( ABD )
A．∥平面B．平面∥平面
C．直线与直线所成角的大小为D．
解：选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以∥ON,由线面平行的判定定理可得，∥平面；选项B, 由,分别为侧棱,的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；选项C,因为MN∥CD，所以∠ PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又∥ON，所以，故ABD均正确.
12．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ACD ）
A．若，则点是边的中点
B．若，则点在边的延长线上
C．若，则点是的重心
D．若，且，则的面积是的面积的
解：A中：,即：
,则点是边的中点
B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.
C.
设中点D,则,，由重心性质可知C成立.
D．且设，所以，可知三点共线，所以的面积是面积的，故选择ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在中，，，D为BC边上的点，且，，则_1_____．
解：∵
∴，且为的中点，
∴在直角三角形中可求得，
∵∴，故答案为1.
14．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是
解:由直线，即，此时直线恒过点，
则直线的斜率，直线的斜率，
若直线与线段相交，则，即，
所以实数的取值范围是．
15．在空间直角坐标系中，点为平面ABC外一点，其中若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为
解:在空间直角坐标系中，
所以，而平面的一个法向量为，
所以，即，解得，
所以，点，则，
则由点到平面距离公式可得，故答案为：.
16．已知空间四边形中，，，，若平面平面，则该几何体的外接球表面积为__________．
解:
如图：由于是等边三角形，所以到A,B,D三点距离相等的点在重心O且垂直是平面ABD的直线上，又因为，所以到B,C,D三点距离相等的点在过BD中点E且与平面BCD垂直的直线上，两直线的交点是O,所以球心为O.半径R=，．填．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17．（本小题10分）已知直线恒过定点.
（1）若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，求直线的方程.
解:直线可化为，
由可得，所以点A的坐标为.
（1）设直线的方程为，
将点A代入方程可得，所以直线的方程为,
（2）①当直线斜率不存在时，因为直线过点A，所以直线方程为，
符合原点到直线的距离等于3.
②当直线斜率不存在时，设直线方程为，即
因为原点到直线的距离为3，所以，解得
所以直线的方程为
综上所以直线的方程为或.
18．（本小题12分）如图，在中，已知为线段上的一点，.
（1）若，求，的值；
（2）若，，，且与的夹角为时，求的值.
解:(1)∵,∴,即2,
∴,即x=,y=.
(2)∵=3,∴=3+3,即4+3,
∴.∴x=,y=.
·()
==×22-×42+×4×2×=-9.
19．（本小题12分）如图，在△ABC中，A（5，–2），B（7，4），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．
（1）求点C的坐标；（2）求△ABC的面积．
解:（1）由题意，设点，
根据AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，
根据中点公式，可得，解得，所以点的坐标是．
（2）因为，
得．，
所以直线的方程为，即，
故点到直线的距离，
所以的面积．
20．（本小题12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线和所成角；
（3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长.
解:（1）∵，，∴，
∵平面平面，
平面平面，平面，∴平面.
（2）∵，，
∴，，
如图，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系,
∵，，，，
∴，，
∵，
∴异面直线和所成角为.
（3）设为平面的法向量，
∵，，
∴，即，设，，
∴，
设与平面所成角为，
∵，∴，
，，，
（舍），，∴的长为.
21．（本小题12分）某校两个班级100名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区如下表：
（1）求频率表分布直方图中的值；
（2）根据频率表分布直方图，估计这100名学生这次考试成绩的平均分；
（3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.
解：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．
（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5
（3）由直方图，得：
第3组人数为0.3×100=30，第4组人数为0.2×100=20人，
第5组人数为0.1×100=10人．
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：=1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），
其中恰有1人的分数不低于9（0分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为.
22．（本小题12分）如图所示的几何体中，平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，点M，N分别在棱FD，ED上.
（1）若平面MAC，设，求的值；
（2）若，平面AEN平面EDC所成的锐二面角为，求BE的长.
解:（1）解：连接，，设，
因为四边形为菱形，所以为与的中点，
连接，因为∥平面，且平面平面，
所以∥，因为为的中点，所以为的中点，
即；
（2），又四边形ABCD为菱形，
则四边形ABCD为正方形，
，又因为平面，可如图建立空间直角坐标系，
则，，，
设，则，
因为，所以，
所以，设平面的法向量为，
又，
由 即，取，
设平面的法向量为，
又
由 得，取，
因为平面与平面 所成的锐二面角为，
所以，
解得，即的长为.
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