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2021-2022学年广东省深圳市龙华区潜龙中学九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年广东省深圳市龙华区潜龙中学九年级（上）期中数学试卷 解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省深圳市龙华区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，把答案填在答题卡上．）
1．（3分）一元二次方程x2﹣9＝0的根为（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x＝9
2．（3分）将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次反面都向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
4．（3分）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD
5．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
6．（3分）如图，已知D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点，DE∥BC且，△ADE的周长2，则△ABC的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．18
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两个等腰三角形相似
C．一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0，无论a取何值，一定有两个不相等的实数根
D．已知线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，则
8．（3分）如图，点B是直线l外一点，在l的另一侧任取一点K，以B为圆心，BK为半径作弧，交直线l于点M、N；再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧相交于点P；连接BP交直线l于点A；点C是直线l上一点，点D、E分别是线段AB、BC的中点；F在CA的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝8，AB＝6，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
9．（3分）《九章算术》记载“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝30步，NF＝750步，则正方形的边长为（ ）
A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
10．（3分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S△ACD＝6S△BOF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S四边形ODGF＞S△ABF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡上．）
11．（3分）若＝，则＝ ．
12．（3分）在一个不透明的袋子中放有a个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a的值约为 ．
13．（3分）某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其他的球队进行一场比赛，已知共举行了28场比赛，那么参加比赛的球队数共有 个．
14．（3分）把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，若BC＝4，AB＝2，则△ACF的面积为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
三、解答题（本大题有7题，其中16题9分，17题7分，18题6分，19题7分，20题8分，21题9分，22题9分0，共55分）
16．（9分）解方程：
（1）x2﹣7x＝0．
（2）x2+12x+13＝0．
17．（7分）如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1），C（2，1）．
（1）以点O（0，0）为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大到原来的两倍，得到△OB'C'，放大后B，C两点的对应点分别为B'，C'，画出△OB'C'，并写出点B'，C'的坐标；
（2）求△OB'C'的面积．
18．（6分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
19．（7分）如图，在▱ABCD中，BE⊥CD于点E，点F在AB上，且AF＝CE，连接DF．
（1）求证：四边形BEDF为矩形；
（2）连接CF，若CF平分∠BCD，且CE＝3，BE＝4，求▱ABCD的面积．
20．（8分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
21．（9分）某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EF GH；（填“＞”“＝”或“＜”）
（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：＝；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝3，CD＝5，AD＝7.5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根，且OA＞OC．
（1）求线段OA，OC的长；
（2）求证：△ADE≌△COE，并求出线段OE的长；
（3）直接写出点D的坐标；
（4）若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年广东省深圳市龙华区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，把答案填在答题卡上．）
1．（3分）一元二次方程x2﹣9＝0的根为（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x＝9
【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
∴x＝±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故选：C．
2．（3分）将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次反面都向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：列树状图可得
∴两次反面都向上的概率为，
故选：D．
3．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【分析】根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，
∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选：C．
4．（3分）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD
