2022-2023学年浙江省温州市十校联合体高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省温州市十校联合体高二（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={x|x2−4x+3<0}，B={x|2−x>0}，则A∩B=( )
A. (−3,−2)B. (−3,2)C. (1,2)D. (2,3)
2. “a>b>0”是“1a<1b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数z满足为虚数单位)，则在复平面复数z所对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 对于函数f(x)=sin(2x−π3)，下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位得到
B. 函数f(x)的图象可以将函数y=sin(x−π3)图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到
C. 若a≠b且f(a)=f(b)=0，则|a−b|的最小值为π2
D. 若为偶函数，则φ=kπ+π3,k∈Z
5. 如图，三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=2，AB=1，BC= 3，则球O的表面积是( )
A. 6π
B. 8π
C. 10π
D. 12π
6. 已知实数a，b，c，其中，，则a，b，c的大小关系是( )
A. c>b>aB. b>c>aC. a>b>cD. b>a>c
7. 2023年2月10日，神舟十五号三位航天员完成出舱活动全部既定任务，中国空间站全面建成后的首次出舱活动取得圆满成功.该航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去A、B、C三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家.已知甲、乙到同一所学校，丙不到A学校，则不同的安排方式有多少种( )
A. 12种B. 24种C. 36种D. 30种
8. 点A在线段BC上(不含端点)，O为直线BC外一点，且满足，则的最小值为( )
A. 97B. 95C. 87D. 85
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列四个选项中，计算结果是 32的是( )
A. cs215°−sin215°B.
C. D.
10. 关于平面向量，有下列四个命题，则( )
A. 已知向量，若a/​/b，则t=4
B. 设向量a,b,c，则(a⋅b)c=a(b⋅c)
C. 若向量a和向量b是单位向量，且〈a,b〉=π3，则(2a−b)⊥b
D. 若向量，则向量a在向量b上的投影向量是(−45,−85)
11. 一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件Ai为“第i次取到的球是红球(i=1,2)”，事件B为“两次取到的球颜色相同”，事件C为“两次取到的球颜色不同”，则( )
A. A1与A2互斥B. P(A2)=12C. D. A1与B相互独立
12. f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(−2x+4)=−f(2x)，当0≤x≤1时，f(x)=2x−1，则下列选项正确的是( )
A. 4是函数f(x)的一个周期B. x=1是函数f(x)图象的一条对称轴
C. 函数f(x+2)是偶函数D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. (1+x)(2−x)4的展开式中x2的系数为______ .(用数字作答)
14. 已知变量x和y的统计数据如下表：
由表中的数据得到线性回归方程，那么当x=−1时残差为______ .(注：残差=观测值−预测值)
15. 已知函数f(x)=cs(ωx−π6)(ω>0)在区间上有且只有3个零点，则ω的取值范围是______ ．
16. 已知△ABC为正三角形，其边长是2，空间中动点P满足：直线AP与平面ABC所成角为60°，则△PBC面积的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知，函数f(x)=m⋅n
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈[−π8,π2]，求函数f(x)的值域．
18. (本小题12.0分)
中国国家流感中心3月2日发布的2023年第8周流感检测周报称：本周南、北方省份流感病毒检测阳性率继续上升.某医院用甲、乙两种疗法治疗流感患者，为了解两种治疗方案的效果，现随机抽取105名患者，调查每人的恢复期，得到如下列联表(注：恢复期大于7天为恢复期长)
(1)是否有95%的把握认为“恢复期长短”与治疗方案有关；
(2)现按分层随机抽样的方法，从采用乙治疗方案的样本中随机抽取10人，从这10人中再随机抽取3人，求其中恢复期长的人数X的分布列和期望．
(3)假设甲方案治疗的恢复期为Y，统计发现Y近似服从正态分布N(5,1)，若某患者采用甲方案治疗，则7天后是否有大于95%的把握恢复健康？请说明理由．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
若ξ～N(μ,σ2)则，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974
19. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．
从条件①、条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，
(1)求角A；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
