2015-2016学年深圳市潜龙中学九上期中数学试卷

这是一份2015-2016学年深圳市潜龙中学九上期中数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 方程 x2=1 的根是
A. x=1B. x=−1C. x1=1，x2=0D. x1=1，x2=−1

2. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是
A. 当 AB=BC 时，它是菱形B. 当 AC⊥BD 时，它是菱形
C. 当 ∠ABC=90∘ 时，它是矩形D. 当 AC=BD 时，它是正方形

3. 已知关于 x 的方程 m+2x2+5x+m2−4=0 有一个解是 0，则 m 的值为
A. 2B. −2C. +2 或 −2D. 不确定

4. 如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为 3.2 m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距 8 m，与旗杆相距 22 m，则旗杆的高为 m．
A. 8.8B. 10C. 12D. 14

5. 用配方法解一元二次方程 x2+6x−8=0 时可配方得
A. x−32=17B. x+32=17
C. x−32=1D. x−32=−1

6. 今年以来，CPI（居民消费价格总水平）的不断上涨已成为热门话题．已知某种食品在9月份的售价为 8.1 元/kg，11月份的售价为 10 元/kg．求这种食品平均每月上涨的百分率是多少?设这种食品平均每月上涨的百分率为 x，根据题意可列方程式为
A. 8.11+2x=10B. 8.11+x2=10
C. 101−2x=8.1D. 101−x2=8.1

7. 方程 −2x2+3=5x 的根的情况是
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 只有一个实数根

8. 在一个不透明的袋中装着 3 个红球和 1 个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出 2 个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为
A. 12B. 13C. 14D. 16

9. 已知 3x+12−33x+1−4=0，则 x=
A. 1 或 −23B. 4 或 −1C. 13 或 −2D. 无法确定

10. 顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的个数是
①平行四边形；②菱形；③矩形；④对角线相等的四边形．
A. 1B. 2C. 3D. 4

11. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 在 AB 边上．四边形 EFGB 也为正方形，设 △AFC 的面积为 S，则
A. S=2B. S=2.4
C. S=4D. S 与 BE 长度有关

12. 如图，在菱形 ABCD 中，边长为 10，∠A=60∘．顺次连接菱形 ABCD 各边中点，可得四边形 A1B1C1D1；顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点，可得四边形 A2B2C2D2；顺次连接四边形 A2B2C2D2 各边中点，可得四边形 A3B3C3D3；按此规律继续下去 ⋯．四边形 A12B12C12D12 的周长是
A. 54B. 58C. 52D. 5

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知 x2+kx−8=0 的一个根是 2，则另一根为 ．

14. 若 n−3+∣m−1∣=0 且一元二次方程 kx2+nx+m=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 ．

15. 从 2，3，4 这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被 3 整除的概率是 ．

16. 如图，双曲线 y=kx 经过 Rt△BOC 斜边上的点 A，且满足 AOAB=23，与 BC 交于点 D，S△BOD=21，求 k= ．

三、解答题（共6小题；共78分）
17. （1）3x2−4x+1=0．
（2）2x+3x−1=5．

18. 在一个不透明的布袋里装有 4 个标号为 1，2，3，4 的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为 x ，小敏从剩下的 3 个小球中随机取出一个小球，数字为 y，这样确定了点 P 的坐标 x,y．
（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点 P 所有可能的坐标．
（2）求点 Px,y 在函数 y＝−x＋5 图象上的概率．

19. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，D 是 AC 的中点，DE⊥AC，AE∥BD．
（1）证明：△ADE≌△DCB；
（2）连接 BE，判断四边形 BCDE 的形状，并证明；
（3）若 BC=4，AE=5，则四边形 ACBE 的周长是多少?

20. 一公司为了绿化道路环境，向某园林公司购买一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过 100 棵，每棵售价 100 元；如果购买树苗超过 100 棵，每增加 2 棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 1 元．如果每棵树苗最低售价不得少于 80 元，该公司最终向园林公司支付树苗款 10800 元，请问每棵树苗售价为多少元?此时该公司共购买了多少棵树苗?

21. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，BC=10 cm，AD=8 cm．点 P 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 3 cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB，AC，AD 于 E，F，H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为 t 秒 t>0．
（1）当 t=2 时，连接 DE，DF，求证：四边形 AEDF 为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的 △PEF 的面积存在最大值，当 △PEF 的面积最大时，求线段 BP 的长；
（3）是否存在某一时刻 t，使 △PEF 为直角三角形?若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存在，请说明理由．

22. 如图，四边形 OABC 为矩形，以点 O 为原点建立直角坐标系，点 C 在 x 轴的正半轴上，点 A 在 y 轴的正半轴上，已知点 B 为 2,4，反比例函数 y=mx 图象经过 AB 的中点 D，且与 BC 交于点 E．
（1）求 m 的值和点 E 的坐标；
（2）求直线 DE 的解析式；
（3）点 Q 为 x 轴上一点，点 P 为反比例函数 y=mx 图象上一点，是否存在点 P，Q，使得以 P，Q，D，E 为顶点的四边形为平行四边形?如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D
2. D
3. C
4. C
5. B
6. B
7. C
8. A【解析】提示：列表或树形图
9. A
10. A
11. A
12. B
第二部分
13. −4
14. k≤94 且 k≠0
15. 13
【解析】如下表，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，共 6 种情况，其中能被 3 整除的有 24，42 两种，
234223243323444243
∴ 组成两位数能被 3 整除的概率为 26=13．
16. 8
【解析】过 A 作 AE⊥x 轴于点 E．
S△OAE=S△OCD，
△OAE∽△OBC，
S△OAE:S△OBD+S△OCD=AOOB2=425．
第三部分
17. （1）
3x2−4x+1=0
3x−1x−1=0,
3x−1=0或x−1=0,
所以
x1=13,x2=1.
（2）
2x+3x−1=5
2x2+4x−11=0,
x2+2x=112,
x2+2x+1=112+1,
x+12=132,
x+1=±262,
所以
x1=−1+262,x2=−1−262.
18. （1） 画树状图如下：
点p所有可能的坐标有：1,2，1,3，1,4，2,1，2,3，2,4，3,1，3,2，3,4，4,1，4,2，4,3 共12种．
（2） 因为共有 12 种等可能的结果，其中在函数 y=−x+5 图象上的有 4 种，即：1,4，2,3，3,2，4,1，所以点 Px,y 在函数 y=−x+5 图象上的概率 412=13
19. （1） ∵ AE∥BD，
∴ ∠CDB=∠DAE，
∵ ∠ACB=90∘，DE⊥AC，
∴ ∠C=∠ADE=90∘，
∵ D 为 AC 中点，
∴ AD=CD，
在 △ADE 和 △DCB 中，
∠ADE=∠C,AD=CD,∠DAE=∠CDB,
∴ △ADE≌△DCB（ASA）；
（2） 四边形 BCDE 是矩形；理由如下：
由（1）得：△ADE≌△DCB，
∴ DE=BC，BD=AE，
又 ∵ ∠ACB=90∘，DE⊥AC，
∴ DE∥BC，
∴ 四边形 BCDE 是矩形；
（3） 在 Rt△DCB 中，BC=4，BD=AE=5，
由勾股定理得：CD=BD2−BC2=3，
∴ AD=CD=3，
∵ 四边形 BCDE 是矩形，
∴ CD=BE=3，
∴ 四边形 ACBE 的周长是 AC+BC+BE+AE=3+3+4+3+5=18．
20. 设当购买 x 棵树苗时，每棵树苗最低售价是 80 元，
则
100−x−1002=80,
解得
x=140棵.
设购买 x 棵树苗，付款为 y 元，
①当 x≥140 时，y=80x，
则
80x=10800,
解得：
x=135;不符合题意,舍去
②当 100y=100−x−1002x=−12x2+150x,