【分析】由菱形的判定方法和矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
又∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：D．
5．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．
【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝5+9，
（x﹣3）2＝14，
故选：A．
6．（3分）如图，已知D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点，DE∥BC且，△ADE的周长2，则△ABC的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．18
【分析】由DE∥BC，证出△ADE∽S△ABC，得出周长的比等于相似比，容易得出结果．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∵AD+DE+AE＝2，
∴AB+BC+AC＝6．
故选：B．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两个等腰三角形相似
C．一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0，无论a取何值，一定有两个不相等的实数根
D．已知线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，则
【分析】由矩形的判定、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、根的判别式以及黄金分割点的定义分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵两条对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两个等腰三角形不一定相似，
∴选项B不符合题意；
C、∵一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0中，Δ＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）＝a2+8＞0，
∴一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0，无论a取何值，一定有两个不相等的实数根，
∴选项C符合题意；
D、∵线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，
若AC＞BC，
则AC＝AB＝﹣1，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
8．（3分）如图，点B是直线l外一点，在l的另一侧任取一点K，以B为圆心，BK为半径作弧，交直线l于点M、N；再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧相交于点P；连接BP交直线l于点A；点C是直线l上一点，点D、E分别是线段AB、BC的中点；F在CA的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝8，AB＝6，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
【分析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质求出AE，根据三角形中位线定理求出DE，根据平行四边形的判定和性质解答即可．
【解答】解：由题意得，BA⊥MN，
∴BC＝＝10，
∵∠BAC＝90°，点E是线段BC的中点，
∴AE＝BE＝BC＝5，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠FDA＝∠B，
∴∠FDA＝∠EAB，
∴DF∥AE，
∵点D、E分别是线段AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC＝4，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF的周长＝2×（4+5）＝18，
故选：D．
9．（3分）《九章算术》记载“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝30步，NF＝750步，则正方形的边长为（ ）
A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
【分析】根据题意，可知Rt△AEN∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【解答】解：∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
∴AM＝AD，AN＝AB，
∴AM＝AN，
由题意可得，Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴＝，
即AM2＝30×750＝22500，
解得：AM＝150（步），
∴AD＝2AM＝300（步）；
故选：D．
10．（3分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S△ACD＝6S△BOF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S四边形ODGF＞S△ABF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
【分析】由菱形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，BO＝OD，由平行线的性质可得∠ABG＝∠GED，∠BAG＝∠GDE，证明△ABG≌△DEG，得到BG＝GE，据此判断①；由全等三角形的性质可得AG＝GD，由菱形的性质可得AB＝AD，AO⊥BO，结合∠BAD＝60°可得AB＝BD＝AD，证明△BOF∽△AOB，由相似三角形的性质可判断②；由全等三角形的性质可得AB＝DE，推出四边形ABDE是平行四边形，结合AB＝BD可判断③；由三角形的中位线定理和相似三角形的性质可得S△OFG＝S△AOG，据此判断④．
【解答】解：①∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，BO＝OD，
∴∠ABG＝∠GED，∠BAG＝∠GDE，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴BG＝GE，
∴OG＝AB，∴①正确；
②由①知△ABG≌△DEG，
∴AG＝GD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AO⊥BO，
∵∠BAD＝60°，
∴AB＝BD＝AD，BG⊥AD，
∴∠FBO＝30°，∠ABO＝60°，∠BAO＝30°，
∴，
∴，
∵S△ACD＝S△ABC＝2S△ABO，
∴，∴②正确
③由①知△ABG≌△DEG，
∴AB＝DE，
∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
由②知：AB＝BD，
∴四边形ABDE是菱形，∴③正确．
④∵BO＝DO，AG＝DG，
∴，OG∥AB，
∴△OGF∽△ABF，
∴，
∴S△AFG＝2S△OFG，
∵S△AOG＝S△AFG+S△OFG，
∴，S△DOG：S△DBA＝1：4，S△FOG：S△FAB＝1：4，
∴，
∵AG＝GD，
∴S△AOG＝S△GOD，
