浙江省温州市“十五校联合体”2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题含解析

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浙江省温州市“十五校联合体”2018-2019学年高一上学期期中联考

数学试题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知集合P={-1，0，1，2}，Q={-1，0，1}，则（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合之间的关系即可判断；

【详解】集合P={-1，0，1，2}，Q={-1，0，1}，
可知集合Q中的元素都在集合P中，
所以Q⊆P．
故选：C．

【点睛】本题主要考查集合之间的关系判断，比较基础．

2.已知幂函数f（x）=xa过点（4，2），则f（x）的解析式是（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据幂函数的概念设f（x）=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式．

【详解】设f（x）=xα，
∵幂函数y=f（x）的图象过点 （4，2），
∴4α=2
∴α=．
这个函数解析式为f（x）=
故选：B．

【点睛】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．

3.设f（x）=，则下列结论错误的是（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．

【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，=f（x），A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，=f（x），D正确；
故选：A．

【点睛】本题考查函数的解析式，关键是掌握函数解析式的求法，属于基础题．

4.函数f（x）=x2-2x+t（t为常数，且t∈R）在[-2，3]上的最大值是（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求函数f（x）=x2-2x-t在区间[-2，3]上的对称轴，然后结合二次函数的图象和性质，判断函数在[-2.3]上单调性，进而可求函数的最值．

【详解】∵函数y=x2-2x+t的图象是开口方向朝上，以x=1为对称轴的抛物线，
∴函数f（x）=x2-2x+t在区间[-2，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，
∵f（-2）=t+8＞f（3）=3+t，
∴函数f（x）=x2-2x+t在[-2，3]上的最大值是t+8，
故选：C．

【点睛】本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，其中根据二次函数的图象和性质．

5.已知函数，则

A. 是奇函数，且在R上是增函数    B. 是偶函数，且在R上是增函数

C. 是奇函数，且在R上是减函数    D. 是偶函数，且在R上是减函数

【答案】A

【解析】

分析：讨论函数的性质，可得答案.

详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，

又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数。

故选A.

点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.

6.已知集合，则（ ）

A.     B.

C.     D.

【答案】A

【解析】

试题分析：，

所以 。

考点：本题考查集合的运算；指数函数的值域；对数函数的值域。

点评：注意集合的区别，前者表示函数的值域，后者表示函数的定义域。

7.已知函数(其中)的图象如右图所示，则函数的图象是( )

【答案】A

【解析】

试题分析：由函数图像可知函数与x轴的交点横坐标为，且

，函数为减函数，因此A项正确

考点：二次函数与指数函数性质

8.给出下列三个等式：f（x+y）=f（x）•f（y），f（x•y）=f（x）+f（y），f（ax+by）=af（x）+bf（y）（a+b=1）．下列选项中，不满足其中任何一个等式的是（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

依据指数函数、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而B满足f（ax+by）=af（x）+bf（y）（a+b=1），D不满足其中任何一个等式．

【详解】f（x）=3x是指数函数，有3x+y=3x•3y，满足f（x+y）=f（x）•f（y），排除A；
f（x）=log2x是对数函数，有log2（xy）=log2x+log2y，满足f（xy）=f（x）+f（y），排除C；
f（x）=4-x为一次函数，有4-（ax+by）=a（4-x）+b（4-y）（a+b=1），
满足f（ax+by）=af（x）+bf（y）（a+b=1），排除B．
故选：D．

【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数以及一次函数的性质，运用排除法是解题的关键，属于中档题．

9.函数的值域是（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出，容易求出，从而求出1≤y2≤2，进而得出该函数的值域．

【详解】；
∵；
∴1≤y2≤2；
∵y＞0；
∴；
∴原函数的值域为．
故选：C．

【点睛】本题考查函数值域的概念及求法，不等式a2+b2≥2ab的应用．

10.函数的所有零点的积为m，则有（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

作函数y=e-x与y=|log2x|的图象，设两个交点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）（不妨设x1＜x2），得到0＜x1＜1＜x2＜2，运用对数的运算性质可得m的范围．

【详解】令f（x）=0，即e-x=|log2x|，
作函数y=e-x与y=|log2x|的图象，

设两个交点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）
（不妨设x1＜x2），
结合图象可知，0＜x1＜1＜x2＜2，
即有e-x1=-log2x1，①
e-x2=log2x2，②
由-x1＞-x2，
②-①可得log2x2+log2x1＜0，
即有0＜x1x2＜1，
即m∈（0，1）．
故选：B．

【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图象，以及转化思想和数形结合的思想应用，属于中档题．

二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）

11.已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2，3}，则集合A的子集个数有______个；这样的集合B有______个．

