浙江省义乌稠州中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案）

这是一份浙江省义乌稠州中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了﹣2的相反数是，将二次函数y＝等内容，欢迎下载使用。
九年级数学期中考试卷
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
3．二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（　　）
A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣4；
4．如图，已知在半径为6的⊙O中，点A，B，C在⊙O上且∠ACB＝60°，则的长度为（　　）
A．6π B．4π C．2π D．π

第4题图 第6题图 第7题图 第8题图
5．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，点E是AB边上一点，将△ADE沿直线DE折叠，得到△FDE，连接FC，EC．若四边形DECF是菱形，则BE的长为（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4﹣3
7．如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离AE为，在△ABC中，BC＝2，AB＝，将△ABC绕点C在平面内顺时针旋转得到△A′B′C，若旋转角为60°，A′C交直线l2于点D，则CD的长度为（　　）
A． B． C． D．﹣
8．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA的长为（　　）
A． B．2 C． D．
9．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值为（　　）
A． B． C． D．

第9题图 第10题图
10．随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图），此时有两种选择：（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（　　）
A．240m B．300m C．320m D．360m
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式：2x2y﹣8y＝　 　．
12．已知三个数1，，2，请再添上一个数使它们能构成一个比例式，那么添上的这个数是 　 　．
13．已知，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图，由图可知不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　 　．

第13题图 第14题图
14．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　 　．
15．南浔区某校在开展特色阳光大课间活动中融入了单脚跳跳球运动，如图1，当人单脚跳的过程中，小球会随着球杆绕着脚开始不停的旋转．大课间活动中，五位同学分别站在A、B、C、D、E点处，A处同学跳的时候，小球开始在地面上不停旋转形成⊙A，如图2为活动过程的俯视示意图，ED⊥DB，AB⊥BD交⊙A于点G，GB＝80cm，ED＝100cm，＝，连接AD，∠DAB＝45°，当小球转到点F时，EF∥DB，FC⊥DB，则球杆AG＝　 　cm．

第15题图 第16题图
16．如图1是超市手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm．（1）求扶手前端D到地面的距离为 　 　；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，坐板EF的宽度为　 　．
三．解答题（共9小题，共66分）
17．（6分）（1）计算：|2﹣1|+（﹣1）0﹣（）﹣1；
（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x﹣1）．
18．（6分）每年的6月26日为“国际禁毒日”，甲、乙两所学校分别有一男一女共4名学生参加“无毒青春健康人生”主题征文竞赛．
（1）若从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是 　 　．
（2）若从参赛的4名学生中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名学生来自不同学校的概率．
19．（6分）如图，在7×11的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：
（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
（2）在图2中仅用无刻度的直尺，画∠B的角平分线BE（保留画图痕迹，不写画法）．

20．（8分）某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．

第21题图 第22题图
22．（10分）在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转α，α＝∠ABC，得到PE，连接CE．
（1）【观察发现】如图1，当BA＝BC，且∠ABC＝60°时，BP与CE的数量关系是 　 　，BC与CE的位置关系是 　 　．
（2）【猜想证明】如图2，当BA＝BC，且∠ABC＝90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
（3）【拓展探究】在（2）的条件下，若AB＝8，AP＝5，请直接写出CE的长．
23．（10分）定义：在平面直角坐标系中，若两条抛物线的顶点关于原点成中心对称，且二次项系数之积等于﹣2．我们就称其中一条抛物线是另一条抛物线的逆对抛物线．
（1）写出抛物线y＝x2+2x﹣3的顶点坐标，并写出它的逆对抛物线；
（2）已知抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线．
①当抛物线y1经过点（﹣2，﹣1）时，求a+b+c的值；
②设抛物线y1与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），抛物线y2与x轴的交点为C（在其对称轴左侧）．若这三点依次排列后，点B恰好是A，C两点连线的中点，求此时m的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点C的直线y＝x+4与y＝kx+4分别交x轴于点A，B．点E是AC的中点，点D的坐标是（﹣，0）．连结OE交CD于F．