∴S四边形，
∴S四边形ODGF＝S△FAB，∴④不正确．
综上所述①②③正确．
故选：B．
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡上．）
11．（3分）若＝，则＝ ．
【分析】先把化成1﹣，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝1﹣＝1﹣＝．
故答案为：．
12．（3分）在一个不透明的袋子中放有a个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a的值约为 24 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.25左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得＝0.25，
解得：a＝24，
经检验：a＝24是分式方程的解，
故答案为：24．
13．（3分）某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其他的球队进行一场比赛，已知共举行了28场比赛，那么参加比赛的球队数共有 8 个．
【分析】设参加比赛的球队数共有x个，由比赛共举行了28场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设参加比赛的球队数共有x个，
依题意，得：x（x﹣1）＝28，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故答案是：8．
14．（3分）把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，若BC＝4，AB＝2，则△ACF的面积为 10 ．
【分析】根据四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，得到AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，即可得到△ABC≌△CEF，根据全等的性质得到∠ACB＝∠CFE，AC＝CF，再根据角角之间的关系得到∠ACF＝90°，于是判断出△ACF的形状，进而根据三角形的面积公式即可求得．
【解答】解：在RT△ABC中，AC＝＝＝，
∵四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，
在△ABC和△CEF中，
，
∴△ABC≌△CEF（SAS），
∴∠ACB＝∠CFE，AC＝CF，
∵点B、C、E共线，
∴∠ACB+∠ACF+∠FCE＝180°，
∴∠ACF＝180°﹣（∠ECF+∠EFC）＝90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴AC＝CF＝，
∴S△ACF＝AC•CF＝10．
故答案为10．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 2 ．
【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′，从而求解．
【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，
∴AC＝2，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝，
∴OP′＝1，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OP′＝2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题有7题，其中16题9分，17题7分，18题6分，19题7分，20题8分，21题9分，22题9分0，共55分）
16．（9分）解方程：
（1）x2﹣7x＝0．
（2）x2+12x+13＝0．
【分析】（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣7x＝0，
∴x（x﹣7）＝0，
则x＝0或x﹣7＝0，
解得x1＝0，x2＝7；
（2）∵a＝1，b＝12，c＝13，
∴Δ＝122﹣4×1×13＝92＞0，
则x＝＝＝﹣6，
∴x1＝﹣6+，x2＝﹣6﹣．
17．（7分）如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1），C（2，1）．
（1）以点O（0，0）为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大到原来的两倍，得到△OB'C'，放大后B，C两点的对应点分别为B'，C'，画出△OB'C'，并写出点B'，C'的坐标；
（2）求△OB'C'的面积．
【分析】（1）根据位似图形的性质，找到点B'、C'即可；
（2）利用割补法求△OB'C'的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△OB'C'即为所求，
由图形可知，B'（﹣6，2），C'（﹣4，﹣2）；
（2）S△B'C'O＝×6×2＝10．
18．（6分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了 20 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）由题意可得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%＝20（名）；
（2）由题意可得：C类女生：20×25%﹣2＝3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1＝1（名）；继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%＝20（名）；
故答案为：20；
（2）∵C类女生：20×25%﹣2＝3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1＝1（名）；
如图：
（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，
男A1
男A2
…（7分）
女A
男D
男A1男D
男A2男D
女A男D
女D
男A1女D
男A2女D
女A女D
共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：＝．
19．（7分）如图，在▱ABCD中，BE⊥CD于点E，点F在AB上，且AF＝CE，连接DF．
（1）求证：四边形BEDF为矩形；
（2）连接CF，若CF平分∠BCD，且CE＝3，BE＝4，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，推出四边形BEDF是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由矩形的性质得DE＝BF，由角平分线的定义得到∠DCF＝∠BCF，由平行线的性质得到∠DCF＝∠CFB，证出BF＝BC＝5，进而解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AF＝CE，
∴AB﹣AF＝CD﹣CE，
即BF＝DE，BF∥DE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
又∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∴平行四边形BEDF为矩形；
（2）解：∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠BFC＝∠DCF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BC＝BF，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BC＝，
