黑龙江省青冈县第一中学校2021_2022学年高二数学上学期开学考试试题含答案

高二开学考试数学试题

考试时间：120分钟   满分：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题60分）

一、选择题（本题共12小题，其中1-10题为单选题，每题5分共计50分，11-12小题为多选题，每题5分，共计10分，部分选对但不全对给3分，选错0分）

1．复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知向量，满足，，若，则（    ）

A． B． C． D．

3．从长度为3，5，7，9，11的5条线段中任取3条，这3条线段能构成钝角三角形的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．设m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则     B．若，，则

C．若，，则     D．若，，，则

5．在中，点满足，则（    ）

A． B．

C． D．

6．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

7．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果，，的面积，那么a等于（   ）

A． B．7 C． D．17

8．在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

9．一块边长为10cm的正方形铁片如图所示的阴影部分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosA＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（    ）

A． B． C．4 D．6

11．（多选题）已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（    ）

A． B．复数的共轭复数为

C．复平面内表示复数的点位于第四象限 D．复数是方程的一个根

12．（多选题）在中，角所对的边分别为，已知，下列结论正确的是（    ）

A．          B．

C．若，则的面积是   D．若，则的外接圆半径是

第II卷（非选择题90分）

二、填空题（每小题5分，共计20分）

13．采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，高一年级被抽取人，高三年级被抽取人，高二年级共有人，则这个学校共有高中学生的人数为______．

14．甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________.

15．名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是，，，，，，，，，，那么数据的分位数是______．

16．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n;     ②若m⊥n，m⊥α，则n∥α;

③若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n;   ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.

其中所有正确命题的序号是________.

三、解答题

17．（本题满分10分）如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝，＝，＝，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用表示以下各向量：

（1）；

（2）．

18．（本题满分12分）已知的内角的对边分别为若

（1）求角.

（2）若求的面积.

19．（本题满分12分）2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

（2）若根据成绩对该样本进行分层，用分层随机抽样的方法，从成绩不低于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中至少有1人成绩在内的概率．

20．（本题满分12分）如图，在平面四边形中，，，的面积为.

（1）求；

（2）若，求四边形周长的最大值.

21．（本题满分12分）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，，证明：平面平面．

22．（本题满分12分）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为，，，四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级，，的概率分别是，，.

（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；

（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0元的概率.

参考答案

1．B

【分析】

利用复数的乘法化简复数，由此可得出结论.

【详解】

，因此，复数在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B.

2．A

【分析】

根据向量平行的坐标关系，可求得的值.再根据向量加法和数乘的坐标运算即可求得.

【详解】

向量，满足，，若∥

则，解得

所以，

由向量加法和数乘的坐标运算可得

故选：A

【点睛】

本题考查了平面向量平行的坐标关系，由平行关系求参数，平面向量加法和数乘的坐标运算，属于基础题.

3．C

【分析】

利用列举法及古典概型概率公式求解即可

【详解】

取出3条线段的情况有，，，，，，，，，，共10种，

可构成三角形的有，，，，，，，共7种，只有不构成钝角三角形，

故概率.

故选：C

4．D

【分析】

根据直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，直线与平面平行的判定定理可判断．

【详解】

对于A，若，，则与相交，平行或异面，故A错误；

对于B，若，，则与平行或异面，故B错误；

对于C，m有可能在平面内，故C错误；

对于D，根据直线与平面平行的判定定理可知D是正确的.

故选：D

5．A

【分析】

由已知条件可得，然后由向量的加减法法则进行运算可得答案.

【详解】

由点满足，可得,

由图可知,

故选：A

【点睛】

本题考查平面向量的加减法法则的运用，属于简单题.

6．B

【分析】

将直三棱柱补成直四棱柱，由.则是异面直线与所成的角，然后在三棱锥中，求得各边长，利用余弦定理求解.

【详解】

将直三棱柱补成直四棱柱，

如图所示：

则.

所以是异面直线与所成的角，

在三棱锥中，，，

，

，

所以.

故选：B

【点睛】

本题主要考查异面直线所成的角的求法，余弦定理的应用以及几何体的结构特征，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

7．A

【分析】

先根据面积公式计算出的值，然后利用以及余弦定理求解的值.