（1）求点A，F的坐标；
（2）若∠ACD＝∠OCB，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点F作直线l垂直于x轴，设点M在直线y＝kx+4上，点N在x轴上，问：直线l上是否存在点H，使得以B，M，N，H为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点H的坐标；若不存在，说明理由．

九年级数学期中考试参考答案
一．选择题（共10小题）
1．﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故选：C．
3．二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（　　）
A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣4
【分析】根据二次函数对称轴为直线x＝﹣求解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．
故选：C．
4．如图，已知在半径为6的⊙O中，点A，B，C在⊙O上且∠ACB＝60°，则的长度为（　　）

A．6π B．4π C．2π D．π
【分析】求出弧AB所对的圆心角度数，依据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，则∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∴OA＝OB＝6，
∴的长度为＝4π，
故选：B．

5．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；
故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，点E是AB边上一点，将△ADE沿直线DE折叠，得到△FDE，连接FC，EC．若四边形DECF是菱形，则BE的长为（　　）

A．1 B．√3 C．2 D．4﹣√3
【分析】根据直角三角形的边角关系，在△ABC中可求出AC，∠B，由翻折变换的性质可知AD＝FD＝，∠A＝∠DFE＝30°，根据菱形的性质可得DE＝DF＝CE＝CF＝CD，进而得出△DCF和△DCE都是正三角形，得出△BCE是直角三角形即可．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴∠B＝60°，AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，
∵点D是AC边的中点，
∴AD＝CD＝，
由翻折变换可知，AD＝FD＝，∠A＝∠DFE＝30°，
又∵四边形DECF是菱形，
∴DE＝DF＝CE＝CF＝CD＝，
∴△DCF和△DCE都是正三角形，
∴∠DCE＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BEC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝2，
∴BE＝BC＝1，
故选：A．

7．如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离AE为，在△ABC中，BC＝2，AB＝，将△ABC绕点C在平面内顺时针旋转得到△A′B′C，若旋转角为60°，A′C交直线l2于点D，则CD的长度为（　　）

A． B． C． D．﹣
【分析】根据勾股定理得到BE＝＝2，求得CE＝4，求得AC＝，过D作DH⊥AC于H，设CH＝x，则DH＝x，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：∵AE⊥l2，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝，AB＝，
∴BE＝＝2，
∵BC＝2，
∴CE＝4，
∴AC＝＝＝，
过D作DH⊥AC于H，
∴∠DHC＝∠AHD＝90°，
∵将△ABC绕点C在平面内顺时针旋转得到△A′B′C，若旋转角为60°，
∴∠DCH＝60°，
设CH＝x，则DH＝x，
∴AH＝AC﹣CH＝﹣x，
∵直线l1∥l2，
∴∠DAB＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠AHD＝90°，
∴△ACE∽△DAH，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴CH＝，
∴CD＝2CH＝．
故选：C．

8．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA的长为（　　）

A． B．2 C． D．
【分析】连结OF，作FG⊥OB于点G，可得△EOD∽△DGF，然后设DE＝10x，OD＝10y，可得DG＝9x，FG＝9y，再结合勾股定理可以列出方程组，求出y即可．
【解答】解：连结OF，作FG⊥OB于点G，

∵∠EDF＝90°，
∴∠ODE+∠FDG＝90°，
∵∠DFG+∠FOG＝90°，
∴∠DFG＝∠ODE，
∵∠EOD＝∠DGF＝90°，
∴△EOD∽△DGF，
∴，
设DE＝10x，OD＝10y，则DG＝9x，FG＝9y，
∵OE2+OD2＝ED2，
∴（10x）2+（10y）2＝102，
∴x2+y2＝1，
∵DO＝2BD，
∴BD＝5y，
∴OF＝OB＝15y，
∵OG2+FG2＝OF2，
∴（10y+9x）2+（9y）2＝（15y）2，
整理得180xy＝125y2﹣81，
∴（180xy）2＝（125y2﹣81）2，
∴32400（1﹣y2）⋅y2＝15625y4+20250y2+6561，
整理得：48025y4﹣52650y2+6561＝0，
解得：或，
∵BD＞DG，
∴5y＞9x＞0，
即（5y）2＞（9x）2，
当时，，，
∴（舍去），
∴，
∴，
∴
＝，
故选：D．
9．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图1中，设AB＝a，则AC＝DE＝a，CE＝2a，求出h，l，可得结论．
【解答】解：如图1中，设AB＝a，则AC＝DE＝a，CE＝2a，
∴h＝a+2a，l＝2a，
∴＝＝，
故选：C．