∴BC＝BF＝5，
又∵AF＝CE＝3，
∴CD＝AB＝BF+AF＝5+3＝8，
∴S▱ABCD＝CD•BE＝8×4＝32．
20．（8分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
【分析】（1）设函数关系式y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；
（2）根据总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中的正值即可得出结论．
【解答】解：（1）由图象知，（10，40），（18，24），
设y与x之间的函数关系式y＝kx+b（k≠0），
把（10，40），（18，24）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（10≤x≤18）；
（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝150，
整理，得：x2﹣40x+375＝0，
解得：x1＝15，x2＝25（不合题意，舍去）．
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．
21．（9分）某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EF ＝ GH；（填“＞”“＝”或“＜”）
（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：＝；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝3，CD＝5，AD＝7.5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
【分析】（1）EF＝GH．如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．先证明四边形AGHP、四边形BEFQ都是平行四边形，推出AP＝GH，EF＝BQ．再证明△ABP≌△BCQ，推出AP＝BQ，即可解决问题．
（2）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP＝EF，GH＝BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得＝．设SC＝x，则AR＝BS＝3+x，由△ARD∽△DSC，得＝＝＝＝，推出DR＝x，DS＝（x+3），在Rt△ARD中，根据AD2＝AR2+DR2，可得7.52＝（x+3）2+（x）2，求出x即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，AD∥BC．AB＝BC，∠ABP＝∠C＝90°
∴四边形AGHP、四边形BEFQ都是平行四边形，
∴AP＝GH，EF＝BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠PBT+∠ABT＝90°，∠ABT+∠BAT＝90°，
∴∠CBQ＝∠BAT，
在△ABP和△BCQ中，
，
∴△ABP≌△BCQ，
∴AP＝BQ，
∴EF＝GH，
故答案为＝．
（2）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠QAT+∠AQT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠D＝90°，
∴∠DAP+∠DPA＝90°，
∴∠AQT＝∠DPA．
∴△PDA∽△QAB，
∴＝，
∴＝；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，
∴▱ABSR是矩形，
∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB，AR＝BS．
∵AM⊥DN，
∴由（1）中的结论可得＝，
设SC＝x，则AR＝BS＝3+x，
∵∠ADC＝∠R＝∠S＝90°，
∴∠ADR+∠RAD＝90°，∠ADR+∠SDC＝90°，
∴∠RAD＝∠CDS，
∴△ARD∽△DSC，
∴＝＝＝＝，
∴DR＝x，DS＝（x+3），
在Rt△ARD中，AD2＝AR2+DR2，
∴7.52＝（x+3）2+（x）2，
整理得13x2+24x﹣189＝0，解得x＝3或﹣，
∴AR＝6，AB＝RS＝，
∴＝＝．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根，且OA＞OC．
（1）求线段OA，OC的长；
（2）求证：△ADE≌△COE，并求出线段OE的长；
（3）直接写出点D的坐标；
（4）若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）由四边形ABCO是矩形，得到AB＝OC，∠ABC＝∠AOC＝90°，根据折叠的性质得到AD＝AB，∠ADE＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的判定得到△ADE≌△COE；根据勾股定理得到OE＝3；
（3）过D作DM⊥x轴于M，则OE∥DM，根据相似三角形的性质得到CM＝，DM＝，于是得到结论．
（4）过P1作P1H⊥AO于H，根据菱形的性质得到P1E＝CE＝5，P1E∥AC，设P1H＝k，HE＝2k，根据勾股定理得到P1E＝k＝5，于是得到P1（﹣，2+3），同理P3（，3﹣2），当A与F重合时，得到P2（4，5）；当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形，得到EP4＝5，EP4∥AC，如图2，过P4作P4G⊥x轴于G，过P4作P4N⊥OE于N，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）解方程x2﹣12x+32＝0得，x1＝8，x2＝4，∵OA＞OC，
∴OA＝8，OC＝4；
（2）∵四边形ABCO是矩形，
∴AB＝OC，∠ABC＝∠AOC＝90°，
∵把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，
∴AD＝AB，∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴AD＝OC，∠ADE＝∠COE，
在△ADE与△COE中，，
∴△ADE≌△COE；
∵CE2＝OE2+OC2，即（8﹣OE）2＝OE2+42，
∴OE＝3；
（3）过D作DM⊥x轴于M，
则OE∥DM，
∴△OCE∽△MCD，
∴，
∴CM＝，DM＝，
∴OM＝，
∴D（﹣，）；
（4）存在；∵OE＝3，OC＝4，
∴CE＝5，
过P1作P1H⊥AO于H，
∵四边形P1ECF1是菱形，
∴P1E＝CE＝5，P1E∥AC，
∴∠P1EH＝∠OAC，
∴＝＝，
∴设P1H＝k，HE＝2k，
∴P1E＝k＝5，
∴P1H＝，HE＝2，
∴OH＝2+3，
∴P1（﹣，2+3），
同理P3（，3﹣2），
当A与F重合时，四边形F2ECP2是菱形，
∴EF2∥CP2，EF2，＝CP2＝5，
∴P2（4，5）；
当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形，
∴EP4＝5，EP4∥AC，
如图2，过P4作P4G⊥x轴于G，过P4作P4N⊥OE于N，
则P4N＝OG，P4G＝ON，
EP4∥AC，
∴＝，
设P4N＝x，EN＝2x，
∴P4E＝CP4＝x，
∴P4G＝ON＝3﹣2x，CG＝4﹣x，
∴（3﹣2x）2+（4﹣x）2＝（x）2，
∴x＝，
∴3﹣2x＝，
∴P4（，），