【详解】

因为，所以；

又因为，所以，所以，

故选A.

【点睛】

本题考查三角形面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形，难度较易.解三角形时常用的面积公式有三个，解答问题时要根据题意进行选择.

8．B

【分析】

直接利用向量数量积的运算律求解即可.

【详解】

．

故选B．

9．A

【分析】

由正四棱锥外接球半径与底面外接圆半径，及球心到底面的距离之间的几何关系求外接球半径，进而求球的表面积.

【详解】

由题设知：底面的外接圆半径为，且，

令正四棱锥外接球的半径为，且外接球的球心必在直线上，

∴，即.

∴正四棱锥的外接球的表面积为.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：判断外接球的球心位置，结合外接球半径与底面外接圆半径及球心到底面距离的关系求.

10．A

【分析】

由正弦定理,三角函数恒等变换可得sinAcosB＝sinA，可求cosB，设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，根据cos∠ADB＝﹣cos∠CDB利用余弦定理可得4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得ac≤6，进而可求解．

【详解】

在△ABC中，bcosA＝c﹣a，

由正弦定理可得sinBcosA＝sinC﹣sinA，

可得sinBcosA＝sin（A+B）﹣sinA＝sinAcosB+cosAsinB﹣sinA，

即sinAcosB＝sinA，

由于sinA≠0，

所以，由B∈（0，π），可得B＝，

设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，

在△ADB，△BDC，△ABC中分别利用余弦定理，可得cos∠ADB＝，cos∠CDB＝，cos∠ABC＝，

由于cos∠ADB＝﹣cos∠CDB，可得6x2＝a2+2c2﹣12，

再根据cos∠ABC＝，可得a2+c2﹣9x2＝ac，

所以4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得4c2+a2≥4ac，

所以ac≤6，当且仅当a＝2，c＝时等号成立，

所以△ABC的面积S＝acsin∠ABC＝ac≤．

故选：A．

【点睛】

本题考查解三角形，关键点是熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了运算求解能力和逻辑思维能力.

11．AD

【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案．

【详解】

解：因为，所以

所以，

复平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限；

，复数是方程的一个根．

故选：AD．

12．ACD

【分析】

先利用已知条件设，进而得到，利用正弦定理可判定选项A；利用向量的数量积公式可判断选项B；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D.

【详解】

依题意，设，

所以，

由正弦定理得：，

故选项A正确；

，

故选项B不正确；

若，则，

所以，

所以，

所以，

故的面积是：；

故选项C正确；

若，则，

所以，

所以，

所以，

则利用正弦定理得：

的外接圆半径是：，

故选项D正确；

故选：ACD.

【点睛】

关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.

13．

【分析】

先求出抽样比，即可求出学生总数.

【详解】

由题意可得抽样比为，所以学生总数为，即这个学校共有高中学生900人．

故答案为：900.

14．

【分析】

考虑两个人都不命中的概率，从而可求至少有一个人命中的概率.

【详解】

两个都不命中的概率为，

故至少有一人命中的概率是，

故答案为：.

15．

【分析】

根据百分位数的含义，计算即可得出数据的分位数.

【详解】

解：将名工人某天生产同一零件个数从小到大排列为，，，，，，，，，．因为，

所以样木数据的分位数为第个和第个数据的平均数，即．

故答案为：.

16．①③

【分析】

利用线面平行，面面平行的性质定理可以找到平面α内与直线n平行的直线，进而判定①成立；考虑到直线n可能在平面α内，判定②错误；由面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可以在平面β中找到与直线m平行的直线，进而判定③正确；考虑平面α，β的交线与平面γ垂直的情况，根据面面垂直的判定定理可以得到反例，进而判定④错误.