则
−12x2+150x=10800,
解得：
x1=120,x2=180舍去,
此时每棵树苗售价为 90 元，此时公司购进了 120 棵树苗．
答：每棵树苗的价格为 90 元，公司购进了 120 棵树苗．
21. （1） 当 t=2 时，DH=AH=4，
则 H 为 AD 的中点，如答图1所示．
又 ∵EF⊥AD，
∴EF 为 AD 的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥BC 于点 D，
∴∠B=∠C．
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
即四边形 AEDF 为菱形．
（2） 如答图2所示，
由（1）知 EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AHAD，
即 EF10=8−2t8，
解得：EF=10−52t．
S△PEF=12EF⋅DH=1210−52t⋅2t=−52t2+10t=−52t−22+100 ∴ 当 t=2 秒时，S△PEF 存在最大值，最大值为 10 cm2，此时 BP=3t=6 cm．
（3） 存在．理由如下：
①若点 E 为直角顶点，如答图3①所示，
此时 PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，
∴△BPE∽△BDA，
∴PEAD=BPBD，
即 2t8=3t5，
此比例式不成立，故此种情形不存在；
②若点 F 为直角顶点，如答图3②所示，
此时 PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10−3t．
∵PF∥AD，
∴△CPF∽△CDA，
∴PFAD=CPCD，
即 2t8=10−3t5，
解得 t=4017；
③若点 P 为直角顶点，如答图③所示．
过点 E 作 EM⊥BC 于点 M，过点 F 作 FN⊥BC 于点 N，
则 EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，
∴△BME∽△BDA，
∴EMAD=BMBD，
即 2t8=BM5，
解得 BM=54t，
∴PM=BP−BM=3t−54t=74t．
在 Rt△EMP 中，由勾股定理得：
PE2=EM2+PM2=2t2+74t2=11316t2.
∵FN∥AD，
∴△CNF∽△CDA，
∴FNAD=CNCD，
即 2t8=CN5，
解得 CN=54t，
∴PN=BC−BP=10−3t−54t=10−174t．
在 Rt△FNP 中，有勾股定理得：
PF2=FN2+PN2=2t2+10−174t2=35316t2−85t+100.
在 Rt△PEF 中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，
即：10−52t2=11316t2+35316t2−85t+100，
化简得：1838t2−35t=0，
解得：t=280183 或 t=0（舍去）
∴t=280183．
综上所述，当 t=4017 秒或 t=280183 秒时，△PEF 为直角三角形．
22. （1） 因为四边形 OABC 为矩形，点 B 为 2,4，
所以 AB=2，BC=4，
因为 D 是 AB 的中点，
所以 D1,4，
因为反比例函数 y=mx 图象经过 AB 的中点 D，
所以 4=m1，则 m=4，
所以反比例函数为 y=4x，
令 x=2，则 y=2，
所以 E 的坐标 2,2．
（2） 因为 D1,4，E2,2，
设直线 DE 的解析式为 y=kx+b，
所以 k+b=4,2k+b=2,
解得 k=−2,b=6,
所以直线 DE 的解析式为 y=−2x+6．
（3） 存在；
因为 D1,4，E2,2，以 P，Q，D，E 为顶点的四边形为平行四边形，
当 DE 是平行四边形的边时，则 PQ∥DE，且 PQ=DE，
所以 Q 的纵坐标为 0，
所以 P 的纵坐标为 ±2，
令 y=2，则 2=4x，解得 x=2，
令 y=−2，则 −2=4x，解得 x=−2，
因为 E2,2，
所以 P 点的坐标为 −2,−2；
当 DE 是平行四边形的对角线时，
因为 D1,4，E2,2，
所以 DE 的中点为 32,3，
设 Pa,4a，Qx,0，
所以 4a÷2=3，a+x2=32，
所以 a=23，x=73，
所以 P23,6，
故使得以 P，Q，D，E 为顶点的四边形为平行四边形的 P 点的坐标为 −2,−2 或 23,6．