综上所述：存在以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，P（﹣，2+3），（，3﹣2），（4，5），（，）．
2021-2022学年广东省深圳市龙华区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，把答案填在答题卡上．）
1．（3分）一元二次方程x2﹣9＝0的根为（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x＝9
2．（3分）将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次反面都向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
4．（3分）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD
5．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
6．（3分）如图，已知D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点，DE∥BC且，△ADE的周长2，则△ABC的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．18
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两个等腰三角形相似
C．一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0，无论a取何值，一定有两个不相等的实数根
D．已知线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，则
8．（3分）如图，点B是直线l外一点，在l的另一侧任取一点K，以B为圆心，BK为半径作弧，交直线l于点M、N；再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧相交于点P；连接BP交直线l于点A；点C是直线l上一点，点D、E分别是线段AB、BC的中点；F在CA的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝8，AB＝6，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
9．（3分）《九章算术》记载“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝30步，NF＝750步，则正方形的边长为（ ）
A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
10．（3分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S△ACD＝6S△BOF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S四边形ODGF＞S△ABF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡上．）
11．（3分）若＝，则＝ ．
12．（3分）在一个不透明的袋子中放有a个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a的值约为 ．
13．（3分）某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其他的球队进行一场比赛，已知共举行了28场比赛，那么参加比赛的球队数共有 个．
14．（3分）把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，若BC＝4，AB＝2，则△ACF的面积为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
三、解答题（本大题有7题，其中16题9分，17题7分，18题6分，19题7分，20题8分，21题9分，22题9分0，共55分）
16．（9分）解方程：
（1）x2﹣7x＝0．
（2）x2+12x+13＝0．
17．（7分）如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1），C（2，1）．
（1）以点O（0，0）为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大到原来的两倍，得到△OB'C'，放大后B，C两点的对应点分别为B'，C'，画出△OB'C'，并写出点B'，C'的坐标；
（2）求△OB'C'的面积．
18．（6分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
19．（7分）如图，在▱ABCD中，BE⊥CD于点E，点F在AB上，且AF＝CE，连接DF．
（1）求证：四边形BEDF为矩形；
（2）连接CF，若CF平分∠BCD，且CE＝3，BE＝4，求▱ABCD的面积．
20．（8分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
21．（9分）某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EF GH；（填“＞”“＝”或“＜”）
（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：＝；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝3，CD＝5，AD＝7.5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根，且OA＞OC．
（1）求线段OA，OC的长；
（2）求证：△ADE≌△COE，并求出线段OE的长；
（3）直接写出点D的坐标；
（4）若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年广东省深圳市龙华区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，把答案填在答题卡上．）
1．（3分）一元二次方程x2﹣9＝0的根为（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x＝9
【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
∴x＝±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故选：C．
2．（3分）将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次反面都向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：列树状图可得
∴两次反面都向上的概率为，
故选：D．
3．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【分析】根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，
∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选：C．
4．（3分）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD
【分析】由菱形的判定方法和矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
又∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：D．