10．随看科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图），此时有两种选择：
（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；
（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．
假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（　　）

A．240m B．300m C．320m D．360m
【分析】可设小明的速度是xm/分，则公交车速度是5xm/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为ym，计算得到小明的路程，公交车的路程，再根据到B公交站的路程之间的不等关系路程不等式求解即可．
【解答】解：设小明的速度是xm/分，则公交车速度是5xm/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为ym，
到A公交站：xt+5xt＝720，
解得xt＝120，
则5xt＝5×120＝600，
到B公交站：5y﹣600≤600+y，
解得y≤300．
故A，B两公交站之间的距离最大为300m．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：2x2y﹣8y＝　2y（x+2）（x﹣2）　．
【分析】先提取公因式2y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：2x2y﹣8y，
＝2y（x2﹣4），
＝2y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2y（x+2）（x﹣2）．
12．已知三个数1，，2，请再添上一个数，使它们能构成一个比例式，那么添上的这个数是 　2或或　．
【分析】设添加的数是x，根据比例的性质得出1×x＝或x＝1×2或1×＝2x，再求出x即可．
【解答】解：设添加的数是x，
则1×x＝或x＝1×2或1×＝2x，
解得：x＝2或或，
即这个数是2或或．
13．已知，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图，由图可知不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　x＜﹣3或x＞1　．

【分析】根据函数图象关于对称轴对称，可得函数图象与x轴的交点，根据函数图不等式的关系，可得答案．
【解答】解：由图象得抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，函数图象与x轴的交点坐标之一是（1，0），
∴函数图象与x轴的交点坐标是（﹣3，0），（1，0），
∴函数图象位于x轴上方的部分是x＜﹣3或x＞1，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣3或x＞1，
故答案为：x＜﹣3或x＞1．
14．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　6　．

【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
15．南浔区某校在开展特色阳光大课间活动中融入了单脚跳跳球运动，如图1，当人单脚跳的过程中，小球会随着球杆绕着脚开始不停的旋转．大课间活动中，五位同学分别站在A、B、C、D、E点处，A处同学跳的时候，小球开始在地面上不停旋转形成⊙A，如图2为活动过程的俯视示意图，ED⊥DB，AB⊥BD交⊙A于点G，GB＝80cm，ED＝100cm，＝，连接AD，∠DAB＝45°，当小球转到点F时，EF∥DB，FC⊥DB，则球杆AG＝　100　cm．

【分析】如图，连接AF，过点F作FT⊥AB于T．设BC＝xcm，AB＝BD＝3xcm，在Rt△AFT中，利用勾股定理构建方程求出x即可．
【解答】解：如图，连接AF，过点F作FT⊥AB于T．

∵AB⊥DB，∠DAB＝45°，
∴∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠BDA＝45°，
∴AB＝BD，
∵＝，
∴可以假设BC＝xcm，AB＝BD＝3xcm，
∵EF∥CD，DE⊥CD，CF⊥CD，
∴∠E＝∠EDC＝∠FCD＝90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴DE＝CF＝100（cm），
同法可证CF＝BF＝100（cm），BC＝FT＝xcm，
∵BG＝80cm，
∴AF＝AG＝（3x﹣80）cm，
∵AF2＝AT2+FT2，
∴（3x﹣80）2＝（3x﹣100）2+x2，
∴x＝60，
∴AG＝3×60﹣80＝100（cm）．
故答案为：100．
16．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm．