【答案】    (1). 4    (2). 4

【解析】

【分析】

可写出集合A的所有子集，从而得出集合A的子集个数，可以写出满足A∪B={1，2，3}的所有集合B．

【详解】A={1，2}的子集为：∅，{1}，{2}，{1，2}；
∴集合A子集个数有4个；
∵A∪B={1，2，3}；
∴B={3}，{1，3}，{2，3}，或{1，2，3}；
∴这样的集合B有4个．
故答案为：4，4．

【点睛】本题考查列举法表示集合的概念，并集的概念及运算，以及子集的概念．

12.函数y=ln（x-1）的定义域为______；函数y=ln（x-1）的值域为______．

【答案】    (1). （1，+∞）     (2). R

【解析】

【分析】

由对数式的真数大于0可得原函数的定义域，再由真数能够取到大于0的所有实数，可得原函数的值域为R．

【详解】：由x-1＞0，得x＞1，
∴函数y=ln（x-1）的定义域为（1，+∞）；
令t=x-1，则函数y=ln（x-1）化为y=lnt，
∵t可以取到大于0的所有实数，
∴函数y=ln（x-1）的值域为R．
故答案为：（1，+∞）；R．

【点睛】本题考查函数的定义域、值域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题．

13.已知函数，则f（f（-1））=______；不等式f（x）≥1的解集为______．

【答案】    (1). 1    (2). [-1，1]

【解析】

【分析】

根据题意，由函数的解析式计算可得f（-1）的值，进而计算可得f（f（-1））的值，对于f（x）≥1，结合函数的解析式分2种情况讨论：①，x≤0时，f（x）≥1即x+2≥1且x≤0，②，x＞0时，f（x）≥1即-x+2≥1且x＞0，分别解出不等式，综合即可得不等式的解集．

【详解】根据题意，函数，
则f（-1）=（-1）+2=1，则f（f（-1））=-1+2=1；
对于f（x）≥1，分2种情况讨论：
①，x≤0时，f（x）≥1即x+2≥1且x≤0，
解可得：-1≤x≤0，
②，x＞0时，f（x）≥1即-x+2≥1且x＞0，
解可得：0＜x≤1，
综合可得：不等式f（x）≥1的解集为[-1，1]；
故答案为：1、[-1，1]．

【点睛】本题考查分段函数的性质，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．

14.lg4+2lg5=______；若loga2=m，loga3=n，则=______．

【答案】    (1). 2    (2). 2

【解析】

【分析】

直接利用对数的运算性质进行化简即可求解lg4+2lg5；由指数及对数的运算性质及对数恒等式进行化简即可求解．

【详解】lg4+2lg5=lg4+lg25=lg100=2，
∵loga2=m，loga3=n，
则．
故答案为：2；2．

【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．

15.若2x+1＜22-x，则实数x的取值范围是______．

【答案】（-∞，）

【解析】

【分析】

根据指数函数的定义和性质，把不等式化为x+1＜2-x，求出解集即可．

【详解】2x+1＜22-x，
即x+1＜2-x，
解得x＜，
所以实数x的取值范围是（-∞，）．
故答案为：（-∞，）．

【点睛】本题考查了指数函数不等式的解法与应用问题，是基础题目．

16.设函数，函数，则f（-x）g（-x）+f（x）g（x）=______

【答案】0

【解析】

【分析】

根据题意，结合函数奇偶性的定义分析可得f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，据此可得f（-x）g（-x）+f（x）g（x）=-f（x）g（x）+f（x）g（x）=0，即可得答案．

【详解】根据题意，函数，有f（-x）=f（x），则函数f（x）为奇函数，
，有g（-x）==g（x），则函数g（x）为偶函数，
则f（-x）g（-x）+f（x）g（x）=-f（x）g（x）+f（x）g（x）=0.
故答案为：0．

【点睛】本题考查函数的奇偶性的判定以及应用，注意结合函数的奇偶性进行分析．

17.已知函数，关于x的方程f（x）=a有2个不同的实根，则实数a的取值范围为______．

【答案】{-4}∪（0，+∞）

【解析】

【分析】

讨论a＞0，a＜0，作出函数图象，根据方程解的个数列出方程，即可得出a的范围．

【详解】若a＞0，则f（x）=x（x+a）在[0，+∞）上单调递增，
f（x）=x（x-a）在（-∞，0）上单调递减，
∴f（x）=a有两个根，可得a＞0；
若a＜0，作出f（x）的函数图象如图所示：

∵f（x）=a有2个不同的根，
∴=a，解得．
故答案为：{-4}∪（0，+∞）．

【点睛】本题考查了方程根的个数，考查转化思想和数形结合思想方法，属于中档题

三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）

18.已知集合A={x|0＜x+2≤7}，集合B={x|x2-4x-12≤0}，全集U=R，求：

（Ⅰ）A∩B；

（Ⅱ）A∩（∁UB）．

【答案】（Ⅰ）{x|-2＜x≤5}； （Ⅱ） .