5．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．
【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝5+9，
（x﹣3）2＝14，
故选：A．
6．（3分）如图，已知D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点，DE∥BC且，△ADE的周长2，则△ABC的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．18
【分析】由DE∥BC，证出△ADE∽S△ABC，得出周长的比等于相似比，容易得出结果．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∵AD+DE+AE＝2，
∴AB+BC+AC＝6．
故选：B．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两个等腰三角形相似
C．一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0，无论a取何值，一定有两个不相等的实数根
D．已知线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，则
【分析】由矩形的判定、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、根的判别式以及黄金分割点的定义分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵两条对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两个等腰三角形不一定相似，
∴选项B不符合题意；
C、∵一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0中，Δ＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）＝a2+8＞0，
∴一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0，无论a取何值，一定有两个不相等的实数根，
∴选项C符合题意；
D、∵线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，
若AC＞BC，
则AC＝AB＝﹣1，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
8．（3分）如图，点B是直线l外一点，在l的另一侧任取一点K，以B为圆心，BK为半径作弧，交直线l于点M、N；再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧相交于点P；连接BP交直线l于点A；点C是直线l上一点，点D、E分别是线段AB、BC的中点；F在CA的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝8，AB＝6，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
【分析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质求出AE，根据三角形中位线定理求出DE，根据平行四边形的判定和性质解答即可．
【解答】解：由题意得，BA⊥MN，
∴BC＝＝10，
∵∠BAC＝90°，点E是线段BC的中点，
∴AE＝BE＝BC＝5，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠FDA＝∠B，
∴∠FDA＝∠EAB，
∴DF∥AE，
∵点D、E分别是线段AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC＝4，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF的周长＝2×（4+5）＝18，
故选：D．
9．（3分）《九章算术》记载“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝30步，NF＝750步，则正方形的边长为（ ）
A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
【分析】根据题意，可知Rt△AEN∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【解答】解：∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
∴AM＝AD，AN＝AB，
∴AM＝AN，
由题意可得，Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴＝，
即AM2＝30×750＝22500，
解得：AM＝150（步），
∴AD＝2AM＝300（步）；
故选：D．
10．（3分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S△ACD＝6S△BOF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S四边形ODGF＞S△ABF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
【分析】由菱形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，BO＝OD，由平行线的性质可得∠ABG＝∠GED，∠BAG＝∠GDE，证明△ABG≌△DEG，得到BG＝GE，据此判断①；由全等三角形的性质可得AG＝GD，由菱形的性质可得AB＝AD，AO⊥BO，结合∠BAD＝60°可得AB＝BD＝AD，证明△BOF∽△AOB，由相似三角形的性质可判断②；由全等三角形的性质可得AB＝DE，推出四边形ABDE是平行四边形，结合AB＝BD可判断③；由三角形的中位线定理和相似三角形的性质可得S△OFG＝S△AOG，据此判断④．
【解答】解：①∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，BO＝OD，
∴∠ABG＝∠GED，∠BAG＝∠GDE，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴BG＝GE，
∴OG＝AB，∴①正确；
②由①知△ABG≌△DEG，
∴AG＝GD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AO⊥BO，
∵∠BAD＝60°，
∴AB＝BD＝AD，BG⊥AD，
∴∠FBO＝30°，∠ABO＝60°，∠BAO＝30°，
∴，
∴，
∵S△ACD＝S△ABC＝2S△ABO，
∴，∴②正确
③由①知△ABG≌△DEG，
∴AB＝DE，
∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
由②知：AB＝BD，
∴四边形ABDE是菱形，∴③正确．
④∵BO＝DO，AG＝DG，
∴，OG∥AB，
∴△OGF∽△ABF，
∴，
∴S△AFG＝2S△OFG，
∵S△AOG＝S△AFG+S△OFG，
∴，S△DOG：S△DBA＝1：4，S△FOG：S△FAB＝1：4，
∴，
∵AG＝GD，
∴S△AOG＝S△GOD，
∴S四边形，
∴S四边形ODGF＝S△FAB，∴④不正确．
综上所述①②③正确．
故选：B．
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡上．）
11．（3分）若＝，则＝ ．
