高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用1 从位移、速度、力到向量本节综合与测试课后练习题

第二章　平面向量及其应用

§1　从位移、速度、力到向量

基础过关练

题组一　物理学中的向量

1.下列各量中是向量的为(　　)

A.动能 B.重力 C.功 D.温度

题组二　向量的有关概念与表示

2.下列对向量的表述正确的是(　　)

A.向量就是有向线段

B.向量就是物理学中的矢量

C.向量就是有方向的量

D.向量的模是一个非负实数

3.下列关于零向量的说法,正确的是(　　)

A.零向量没有方向

B.零向量没有长度

C.零向量等同于实数中的零

D.零向量和任意向量共线

4.如图所示,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||=　　　　. 

5.在平面直角坐标系中,O为原点,若||=3,则所有满足条件的点P都落在　　　　　　　　　　. 

6.在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量:

(1),使||=4,点A在点O北偏东45°方向;

(2),使||=4,点B在点A正东方向;

(3),使||=6,点C在点B北偏东30°方向.

7.一个人从A点出发沿东北方向走了100 m,到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,请用向量表示此人每次的位移,并求此人从C点走回A点的位移.

8.(2020江西南昌第一中学高二月考)中国象棋中规定:马走“日”字.如图是中国象棋的半边棋盘,若马在A处,可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量或表示马走了“一步”.试在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.

题组三　向量相等与共线

9.若|a|=|b|,那么要使a=b,两向量还需要具备的条件是(　　)

A.方向相反 B.方向相同

C.共线 D.方向任意

10.(2020湖南长沙长郡中学高一第二次模块检测)如图,在四边形ABCD中,若=,则下列各组向量中相等的是(　　)

A.与 B.与

C.与 D.与

11.(2020陕西渭南蒲城高一下学期期中教学检测)在四边形ABCD中,||=||且=,则四边形ABCD的形状一定是(　　)

A.正方形 B.矩形

C.菱形 D.等腰梯形

12.(2020浙江杭州高一第二学期期中联考)设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是(　　)

A.= B.∥

C.与共线 D.=

13.(2020上海徐汇中学高二上学期期中)下列命题中,正确的是(　　)

A.若|a|=|b|,则a=b

B.若a=b,则a∥b

C.若|a|>|b|,则a>b

D.若|a|=1,则a=1

14.如图,梯形ABCD中,||=||,∥∥,则下列各组向量中相等的是(　　)

A.与 B.与

C.与 D.与

15.(多选)下列选项中一定可以得到a与b平行的是(　　)

A.|a|=|b|

B.a与b的方向相反

C.a=0或|b|=0

D.a与b都是单位向量

16.(2020河北武邑中学高二月考)给出下列命题:①若|a|=0,则a=0;②若a=0,则-a=0;③|-a|=|a|,其中正确命题的序号是　　　　. 

题组四　向量的夹角

17.在△ABC中,向量与向量的夹角为α,向量与的夹角为β,向量与向量的夹角为γ,则α+β+γ=(　　)

A.0° B.180° C.270° D.360°

18.(2020上海嘉定第二中学高二上学期第一次质量检测)正六边形ABCDEF的中心是点O,以这七个点为起点或终点的向量中,与相等的向量共有　　　　个,与的模相等且夹角为60°的向量共有　　　　个. 

19.如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED和四边形OCFB都是正方形,在向量,,,,,,,中:

(1)分别写出与,相等的向量;

(2)写出与共线的向量;

(3)写出与长度相等的向量;

(4)求向量与的夹角的大小.

能力提升练

题组一　向量的表示

1.(2020辽宁省实验中学高二上学期月考,)若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点,可得到两两互不相等的向量的个数为(　　)

A.6 B.8 C.10 D.12

2.(2020山东济南一中高一下月考,)如图的方格纸由若干个边长均为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B.点C为小正方形的顶点,且||=.

(1)画出所有的向量;

(2)求||的最大值与最小值.

3.(2020河南平顶山一模,)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后向北偏西40°的方向行驶了200 km到达C点,最后向东行驶了100 km到达D点.

(1)作出向量,,;

(2)求||.

题组二　向量相等与共线

4.(2020北京东城高三上学期期中,)设a,b是两个向量,则“a=b”是“|a|=|b|且a∥b”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

5.(多选)(2020山东菏泽一中高一上期末,)下列命题中,错误的是(　　)

A.单位向量都相等

B.模相等的两个平行向量是相等向量

C.若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b

D.若a∥b,b∥c,则a∥c

6.(2020山东淄博第一中学高一上学期月考,)下列几种说法:(1)有相同起点的两个非零向量不共线;(2)平行向量就是共线向量;(3)平行四边形ABCD中,一定有=;(4)向量a与b不共线,则a与b都是非零向量.其中所有正确说法的序号是　　　　. 