条件①：(b+c)(sinB+sinC)=asinA+3bsinC
条件②：cs2(π2+A)+csA=54
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
20. (本小题12.0分)
已知三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，且A1B⊥AB，平面ABC⊥平面A1BC，三棱锥的体积为 3．
(1)求证：A1B⊥AC；
(2)求直线AB与平面AA1C1C所成角的正弦值．
21. (本小题12.0分)
党的二十大报告中提出：“我们要坚持以推动高质量发展为主题，推动经济实现质的有效提升和量的合理增长”.为了适应新形势，满足市场需求，某企业准备购进新型机器以提高生产效益.已知生产产品的质量以其质量指标值m来衡量，并按照质量指标值m划分产品等级如图表1：
图表1
现从试用的新机器生产的产品中随机抽取200件作为样品，检验其质量指标值m，得到频率分布直方图，如图表2：

(1)根据样本估计总体的思想，求该产品的质量指标值m的第70百分位数(精确到0.1)；
(2)整理该企业的以往销量数据，获得信息如图表3：
图表3
(产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值)
已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件：
①质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)不低于35．
②单件产品平均利润不低于4元．
已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x2−2ax+b，g(x)=x−a，a∈R，b∈R
(1)若函数f(x)在区间[−3,a]的值域为[−3,a]，求a，b的值；
(2)令h(x)=f(x)+g(x)−|f(x)−g(x)|2，
(i)若h(x)=g(x)在R上恒成立，求证：；
(ii)若对任意实数b∈[−1,1]，方程h(x)=a恒有三个不等的实数根，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得A={x|1故A∩B={x|1故选：C．
解不等式求出A，B，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】a>b>0时，有aab>bab，即1a<1b；
1a<1b时，可能bb>0，
所以“a>b>0”是“1a<1b”的充分不必要条件．
故选：A．
由充分条件必要条件的定义，结合不等式的性质判断结论．
本题考查了充分条件必要条件的定义和不等式的性质，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：，
，
∴在复平面复数z所对应的点的坐标为(25,15)，在第一象限．
故选：A．
利用复数的运算性质求出z，再结合复数的几何意义求解．
本题主要考查了复数的运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位得到函数f(x)=sin(2x−2π3)，所以A不正确；
将函数y=sin(x−π3)图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到函数f(x)=sin(12x−π3)，所以B不正确；
因为函数的周期为π，所以a≠b且f(a)=f(b)=0，则|a−b|的最小值为π2，所以C正确；
为偶函数，可得函数，φ−π3=kπ+π2，则，所以D不正确；
故选：C．
利用函数的图象的变换判断A、B；通过函数的周期，转化求解判断C；利用函数的奇偶性判断D即可．
本题考查三角函数的图象变换，函数的周期的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
5.【答案】B
【解析】解：取PC的中点O，连结OA、OB
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，
∵OB是Rt△PBC的斜边上的中线，OB=12PC．
同理可得：Rt△PAC中，OA=12PC，
∴OA=OB=OC=OP=12PC，可得P、A、B、C四点在以O为球心的球面上．
Rt△ABC中，AB=1，BC= 3，可得AC=2，
Rt△PAC中，PA=2，可得PC=2 2．
∴球O的半径R= 2，可得球O的表面积为S=4πR2=8π．
故选：B．
取PC的中点O，连结OA、OB.由线面垂直的判定与性质，证出BC⊥PB且PA⊥AC，得到△PAC与△PBC是具有公共斜边的直角三角形，从而得出OA=OB=OC=OP=12PC，所以P、A、B、C四点在以O为球心的球面上．根据题中的数据，利用勾股定理算出PC长，进而得到球半径R，利用球的表面积公式加以计算，可得答案．
本题考查球的表面积的求法，考查构造法、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合思想，属中档题．
6.【答案】D
【解析】解：已知2a=lg12a，
则，
即0又，
；
又，
∴c<0，
即b>a>c．
故选：D．
由对数的运算判断即可得解．
本题考查了对数的运算，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：
①5人分为3、1、1的三组，且甲乙丙三人在一组，有C21A22=4种安排方法；
②5人分为3、1、1的三组，且甲乙和丁或戊中的1人在一组，有C21C21A22=8种安排方法；
③5人分为2、2、1的三组，且甲乙在一组，有C31C21A22=12种安排方法；
则有4+8+12=24种安排方法．
故选：B．
根据题意，分3种情况讨论：①5人分为3、1、1的三组，且甲乙丙三人在一组，②5人分为3、1、1的三组，且甲乙和丁或戊中的1人在一组，③5人分为2、2、1的三组，且甲乙在一组，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：，
则，
∵点A在线段BC上(不含端点)，