【分析】先把化成1﹣，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝1﹣＝1﹣＝．
故答案为：．
12．（3分）在一个不透明的袋子中放有a个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a的值约为 24 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.25左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得＝0.25，
解得：a＝24，
经检验：a＝24是分式方程的解，
故答案为：24．
13．（3分）某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其他的球队进行一场比赛，已知共举行了28场比赛，那么参加比赛的球队数共有 8 个．
【分析】设参加比赛的球队数共有x个，由比赛共举行了28场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设参加比赛的球队数共有x个，
依题意，得：x（x﹣1）＝28，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故答案是：8．
14．（3分）把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，若BC＝4，AB＝2，则△ACF的面积为 10 ．
【分析】根据四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，得到AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，即可得到△ABC≌△CEF，根据全等的性质得到∠ACB＝∠CFE，AC＝CF，再根据角角之间的关系得到∠ACF＝90°，于是判断出△ACF的形状，进而根据三角形的面积公式即可求得．
【解答】解：在RT△ABC中，AC＝＝＝，
∵四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，
在△ABC和△CEF中，
，
∴△ABC≌△CEF（SAS），
∴∠ACB＝∠CFE，AC＝CF，
∵点B、C、E共线，
∴∠ACB+∠ACF+∠FCE＝180°，
∴∠ACF＝180°﹣（∠ECF+∠EFC）＝90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴AC＝CF＝，
∴S△ACF＝AC•CF＝10．
故答案为10．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 2 ．
【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′，从而求解．
【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，
∴AC＝2，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝，
∴OP′＝1，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OP′＝2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题有7题，其中16题9分，17题7分，18题6分，19题7分，20题8分，21题9分，22题9分0，共55分）
16．（9分）解方程：
（1）x2﹣7x＝0．
（2）x2+12x+13＝0．
【分析】（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣7x＝0，
∴x（x﹣7）＝0，
则x＝0或x﹣7＝0，
解得x1＝0，x2＝7；
（2）∵a＝1，b＝12，c＝13，
∴Δ＝122﹣4×1×13＝92＞0，
则x＝＝＝﹣6，
∴x1＝﹣6+，x2＝﹣6﹣．
17．（7分）如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1），C（2，1）．
（1）以点O（0，0）为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大到原来的两倍，得到△OB'C'，放大后B，C两点的对应点分别为B'，C'，画出△OB'C'，并写出点B'，C'的坐标；
（2）求△OB'C'的面积．
【分析】（1）根据位似图形的性质，找到点B'、C'即可；
（2）利用割补法求△OB'C'的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△OB'C'即为所求，
由图形可知，B'（﹣6，2），C'（﹣4，﹣2）；
（2）S△B'C'O＝×6×2＝10．
18．（6分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了 20 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）由题意可得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%＝20（名）；
（2）由题意可得：C类女生：20×25%﹣2＝3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1＝1（名）；继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%＝20（名）；
故答案为：20；
（2）∵C类女生：20×25%﹣2＝3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1＝1（名）；
如图：
（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，
男A1
男A2
…（7分）
女A
男D
男A1男D
男A2男D
女A男D
女D
男A1女D
男A2女D
女A女D
共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：＝．
19．（7分）如图，在▱ABCD中，BE⊥CD于点E，点F在AB上，且AF＝CE，连接DF．
（1）求证：四边形BEDF为矩形；
（2）连接CF，若CF平分∠BCD，且CE＝3，BE＝4，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，推出四边形BEDF是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由矩形的性质得DE＝BF，由角平分线的定义得到∠DCF＝∠BCF，由平行线的性质得到∠DCF＝∠CFB，证出BF＝BC＝5，进而解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AF＝CE，
∴AB﹣AF＝CD﹣CE，
即BF＝DE，BF∥DE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
又∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∴平行四边形BEDF为矩形；
（2）解：∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠BFC＝∠DCF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BC＝BF，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BC＝，
∴BC＝BF＝5，
又∵AF＝CE＝3，
∴CD＝AB＝BF+AF＝5+3＝8，