（1）求扶手前端D到地面的距离为 　（35+25）cm　；
（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，坐板EF的宽度为　（20﹣20）cm　．
【分析】（1）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，构造Rt△AMC和Rt△CGD中，通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度；
（2）由平行线的性质知∠EFH＝∠DCG＝60°；根据题意得到CD＝50cm，DF＝20cm，FH＝20cm，如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，通过解Rt△EQF和Rt△EQH，根据等量关系HQ+FQ＝FH＝20cm列出方程x+x＝20，通过解方程求得答案．
【解答】解：（1）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，
又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，垂足为G，则∠DCG＝60°．
∵AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，
∴∠A＝∠B＝30°，
则在Rt△AMC中，CM＝＝30cm．
∵在Rt△CGD中，sin∠DCG＝，CD＝50cm，
∴DG＝CD•sin∠DCG＝50×sin60°＝（cm）．
又GN＝CM＝30cm，前后车轮半径均为5 cm，
∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5＝25+30+5＝35+25（cm）；
故答案为：（35+25）cm；
（2）∵EF∥CG∥AB，
∴∠EFH＝∠DCG＝60°，
∵CD＝50cm，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，
∴FH＝20cm，
如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，
在Rt△EQF中，∠EFH＝60°，
∴EF＝2FQ＝2x，EQ＝x，
在Rt△EQH中，∠EHD＝45°，
∴HQ＝EQ＝x，
∵HQ+FQ＝FH＝20cm，
∴x+x＝20，
解得x＝．
∴EF＝2（10﹣10）＝20﹣20（cm）．
答：坐板EF的宽度为（20﹣20）cm．
故答案为：（20﹣20）cm．

三．解答题（共9小题）
17．（1）计算：|2﹣1|+（﹣1）0﹣（）﹣1；
（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x﹣1）．
【分析】（1）利用绝对值、零指数幂和负整数指数的意义计算；
（2）先利用乘法公式展开，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+1﹣
＝；
（2）原式＝x2﹣2x+1﹣x2+x
＝1﹣x．
18．每年的6月26日为“国际禁毒日”，甲、乙两所学校分别有一男一女共4名学生参加“无毒青春健康人生”主题征文竞赛．
（1）若从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是 　　．
（2）若从参赛的4名学生中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名学生来自不同学校的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）将甲学校两人记为a、b，将乙学校两人记为c、d，画树状图得出所有等可能结果，从中找到这两名学生来自不同学校的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是＝，
故答案为：；

（2）将甲学校两人记为a、b，将乙学校两人记为c、d，画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中这两名学生来自不同学校的结果数为8，
所以这两名学生来自不同学校的概率为＝．
19．如图，在7×11的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：
（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
（2）在图2中仅用无刻度的直尺，画∠B的角平分线BE（保留画图痕迹，不写画法）．

【分析】（1）利用平行四边形的判定作出点D即可，注意满足条件的点D有3个．
（2）利用格点特征作出AC的中点D，故过D作射线BE即可．
【解答】解：（1）如图，点D1，D2，D3即为所求．
（2）如图，扇形BE即为所求．

20．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）＝﹣（x﹣70）2+2500，进而求解；
（3）由题意得：w＝（x﹣20×2）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，解得x1＝70，x2＝90，而40≤x≤a，进而求解．
【解答】解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，
将（40，80）、（60，60）代入上式得：，解得，
故y与x的关系式为y＝﹣x+120；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）＝﹣（x﹣70）2+2500，
∵x﹣20≥0，﹣x+120≥0，x﹣20≤20×100%，
∴20≤x≤40，
∵﹣1＜0，
故抛物线开口向下，
故当x＜70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40（元）时，w的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，
解得x1＝70，x2＝90，
∵x﹣2×20≥0，
∴x≥40，
又∵x≤a，
∴40≤x≤a．
∴有两种情况，
①a＜80时，即40≤x≤a，
在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，即40≤x≤a，
在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
∴a＝70．
21．如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）由CD平分∠ACB，根据圆周角定理，可得∠ACD＝∠BCD＝∠ABD；
（2）过点E作EM⊥AD于点M，求出AD长，则AB＝AD，可求出AB；则答案得出；
（3）过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，可证明△DAF≌△DBN，则AF＝BN，DF＝CF则结论AF+BC＝DF可得出．
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠BCD；
（2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点M，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝∠BCD＝45°，
∵AE＝17，
∴ME＝AM＝17×＝，
∵DE＝13，
∴DM＝＝＝，
∴AD＝AM+DM＝12，
∴AB＝AD＝12＝24，
∴AO＝＝12；
（3）AF+BC＝DF．理由如下：
如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，