∴a+2b=1，
，
，
当且仅当，即a=12b=14时，等号成立，
故的最小值为85．
故选：D．
根据已知条件，结合平面向量的基本定理，推得a+2b=1，再结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：，A正确；
，B正确；
，C正确；
，D错误．
故选：ABC．
根据二倍角的余弦公式可判断A的正误；根据两角差的正弦公式和三角函数的诱导公式可判断B的正误；根据终边相同的角的三角函数即可判断C的正误；根据二倍角的正切公式可判断D的正误．
本题考查了二倍角的余弦和正切公式，三角函数的诱导公式，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：，若a/​/b，则，即t2−2t−8=0，解得t=−2或4，∴A错误；
a⋅b≠0且b⋅c≠0，且a,c不共线时，，B错误；
a,b是单位向量，=π3时，，∴(2a−b)⊥b，C正确；
，a在b上的投影向量为：，D正确．
故选：CD．
根据平行向量的坐标关系即可判断A的正误；根据向量数乘的几何意义即可判断B的正误；根据向量垂直的充要条件及向量数量积的运算即可判断C的正误；根据投影向量的计算公式即可判断D的正误．
本题考查了平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，向量数乘的几何意义，向量坐标的数量积和数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，A1与A2可以同时发生，即两次取到的都是红球，则A1与A2不互斥，A错误；
对于B，箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，则P(A2)=12，B正确；
对于C，，，则，C正确；
对于D，P(A1)=12，P(B)=1−P(C)=13，，则有，A1与B相互独立，D正确．
故选：BCD．
根据题意，由条件概率的定义以及互斥事件和相互独立事件的定义，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及互斥事件和相互独立事件的定义，属于基础题．
12.【答案】AB
【解析】解：对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(−x)=−f(x)，
又因为f(−2x+4)=−f(2x)，即，
所以f(x+4)=f(x)，
所以f(x)为周期函数，周期为4，故A正确；
对于B，由f(x)+f(4−x)=0，可得f(x+2)+f(2−x)=0，
由f(x)+f(−x)=0，可得，
所以，
所以f(x)关于x=1对称，故B正确；
对于C，由f(x)关于(0,0)与(2,0)对称，
可知f(x+2)是奇函数，故C错误；
对于D项：当0≤x≤1时，f(x)=2x−1，则f(0)=0，f(1)=1，
依据对称性可知，当k为偶数时，f(k)=0，当k为奇数时，，
故，故D错误
故选：AB．
对于A，根据题意可得f(x)是以4为周期的周期函数；对于B，由f(x+2)+f(2−x)=0，，综合可得f(x)关于x=1对称；对于C，由f(x)关于(0,0)与(2,0)对称，可判断选项C；对于D，分析可知，当k为偶数时，f(k)=0，当k为奇数时，，由此可判断选项D．
本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】−8
【解析】解：(1+x)(2−x)4的展开式中x2的系数为．
故答案为：−8．
由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中x2的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
14.【答案】−0.6
【解析】解：设x=−1时的观测值为m，
则x−=−2−1+0+1+25=0，，
则样本点的中心的坐标为，代入，
可得，即m=3．
把x=−1代入，得．
∴当x=−1时残差为3−3.6=−0.6．
故答案为：−0.6．
设x=−1时的观测值为m，求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解m值，再求出x=−1时的预测值，则答案可求．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
由于函数f(x)=cs(ωx−π6)(ω>0)在区间上有且只有3个零点，
则有，，
所以，ω的取值范围是
故答案为：
由题意利用余弦函数的图象及其性质，可得，由此求得ω的取值范围．
本题考查余弦函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】32
【解析】解：如图，根据题意可知，当P点在底面ABC的射影点H在△ABC内的角平分线上，
且AP⊥平面PBC时，△PBC面积取得最小值，
又AP与平面ABC所成角为∠PAH=60°，∠HAB=30°，
∴根据最小角定理可得，
，
，又在中，有AB=2，
，
同理由对称性可得，又BC=2，
∴等腰三角形△PBC的底边BC边上的高为，
∴△PBC的面积为12×2×32=32．
故答案为：32．
根据题意可知，当P点在底面ABC的射影点H在△ABC内的角平分线上，且AP⊥平面PBC时，△PBC面积取得最小值，再根据最小角定理，三角函数，三角形的面积公式，即可求解．
本题考查线面角的概念，最小角定理的应用，三角函数及三角形的面积公式的应用，空间想象力，化归转化思想，属中档题．
17.【答案】解：
，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
则−2π3+2kπ≤2x≤π3+2kπ，k∈Z，
则−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z．
(2)由(1)知f(x)=sin(2x+π6)+12，
因为x∈[−π8,π2]，
所以，
所以，
所以sin(2x+π6)∈[−12,1]，
所以，
所以f(x)的值域为[0,32].