∴S▱ABCD＝CD•BE＝8×4＝32．
20．（8分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
【分析】（1）设函数关系式y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；
（2）根据总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中的正值即可得出结论．
【解答】解：（1）由图象知，（10，40），（18，24），
设y与x之间的函数关系式y＝kx+b（k≠0），
把（10，40），（18，24）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（10≤x≤18）；
（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝150，
整理，得：x2﹣40x+375＝0，
解得：x1＝15，x2＝25（不合题意，舍去）．
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．
21．（9分）某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EF ＝ GH；（填“＞”“＝”或“＜”）
（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：＝；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝3，CD＝5，AD＝7.5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．
【分析】（1）EF＝GH．如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．先证明四边形AGHP、四边形BEFQ都是平行四边形，推出AP＝GH，EF＝BQ．再证明△ABP≌△BCQ，推出AP＝BQ，即可解决问题．
（2）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP＝EF，GH＝BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得＝．设SC＝x，则AR＝BS＝3+x，由△ARD∽△DSC，得＝＝＝＝，推出DR＝x，DS＝（x+3），在Rt△ARD中，根据AD2＝AR2+DR2，可得7.52＝（x+3）2+（x）2，求出x即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，AD∥BC．AB＝BC，∠ABP＝∠C＝90°
∴四边形AGHP、四边形BEFQ都是平行四边形，
∴AP＝GH，EF＝BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠PBT+∠ABT＝90°，∠ABT+∠BAT＝90°，
∴∠CBQ＝∠BAT，
在△ABP和△BCQ中，
，
∴△ABP≌△BCQ，
∴AP＝BQ，
∴EF＝GH，
故答案为＝．
（2）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠QAT+∠AQT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠D＝90°，
∴∠DAP+∠DPA＝90°，
∴∠AQT＝∠DPA．
∴△PDA∽△QAB，
∴＝，
∴＝；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，
∴▱ABSR是矩形，
∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB，AR＝BS．
∵AM⊥DN，
∴由（1）中的结论可得＝，
设SC＝x，则AR＝BS＝3+x，
∵∠ADC＝∠R＝∠S＝90°，
∴∠ADR+∠RAD＝90°，∠ADR+∠SDC＝90°，
∴∠RAD＝∠CDS，
∴△ARD∽△DSC，
∴＝＝＝＝，
∴DR＝x，DS＝（x+3），
在Rt△ARD中，AD2＝AR2+DR2，
∴7.52＝（x+3）2+（x）2，
整理得13x2+24x﹣189＝0，解得x＝3或﹣，
∴AR＝6，AB＝RS＝，
∴＝＝．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根，且OA＞OC．
（1）求线段OA，OC的长；
（2）求证：△ADE≌△COE，并求出线段OE的长；
（3）直接写出点D的坐标；
（4）若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）由四边形ABCO是矩形，得到AB＝OC，∠ABC＝∠AOC＝90°，根据折叠的性质得到AD＝AB，∠ADE＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的判定得到△ADE≌△COE；根据勾股定理得到OE＝3；
（3）过D作DM⊥x轴于M，则OE∥DM，根据相似三角形的性质得到CM＝，DM＝，于是得到结论．
（4）过P1作P1H⊥AO于H，根据菱形的性质得到P1E＝CE＝5，P1E∥AC，设P1H＝k，HE＝2k，根据勾股定理得到P1E＝k＝5，于是得到P1（﹣，2+3），同理P3（，3﹣2），当A与F重合时，得到P2（4，5）；当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形，得到EP4＝5，EP4∥AC，如图2，过P4作P4G⊥x轴于G，过P4作P4N⊥OE于N，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）解方程x2﹣12x+32＝0得，x1＝8，x2＝4，∵OA＞OC，
∴OA＝8，OC＝4；
（2）∵四边形ABCO是矩形，
∴AB＝OC，∠ABC＝∠AOC＝90°，
∵把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，
∴AD＝AB，∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴AD＝OC，∠ADE＝∠COE，
在△ADE与△COE中，，
∴△ADE≌△COE；
∵CE2＝OE2+OC2，即（8﹣OE）2＝OE2+42，
∴OE＝3；
（3）过D作DM⊥x轴于M，
则OE∥DM，
∴△OCE∽△MCD，
∴，
∴CM＝，DM＝，
∴OM＝，
∴D（﹣，）；
（4）存在；∵OE＝3，OC＝4，
∴CE＝5，
过P1作P1H⊥AO于H，
∵四边形P1ECF1是菱形，
∴P1E＝CE＝5，P1E∥AC，
∴∠P1EH＝∠OAC，
∴＝＝，
∴设P1H＝k，HE＝2k，
∴P1E＝k＝5，
∴P1H＝，HE＝2，
∴OH＝2+3，
∴P1（﹣，2+3），
同理P3（，3﹣2），
当A与F重合时，四边形F2ECP2是菱形，
∴EF2∥CP2，EF2，＝CP2＝5，
∴P2（4，5）；
当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形，
∴EP4＝5，EP4∥AC，
如图2，过P4作P4G⊥x轴于G，过P4作P4N⊥OE于N，
则P4N＝OG，P4G＝ON，
EP4∥AC，
∴＝，
设P4N＝x，EN＝2x，
∴P4E＝CP4＝x，
∴P4G＝ON＝3﹣2x，CG＝4﹣x，
∴（3﹣2x）2+（4﹣x）2＝（x）2，
∴x＝，
∴3﹣2x＝，
∴P4（，），
综上所述：存在以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，P（﹣，2+3），（，3﹣2），（4，5），（，）．
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