∵四边形DACB内接于圆，
∴∠DBN＝∠DAF，
∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，
∴∠AFD＝∠DNB＝90°，DF＝DN，
∴△DAF≌△DBN（AAS），
∴AF＝BN，CF＝CN，
∵∠FCD＝45°，
∴DF＝CF，
∴CN＝BN+BC＝AF+BC＝DF．
即AF+BC＝DF．
22．在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转α，α＝∠ABC，得到PE，连接CE．

（1）【观察发现】如图1，当BA＝BC，且∠ABC＝60°时，BP与CE的数量关系是 　BP＝CE　，BC与CE的位置关系是 　BC⊥CE　．
（2）【猜想证明】如图2，当BA＝BC，且∠ABC＝90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
（3）【拓展探究】在（2）的条件下，若AB＝8，AP＝5，请直接写出CE的长．
【分析】（1）如图1中，连接AE．证明△BAP≌△CAE（SAS），可得结论．
（2）（1）中的结论BC⊥CE成立．BP＝CE不成立，结论是EC＝BP．利用相似三角形的性质证明即可．
（3）分两种情形利用（2）中结论求出BP，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，连接AE．

∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵PA＝PE，∠APE＝∠ABC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAC＝∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴BC⊥CE，
故答案为：BP＝CE，BC⊥CE．
（2）如图2中，（1）中的结论BC⊥CE成立．BP＝CE不成立，结论是EC＝BP．

理由：如图2中，连接AE．
∵△ABC，△APE都是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，AE＝AP，∠BAC＝∠ACB＝∠PAE＝45°，
∴∠BAP＝∠CAE，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴∠ABD＝∠ABC＝45°
∵＝＝，
∴△CAE∽△BAP，
∴＝＝，∠ABP＝∠ACE＝45°
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴EC＝BP，BC⊥EC．
（3）当点P在线段BD上时，如图2中，∵AB＝CB＝8，∠ABC＝90°，
∴AC＝8，
∵BD⊥AC，
∴AD＝DC＝4，
∵AP＝5，
∴PD＝＝＝3，
∵BD＝AD＝DC＝4，
∴BP＝BD﹣PD＝，
∴EC＝BP＝2．
当点P在BD的延长线上时，如图3中，同法可得PD＝3，

