数学7.3.1 正弦函数的性质与图像学案及答案

这是一份数学7.3.1 正弦函数的性质与图像学案及答案，共10页。


[填一填]
1．正弦函数的性质与图像
2.周期函数
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．
(2)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)是它的周期，最小正周期是2π.
3．“五点法”作图
在函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像上起关键作用的点主要有五个：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．描出这五个点后，函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像的形状就基本确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到函数的简图．这种作图方法，就叫五点(画图)法．利用周期性可画出完整的正弦曲线．
[答一答]
1．如何理解周期和周期函数？
提示：(1)“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x值而言都能使它成立，T是函数f(x)的周期，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，如sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,2)))＝cseq \f(π,4)＝sineq \f(π,4)，但sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,2)))≠sineq \f(π,3)，因此eq \f(π,2)不是sinx的周期．
(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应注意的是自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，但T不是周期，而应写成f(2x＋T)＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(T,2)))))＝f(2x)，eq \f(T,2)是f(2x)的周期．
(3)周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT(k∈Z且k≠0)一定也是该函数的周期，则x＋kT也一定在定义域内，因此周期函数的定义域 一定是无限集，也就是说定义域一定无上界或无下界．
(4)若无特别说明，我们所说的周期一般指最小正周期．
(5)并不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)＝c(c为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是c，即对于函数f(x)的定义域内的每一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)＝c，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合没有最小的，所以f(x)没有最小正周期．
(6)要证明非零数T为函数的一个周期，只需在定义域找到这样一个常数T，使对定义域内的任意的x值都有f(x＋T)＝f(x)即可．
2．怎样作正弦函数的图像？步骤是怎样的？
提示：(1)我们用单位圆中的正弦线作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像，具体分为如下五个步骤：
①建立直角坐标系，在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆．
②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图像越精确)．过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到弧度为0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，…，2π的角的正弦线．
③找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份．
④找纵坐标：把正弦线对应平移，即可得出相应的12个点．
⑤连线：用光滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，就得到正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像，如图所示．
我们通过图像的平移作正弦曲线y＝sinx，x∈R的图像．因为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图像与函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像沿x轴向左、右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图像，如图所示．正弦函数y＝sinx，x∈R的图像叫做正弦曲线．
(2)五点法作图：作出正弦曲线上五个关键点：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用平滑曲线连接起来，再利用周期性得到完整的正弦曲线．