【解析】

【分析】

（Ⅰ）解出集合A，B，然后进行交集的运算即可；
（Ⅱ）进行交集、补集的运算即可．

【详解】（Ⅰ）A={x|-2＜x≤5}，B={x|-2≤x≤6}；

∴A∩B={x|-2＜x≤5}；

（Ⅱ）∁UB={x|x＜-2，或x＞6}；

∴A∩（∁UB）=∅．

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，描述法的定义，以及交集、补集的运算．

19.计算：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）设3x=4y=6，求的值．

【答案】（Ⅰ）-0.7； （Ⅱ）1 .

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用指数性质、运算法则直接求解．
（Ⅱ）推导出x=log36，，y=log46，==log62，由此能求出的值．

【详解】（Ⅰ）=0.3-++1=-0.7．

（Ⅱ）设3x=4y=6，则x=log36，，

y=log46，=log64=2log62，=log62，

∴=log63+log62=1．

【点睛】本题考查指函数式、对数式化简、求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

20.已知函数（a∈R）．

（Ⅰ）若f（1）=27，求a的值；

（Ⅱ）若f（x）有最大值9，求a的值．

【答案】（Ⅰ）a=2； （Ⅱ）a=1.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据题意，将x=1代入函数的解析式可得f（1）=3a+1=27，解可得a的值，即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，由f（x）有最大值9，分析可得函数y=-x2+2x+a有最大值2，结合二次函数的性质分析可得=2，解可得a的值，即可得答案．

【详解】（Ⅰ）根据题意，函数，

又由f（1）=27，则f（1）=3a+1=27，

解可得a=2；

（Ⅱ）若f（x）有最大值9，即≤9，

则有-x2+2x+a≤2，

即函数y=-x2+2x+a有最大值2，则有=2，

解可得a=1．

【点睛】本题考查指数型复合函数的性质以及应用，注意结合二次函数的性质分析，属于基础题．

21.已知函数f（x）=ax+bx（其中a，b为常数，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1）的图象经过点A（1，6），．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若a＞b，函数，求函数g（x）在[-1，2]上的值域．

【答案】（Ⅰ）f（x）=2x+4x； （Ⅱ）[，4].

【解析】

【分析】

（Ⅰ）把A、B两点的坐标代入函数的解析式，求出a、b的值，可得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）令t=，在[-1，2]上，t∈[，2]，g（x）=h（t）=t2-t+2，利用二次函数的性质求得函数g（x）在[-1，2]上的值域．

【详解】（Ⅰ）∵函数f（x）=ax+bx（其中a，b为常数，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1）

的图象经过点A（1，6），．

∴f（1）=a+b=6，且f（-1）=+=，∴a=2，b=4；或a =4，b=2．

故有f（x）=2x+4x．

（Ⅱ）若a＞b，则a=4，b=2，函数=-+2，

令t=，在[-1，2]上，t∈[，2]，g（x）=h（t）=t2-t+2=+∈[，4]，

故函数g（x）在[-1，2]上的值域为[，4]．

【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求二次函数的在闭区间上的最值，属于基础题．

22.已知函数．

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，判断并证明函数f（x）的奇偶性；

（Ⅱ）是否存在这样的实数k，使f（k-x2）+f（2k-x4）≥0对一切恒成立，若存在，试求出k的取值集合；若不存在，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）不存在满足题意的实数k.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）真数大于0解不等式可得定义域；奇偶性定义判断奇偶性；
（Ⅱ）假设存在实数k后，利用奇偶性和单调性去掉函数符号后变成具体不等数组，然后转化为最值即可得．

【详解】（Ⅰ）由＞0 得-2＜x＜2，

所以f（x）的定义域为（-2，2）；

∵f（-x）=lg=-lg=-f（x），

∴f（x）是奇函数．

（Ⅱ）假设存在满足题意的实数k，则

令t===-1，x∈（-2，2），

则t在（-2，2）上单调递减，又y=lgt在（0，+∞）上单调递增，

于是函数f（x）在（-2，2）上单调递减，

∴已知不等式f（k-x2）+f（2k-x4）≥0⇔f（k-x2）≥-f（2k-x4）

⇔f（k-x2）≥f（x4-2k）⇔-2＜k-x2≤x4-2k＜2，

由题意知-2＜k-x2≤x4-2k＜2对一切x∈[-，]恒成立，

得不等式组对一切x∈[-，]恒成立，

∴，即k∈∅．

故不存在满足题意的实数k．

【点睛】本题考查了函数的定义域、奇偶性、单调性、函数的恒成立．属难题．