∴BP＝BD+PD＝7，
∴EC＝BP＝14．
综上所述，EC的长为2或14．
23．定义：在平面直角坐标系中，若两条抛物线的顶点关于原点成中心对称，且二次项系数之积等于﹣2．我们就称其中一条抛物线是另一条抛物线的逆对抛物线．
（1）写出抛物线y＝x2+2x﹣3的顶点坐标，并写出它的逆对抛物线；
（2）已知抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线．
①当抛物线y1经过点（﹣2，﹣1）时，求a+b+c的值；
②设抛物线y1与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），抛物线y2与x轴的交点为C（在其对称轴左侧）．若这三点依次排列后，点B恰好是A，C两点连线的中点，求此时m的值．
【分析】（1）将抛物线y＝x2+2x﹣3配方，求出顶点坐标为（﹣1，﹣4），进而它的逆对抛物线的顶点坐标，进而求出它的逆对抛物线；
（2）①将点（﹣2，﹣1）代入抛物线y1＝mx2+4mx+3m求出m的值，进而求出它的逆对抛物线的解析式，即可求解；
②根据抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线求出y2的解析式，根据y1＝mx2+4mx+3m的解析式求出A，B的坐标，根据点B恰好是A，C两点连线的中点，求出点C的坐标，将C点坐标代入y2＝﹣（x﹣2）2+m即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∵（﹣1，﹣4）关于原点的对称点是（1，4），
∴它的逆对抛物线为y＝﹣2（x﹣1）2+4；
（2）①∵抛物线y1经过点（﹣2，﹣1），
∴4m﹣8m+3m＝﹣1，
∴m＝1，
∴y1＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴抛物线y1＝mx2+4mx+3m的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
∵抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线，
∴抛物线y2＝ax2+bx+c的顶点为（2，1），
∴抛物线y2＝﹣2（x﹣2）2+1＝﹣2x2+8x﹣7，
∴a＝﹣2，b＝8，c＝﹣7，
∴a+b+c＝﹣2+8+（﹣7）＝﹣1，
②由题意得，抛物线y1＝mx2+4mx+3m的顶点坐标为（﹣2，﹣m），
∵抛物线y2＝ax2+bx+c是抛物线y1＝mx2+4mx+3m的逆对抛物线，
∴a＝﹣，抛物线y2＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，m），
∴y2＝﹣（x﹣2）2+m，
令y1＝0，
即mx2+4mx+3m＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，
∴抛物线y1与x轴的两个交点为A（﹣3，0），B（﹣1，0），
当点B恰好是A，C两点连线的中点时，点C的坐标为（1，0），
∴﹣+m＝0，
即m＝±．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点C的直线y＝x+4与y＝kx+4分别交x轴于点A，B．点E是AC的中点，点D的坐标是（﹣，0）．连结OE交CD于F．

（1）求点A，F的坐标；
（2）若∠ACD＝∠OCB，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点F作直线l垂直于x轴，设点M在直线y＝kx+4上，点N在x轴上，问：直线l上是否存在点H，使得以B，M，N，H为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点H的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由A、C两点坐标，求出E点坐标，从而求出OE解析式，与CD的解析式联立成方程组解得；
（2）作∠COG＝∠OAC＝45°，从而得出△GOC∽△DAC，求出OG，确定G点坐标，从而求出k；
（3）BM为边和对角线分类，当是边时，利用边长相等列方程求，为对角线时，表示出对角线交点坐标，代入一次函数关系式求．
【解答】解：（1）由x+4＝0得，
x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
又C（0，4），
∴E（﹣2，2，），
∴直线OE的解析式是：y＝﹣x，
设CD的解析式是：y＝mx+b，
∴，
∴，
∴y＝3x+4，
由得，
，
∴F（﹣1，1）；
（2）如图1，

在Rt△AOC中，
∵OC＝OA＝4，
∴∠CAO＝∠OCA＝45°，
作∠COG＝∠OAC＝45°，交BC于G，
∵∠ACD＝∠OCB，
∴△GOC∽△DAC，
∴＝＝，
∴＝，
∴OG＝，
作GH⊥OC于H，
∴OH＝GH＝OG•sin∠GOH
＝
＝，
∴G（，），
∴，
∴k＝﹣2；
（3）如图2，

由﹣2x+4＝0得，
x＝2，
∴B（2，0），
BM是边，当HM＝MB时，
设H（﹣1，m），
由﹣2x+4＝m得，
x＝﹣，
∴M（﹣，m），
由BM2＝HM2得，
（﹣）2+m2＝（﹣+3）2，
∴m1＝，m2＝，
如图3，

BM是边，当BM＝MN时，
∴M在直线l上，
当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+4＝6，
∴H（﹣1，﹣6），
如图4，

当BM是对角线，
设H（﹣1，a），
∴BN＝BH＝，
∴N（2+，0），
∴I（，），
∴﹣2×+4＝，
∴a1＝﹣4，a2＝0（舍去），
综上所述：H（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，﹣6）或（﹣1，﹣4）．
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