黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题 Word版含答案

大庆铁人中学2021-2022学年度高二上学期开学考试

数学试题  

分数：150分  时间：120分钟

一、单选题（ 每小题5分 共60分）

1. 若复数，则（    ）

A. 0     B. 2     C. 4     D. 6

2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，则（    ）

A. -10            B. 10          C. -12         D. 12

3.下列结论错误的是（    ）

A. 三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面

B. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

C. 若是两个不共线的向量，且 (且)，则构

成空间的一个基底

D. 若、、不能构成空间的一个基底，则四点共面

4. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到的距离为（    ）

A. 10     B. 3     C.      D.

5. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，（    ）

A. 若，，则

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，，则

6. 已知向量，若共面，则等于（    ）

A. -1     B. 1     C. 1或     D. 1或0

7.进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下，若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ）

116  785  812  730  134  452  125  689  024  169

334  217  109  361  908  284  044  147  318  027

A.  B.  C.  D.

8.设若，则（    ）

A.      B.      C.      D.

9.下面两个图是2020年6月25日由国家卫健委发布的全国疫情累计趋势图，每图下面横向标注日期，纵向标注累计数量.现存确诊为存量数据，计算方法为：累计确诊数累计死亡数累计治愈数. 则下列叙述错误的是（    ）

A．自1月20日以来一个月内，全国累计确诊病例属于快速增长时期

B．自4月份以来，全国累计确诊病例增速缓慢，疫情扩散势头基本控制

C．自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例平缓增加

D．自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例逐步减少

10.在正方体中，为棱的中点，是为棱上的点，，且，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A.      B.      C.      D.

11.如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱的中点。若点为侧面内（含边界）的动点，且存在，使,则点的轨迹长度为（    ）

A.    B.     C.     D.

12. 在中，角所对的边分别为，，，为的外接圆，，给出下列四个结论：正确的选项是（    ）

①若，则；       

②若P在上，则；

③若P在上，则的最大值为2；

④若，则点P的轨迹所对应图形的面积为.

A. ①②③     B. ①②④     C. ②③④     D. ①②③④

二、填空题（ 每小题5分 共20分）

13．已知，则以为邻边的平行四边形的面积是_________.

14．已知向量，，，，若，则的最小值为_________.

15. 若满足，的有且只有一个，则边的取值范围是_________.

16. 在四棱锥中，平面平面，且为矩形，

则四棱锥 的外接球的体积为_________.

三、解答题（ 17题10分，18~22每题12分）

17．（10分）在中，分别为角的对边，且.

（1）求；

（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.

18. （12分）在平行六面体中，

,点为与的交点，点在线段上，且

（1）求的长；,

（2）设 ,求的值

[18题图]                          [20题图]

19. （12分）已知的面积为，.

（1）求的大小；

（2）若，求三角形内切圆半径.

20. （12分）如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，是的中点，在上取一点，过和作平面交于点.

（1）求证：；

（2）已知是边长为4的等边三角形，，且平面平面，，求四棱锥的体积.

21. （12分）用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；

（Ⅱ）在区间和内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；

（Ⅲ）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．

        [21题图]                                        [22题图]

22. （12分）如图，已知三棱柱，平面平面，，，分别是的中点．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的余弦值.

（3）求平面与平面夹角的正弦值

大庆铁人中学2021-2022学年度高二上学期开学考试

数学答案  

一、    单选题

1-5 BDCDC    6-10 CACDB    11-12 CB

二、填空题

 13.     14.     15.     16.

三、解答题

17．（1）由正弦定理得：，

，，

，

整理可得：，

，，，又，；

（2）为锐角三角形，，，即，

解得：；

由正弦定理可得：，

，，则，，

即的取值范围为.

18. （1） ,

,

（2）

19.（1）由面积公式可知，即，由正弦定理可知

.

（2）面积

，

设三角形内切圆半径为，则

，得.

20. （1）证明：如图所示，连接交于点，连接

∵四边形是平行四边形

∴是的中点

又是的中点  ∴

又平面，平面，

所以平面，

又平面平面，

所以.

（2）由（1）知，且，，

所以为的中点，为的中点，

延长与交于，则在上，如图：

因为为的中点，所以，所以，,

取的中点，则，又平面平面，

所以平面，

所以到平面的距离为，

∴

.

21. （1）由频率分布直方图可知，在内的成绩占比为70%，在内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于内．

因为，

所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84．

（2）在区间和内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本点个数为

．

记事件 “调查对象来自不同分组”，

则事件包含的样本点个数为，

所以．

（3）设男生成绩样本数据为，，…，，其平均数为，方差为；女生成绩样本数据为，，…，，其平均数为，方差为；总样本的平均数为，方差为．

由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，

得．

因为

，

又，

同理，所以

．

所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．

22. （1）如图所示，连结，

等边中，，则，

平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，

由面面垂直的性质定理可得：平面，故，

由三棱柱的性质可知，而，故，且，

由线面垂直的判定定理可得：平面，

结合⊆平面，故.

（2）在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.

设，则，,，

据此可得：，

由可得点的坐标为，

利用中点坐标公式可得：，由于，

故直线EF的方向向量为：

设平面的法向量为，则：

，

据此可得平面的一个法向量为，

此时，

设直线EF与平面所成角为，则.

（3）由（1）知，平面的一个法向量为，

可得，

可得，

即二面角的正弦值为