【解析】(1)由向量的数量积与三角函数和差，倍角公式可得f(x)=sin(2x+π6)+12，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，即可得出答案．
(2)由(1)知f(x)=sin(2x+π6)+12，由x∈[−π8,π2]，可得的取值范围，即可得出答案．
本题考查三角函数的单调性和值域，解题中需要理清思路，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意可得如下列联表：
零假设：“恢复期长短”与“治疗方案”无关，
，
所以有95%的把握认为“恢复期长短”与“治疗方案”有关．
(2)由分层抽样得，抽取恢复期长的为4人，恢复期短的为6人，根据题意X可取0，1，2，3，
P(X=0)=C63C103=20120=16，
P(X=1)=C41C62C103=60120=12，
P(X=2)=C42C61C103=36120=310，
P(X=3)=C43C103=4120=130，
所以X的分布列为：
．
(3)因为，所以μ=5，σ=1，
又因为，
所以7天后有大于95%的把握恢复健康．
【解析】(1)根据条件作出列联表，利用公式χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)进行计算，与临界值表比较可作出结论；
(2)根据分层抽样求出恢复期长和恢复期短的人数，写出随机变量的所有取值并计算概率可得分布列，进一步计算可得期望；
(3)根据正态分布的意义求解即可．
本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望以及正态分布的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)选择条件①：
由正弦定理及(b+c)(sinB+sinC)=asinA+3bsinC，得(b+c)(b+c)=a2+3bc，即b2+c2−a2=bc，
由余弦定理知，csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
因为A∈(0,π)，所以A=π3．
选择条件②：
因为cs2(π2+A)+csA=54，所以sin2A+csA=54，即1−cs2A+csA=54，解得csA=12，
因为A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)由正弦定理知，bsinB=csinC，
所以，
因为△ABC为锐角三角形，且A=π3，
所以0所以tanC∈( 33,+∞)，
所以，
所以△ABC面积
【解析】(1)选择条件①：利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理，即可得解；
选择条件②：结合诱导公式与同角三角函数的平方关系，可得csA=12，得解；
(2)利用正弦定理，推出，并结合△ABC为锐角三角形，求得π6本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：取线段BC的中点M，连接AM，
因为AC=AB，
所以AM⊥BC，
因为平面ABC⊥面A1BC，平面ABC∩平面A1BC=BC，
所以AM⊥面A1BC，
又A1B⊂面A1BC，
所以AM⊥A1B，
又A1B⊥AB，AB∩AM=A，
所以A1B⊥面ABC，
所以A1B⊥AC．
，
所以A1B=3，
设点B到平面AA1C1C的距离为h，
，即，
即，
所以h=32，
所以sinθ=hAB=34，
所以直线AB与平面AA1C1C所成角的正弦值为34．
【解析】(1)取线段BC的中点M，连接AM，由AC=AB，得AM⊥BC，由面面垂直的性质定理可得AM⊥A1B，再由线面垂直的判定定理，即可得出答案．
，解得A1B，设点B到平面AA1C1C的距离为h，则，即，解得h，进而可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，线面所成角，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设该产品的质量指标值的第70百分位数为m，
由频率直方图可知，，
(2)①先分析该产品质量标准值的平均数，由频率分布直方图可知，该产品质量标准值的平均数为，故满足认购条件①，
②再分析该产品的单价平均利润值：
由频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1，故2000件产品中，一、二、三等品的件数估计值为：720，1080，200件，
则2000件产品的总利润为：
元，
元，
元，
元，
故2000件产品的单件品平均利润估计值为，
故不满足认购条件②，
综上，该新型机器没有达到该企业的认购条件．
【解析】(1)根据百分位数定义可解；
(2)根据①②条件分别计算该产品质量标准值的平均数和单价平均利润值，从而可解．
本题考查频率表分布直方图相关知识，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=x2−2ax+b，由二次函数的性质可知f(x)在[−3,a]上单调递减，
所以，即，
解得a=−2b=1或a=−3b=6，
又因为a>−3，
所以a=−2b=1；
(2)因为，
(i)证明：因为h(x)=g(x)在R上恒成立，
即f(x)≥g(x)在R上恒成立，
所以在R上恒成立，
所以，
即；
(ii)因为h(x)=a恒有三个不等的实数根，f(x)为二次函数、g(x)为一次函数，
所以有一个根，有两个不同根，且三个根互不相同，
令，则x=2a，
所以恒成立，则a<−1①，
令有两个不同根，即有两个不同根，
所以恒成立，
即，a2+a>1，
所以a>−1+ 52或，
设方程两个不同根为x1，x2，设，，
则有恒成立，
即，所以，，
由①②③可得，
所以实数a的取值范围为
【解析】(1)由题意可知f(x)在[−3,a]上单调递减，列出不等式求解即可；
(2)由题意可得，
(i)由题意可得在R上恒成立，根据Δ≤0，即可得证；
(ii)由题意可得有一个根，有两个不同根，且三个根互不相同，由，可得x=2a，则有恒成立，结合二次函数的性质列出不等式组求解即可．
本题考查了一次函数、二次函数的性质，也考查了转化思想，属于中档题．
x
−2
−1
0
1
2
y
5
？
2
2
1
方案/人数
恢复期长
恢复期短
甲
10
45
乙
20
30
P(χ2≥x0)
0.1
0.05
0.010
x0
2.706
3.841
6.635
质量指标值m
m≥45
m<25
产品等级
一等品
二等品
三等品
产品等级
一等品
二等品
三等品
销售率
78
35
25
单件产品原售价
20元
15元
10元
未按原价售出的产品统一按原售价的50%可以全部售出
恢复期长
恢复期短
合计
甲
10
45
55
乙
20
30
50
合计
30
75
105
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130