类型一 正弦函数的定义域和值域
命题视角1：利用正弦函数的性质判断复合函数的定义域
[例1] 求函数y＝eq \r(2sinx＋1)的定义域．
[分析] 只需有sinx≥－eq \f(1,2)即可．在此可以利用前面所学的三角函数线，也可以利用y＝sinx的图像解决．
[解] 要使函数有意义，需有2sinx＋1≥0，
即sinx≥－eq \f(1,2)，解得2kπ－eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(7π,6)(k∈Z)，
∴此函数的定义域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)．
求三角函数的定义域，一般是通过解三角不等式，借助于三角函数的图像或单位圆中的三角函数线来确定.
[变式训练1] 求函数y＝lg sinα＋eq \r(192－3α2)的定义域．
解：要使函数y＝lg sinα＋eq \r(192－3α2)有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα>0，,192－3α2≥0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，,－8≤α≤8.))
所以函数的定义域为(－2π，－π)∪(0，π)∪(2π，8]．
命题视角2：利用正弦函数性质判断复合函数的值域与最值
[例2] (1)求使函数y＝－2sinx＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域；
(2)求使函数y＝－sin2x＋eq \r(3)sinx＋eq \f(5,4)取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值．
[解] (1)当x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)时，ymax＝－2×(－1)＋1＝3，
当x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，ymin＝－2×1＋1＝－1，
∴函数y＝－2sinx＋1取最大值时自变量x的集合为{x|x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)}，取最小值时自变量x的集合为{x|x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)}，其值域为[－1,3]．
(2)令t＝sinx，则－1≤t≤1.
y＝－t2＋eq \r(3)t＋eq \f(5,4)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(\r(3),2)))2＋2.
∴当t＝eq \f(\r(3),2)时，ymax＝2.
此时sinx＝eq \f(\r(3),2)，
即x＝2kπ＋eq \f(π,3)或x＝2kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)．
∴当t＝－1时，ymin＝eq \f(1,4)－eq \r(3).
此时sinx＝－1，即x＝2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)．
综上，使函数y＝－sin2x＋eq \r(3)sinx＋eq \f(5,4)取得最大值时自变量x的集合为{x|x＝2kπ＋eq \f(π,3)或x＝2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z}，且最大值为2.
使函数y＝－sin2x＋eq \r(3)sinx＋eq \f(5,4)取得最小值时自变量x的集合为{x|x＝2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z}，且最小值为eq \f(1,4)－eq \r(3).
求含正弦函数的复合函数的值域一般有以下两种方法：
1将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝asinx＋b2＋c型的值域问题.
2利用sinx的有界性求值域，如y＝asinx＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.
[变式训练2] 求f(x)＝2sin2x＋2sinx－eq \f(1,2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))的值域．
解：令t＝sinx，
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5,6)π))，
∴eq \f(1,2)≤sinx≤1，即eq \f(1,2)≤t≤1，
∴f(x)＝g(t)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2－1，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))且该函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上是单调递增的．
∴f(x)min＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，f(x)max＝g(1)＝eq \f(7,2).
∴f(x)＝2sin2x＋2sinx－eq \f(1,2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5,6)π))的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(7,2))).
类型二 三角函数的奇偶性
[例3] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cs(2π－x)－x3sinx；
(2)f(x)＝eq \f(1＋sinx－cs2x,1＋sinx).
[分析] 本题主要考查三角函数的奇偶性，先求出或判断函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义予以判断．
[解] (1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又∵f(x)＝csx－x3sinx，
f(－x)＝cs(－x)－(－x)3sin(－x)＝csx－x3sinx＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵1＋sinx≠0，
∴函数定义域为{x|x∈R且x≠2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z}，
∴函数的定义域不关于原点对称，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
1正确判断函数奇偶性的前提是先看定义域是否关于原点对称.
2注意奇偶性判定法的变通式和定义域的用法.
[变式训练3] 判断函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)x＋\f(3,2)π))的奇偶性．
解：∵x∈R，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)x＋\f(3,2)π))＝－cseq \f(3,4)x.
∴f(－x)＝－cseq \f(3,4)(－x)＝－cseq \f(3,4)x＝f(x)．
∴函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)x＋\f(3,2)π))为偶函数．
类型三 正弦函数的单调性和最值
[例4] 已知函数f(x)＝sinx－1.
(1)写出f(x)的单调区间；
(2)求f(x)的最大值和最小值及取得最值时x的集合；
(3)比较feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))的大小．
[分析] 结合正弦函数的单调性及单调区间求解即可．
[解] (1)∵函数f(x)＝sinx－1与f(x)＝sinx的单调区间相同，
∴f(x)＝sinx－1的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，
减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)．
(2)∵函数g(x)＝sinx，
当x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，取最大值1，
当x＝2kπ＋eq \f(3,2)π(k∈Z)时，取最小值－1.
∴函数f(x)＝sinx－1取最大值x的集合为{x|x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)}，最大值为0，取最小值x的集合为{x|x＝2kπ＋eq \f(3,2)π(k∈Z)}，最小值为－2.
(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))，
∵－eq \f(π,2)<－eq \f(π,12)<－eq \f(π,18)且y＝sinx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))>0.
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12))).
1.求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图像，同时注意三角函数的周期性.
2.比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化.
[变式训练4] (1)比较sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)π))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,4)))三角函数值的大小；
(2)求函数y＝－2sinx－1的增区间．
解：(1)∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)π))＝－sineq \f(3,5)π.
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,4)π))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(5,4)π))＝－sineq \f(5,4)π，
由于eq \f(π,2)且y＝sinx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3,2)π))上单调递减，
∴sineq \f(3,5)π>sineq \f(5,4)π，
∴－sineq \f(3,5)π<－sineq \f(5,4)π，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)π))(2)∵y＝sinx的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))
(k∈Z)，
∴y＝－2sinx－1的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))
(k∈Z)．
类型四 “五点法”作图
[例5] 作函数y＝sinx，x∈[0,2π]与函数y＝－1＋sinx，x∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系．
[分析] 可以用“五点法”原理在同一坐标系中作出两函数的图像，然后比较它们的关系．
[解] 按五个关键点列表：
描点并用光滑的曲线连接起来，如图：
由图像可以发现，把y＝sinx，x∈[0,2π]的图像向下平移1个单位长度即可得y＝－1＋sinx，x∈[0,2π]的图像．
[变式训练5] 在[0,2π]内，作出y＝2sinx的图像．
解：按五个关键点列表：
描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
1．y＝sinx的图像的大致形状是( B )
解析：认真读图，仔细体会A、B、C、D各图所表达的含义，与正弦曲线对照，得出答案，如A缺乏向两侧无限伸展，C没有经过坐标原点，D同C.
2．函数y＝2－sinx的最大值及取得最大值时x的值是( C )
A．y＝3，x＝eq \f(π,2)
B．y＝1，x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)
C．y＝3，x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)
D．y＝1，x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)
解析：当sinx＝－1时，y取最大值3，此时x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．
3．函数f(x)＝eq \f(sinx－x3,x)( B )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．
4．函数y＝lg2(2sinx＋1)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(π,6)＋2kπ解析：要使函数有意义，则必有2sinx＋1>0，即sinx>－eq \f(1,2).结合正弦曲线或单位圆，如图(1)(2)所示，
可知函数y＝lg2(2sinx＋1)的定义域为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(π,6)＋2kπx
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sinx
0
1
0
－1
0
－1＋sinx
－1
0
－1
－2
－1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
2sinx
0
2
0
－2
0