【详解】

①如图，过直线n作平面γ，设平面α∩平面γ=直线a，平面β∩平面γ=直线b,

∵直线n//平面β，∴直线n//直线b,∵平面α//平面β，∴直线a//直线b，∴直线n//直线a,

∵直线m⊥平面α，直线a⊂平面α，∴直线m⊥直线a，∴直线m⊥直线n，故①正确；

②若直线m⊥直线n，直线m⊥平面α，则直线n有可能在平面α内，故②错误；

③若直线m⊥平面α，直线n⊥平面β，且平面α⊥平面β，

设平面α∩平面β=直线l,在平面β内作直线a⊥直线l，∵平面α⊥平面β，∴直线a⊥平面α，又∵直线m⊥平面α，∴直线m//直线a,∵直线n⊥平面β，直线a⊂平面β，∴直线n⊥直线a，∴直线m⊥直线n，故③正确；

④设直线a⊥平面γ，则过直线a任作两平面α，β，

则，，且平面α∩平面β=直线a,故④错误.

故答案为：①③.

17．（1）；（2）．

【分析】

利用空间向量的运算律求解即可

【详解】

解：（1）∵在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，

∴

（2）∵在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M是AA1的中点，

∴

又∵

∴

18．（1）；（2）

【分析】

（1）根据正弦定理，可得，再根据三角形的性质，可知，进而求出结果；

（2）根据余弦定理，可得，求出，进而求出三角形的面积.

【详解】

（1）由正弦定理，，

∴，∴，∴，，∴

（2）由余弦定理知：，得解得，∴

【点睛】

本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式的应用，属于基础题.

19．（1）；71；（2）．

【分析】

（1）根据分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1，即可求得的值，再根据平均数的计算方法可得的值；

（2）由分层抽样法可知，抽取的7人中，成绩在[75，85）和[85，95]的人数分别为5人和2人，再结合古典概型，即可得解；

【详解】

解：（1）由频率分布直方图可得，

，解得．

样本数据的平均数为：

．

（2）由频率分布直方图可知，成绩在，内的频率分别为0.25，0.1，

所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人中，成绩在内的有5人，成绩在的有2人．

从这7人中随机抽取2人进行调查分析，记事件“2人中至少有1人成绩在内”，

事件“2人中恰有1人成绩在内”，

事件“2人成绩都在内”，则．

因为与互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得．

将成绩在内的5个人分别记为，，，，，将成绩在内2个人分别记为，，

设从这7人中第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点．

可知样本空间，

，

，

因为样本空间包含的样本点个数为，

且每个样本点都是等可能的，又因为，，

由古典概型公式可得

20．（1）；（2）.

【分析】

（1）利用三角形的面积公式求出，然后利用余弦定理可求的长；

（2）令，，在中利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，进而可求得四边形周长的最大值.

【详解】

（1）由面积公式得，所以.

在中，根据余弦定理得，所以；

（2）令，，

在中，根据余弦定理得，

即有，即，

所以，当且仅当时，等号成立.

所以，四边形周长的最大值为.

【点睛】

本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力，属于中等题.

21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）连接交于点，则为中点，连接，易知，根据线面平行的判定可证平面；

（2）由题设得平面，根据线面垂直的性质及判定有，由已知线段的长度求、、，再由勾股定理知，最后根据线面、面面垂直的判定可证平面平面．

【详解】

（1）连接交于点，则为中点，连接，又是中点，

∴，又平面，平面

∴平面

（2）∵是直三棱柱，

∴平面，又平面，

∴，由且为的中点，即，又，

∴平面，又平面，

∴，

由，，得，，，

∴，即，又，

∴平面，又平面，

∴平面平面.

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）设事件，，，分别表示“被评为等级，，，”.由题意，事件，，，两两互斥，然后利用互斥事件的概率加法公求解即可；

（2）设事件，，，表示“第单被评为等级，，，”，.

则“两单共获得的奖励为0元”即事件，且事件，，互斥，然后分别求出对应的概率，再利用互斥事件的概率加法公求解即可

【详解】

解：（1）设事件，，，分别表示“被评为等级，，，”.

由题意，事件，，，两两互斥，

所以.

又“延迟送达且被罚款”，

所以.

因此“延迟送达且被罚款”的概率为.

（2）设事件，，，表示“第单被评为等级，，，”，.

则“两单共获得的奖励为0元”即事件，

且事件，，互斥，

又

又

所以