7.(2020山西朔州怀仁高一下学期期中,)给出下列命题:

①向量的长度与向量的长度相等;

②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;

③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;

④两个有公共点的向量,一定是共线向量;

⑤向量与向量是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上.

其中不正确命题的序号是　　　　. 

题组三　向量的夹角

8.(2020天津第一中学高二上学期期末,)如图,半圆的直径AB=6,C是半圆上的一点,D、E分别是AB、BC上的点,且AD=1,BE=4,DE=3.

(1)求证:∥;

(2)求||;

(3)求向量与向量的夹角的余弦值.

答案全解全析

第二章　平面向量及其应用

§1　从位移、速度、力到向量

基础过关练

1.B 2.D 3.D 9.B 10.D

11.C 12.D 13.B 14.D 15.BC

17.D    

1.B　既有大小又有方向的量是向量,则B正确,A、C、D错误.

2.D　有向线段只是向量表示的一种形式,不能说向量就是有向线段;矢量是向量中的一部分;向量是既有大小又有方向的量且其模为非负实数.故选D.

3.D　零向量既有大小,又有方向;实数零只是数量,没有方向;规定零向量与任一向量共线,所以选D.

4.答案　√2

解析　因为正方形的边长为2,所以正方形的对角线长为2√2,所以|(OA) ⃗|=√2,故答案为√2.

5.答案　以O为圆心,3为半径的圆上

解析　由|(OP) ⃗|=3,知P到O的距离为3,即点P落在以O为圆心,3为半径的圆上.

6.解析　(1)(OA) ⃗,使|(OA) ⃗|=4√2,点A在点O北偏东45°方向,如图所示.

(2)(AB) ⃗,使|(AB) ⃗|=4,点B在点A正东方向,如图所示.

(3)(BC) ⃗,使|(BC) ⃗|=6,点C在点B北偏东30°方向,如图所示.

7.解析　根据题意画出示意图,如图所示,则(AB) ⃗表示此人从A点到B点的距离与方向;(BC) ⃗表示此人从B点到C点的距离与方向;(CA) ⃗表示此人从C点到A点的距离与方向.

由题意得,|(AB) ⃗|=|(BC) ⃗|,∠ABC=45°+15°=60°,

∴△ABC为正三角形,∴|(CA) ⃗|=|(AB) ⃗|=|(BC) ⃗|,即此人从C点走回A点的路程为100 m.

又∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,∴此人行走的方向为北偏西75°.

故此人从C点走回A点的位移的大小为100 m,方向为北偏西75°.

8.解析　根据规则,作出符合要求的所有向量,如图.

9.B　两向量相等应具备长度相等、方向相同两个条件,因此选B.

10.D　∵(AB) ⃗=(DC) ⃗,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AC、BD互相平分,∴(AO) ⃗=(OC) ⃗.

11.C　因为(BA) ⃗=(CD) ⃗,所以BA∥CD,且BA=CD,

所以四边形ABCD是平行四边形,

又|(AB) ⃗|=|(AD) ⃗|,即AB=AD,

所以平行四边形ABCD是菱形,故选C.

12.D　如图,∵(AO) ⃗与(OC) ⃗方向相同,长度相等,∴(AO) ⃗=(OC) ⃗,A中结论正确;

∵B,O,D三点在一条直线上,∴(BO) ⃗∥(DB) ⃗,B中结论正确;

∵AB∥CD,∴(AB) ⃗与(CD) ⃗共线,C中结论正确;

∵(AO) ⃗与(BO) ⃗的方向不同,∴(AO) ⃗≠(BO) ⃗,D中结论错误.

故选D.

13.B　对于A,当|a|=|b|时,a和b的方向未必相同,不能得到a=b,A不正确;

对于B,当a=b时,a和b的方向相同,所以a∥b成立,B正确;

对于C,两向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小,C不正确;

对于D,|a|=1表示a的长度为1,a=1不对,D不正确.

故选B.

14.D　(AD) ⃗与(BC) ⃗ 、(OA) ⃗与(OB) ⃗ 、 (AC) ⃗与(BD) ⃗方向都不相同,故不可能是相等向量,易知EO=OF,∴(EO) ⃗=(OF) ⃗,故选D.

15.BC　对于A,a与b的方向不确定,不能推得a与b平行;对于D,单位向量的方向不确定,也不能推得a与b平行.

16.答案　②③

解析　对于①,若|a|=0,则a=0,故①错误;易知②正确;当a≠0时,-a与a方向相反,模相等,当a=0时,-a=0,故|a|=|-a|,即③正确.

故答案为②③.

17.D　α,β,γ为三角形ABC的三个外角,所以α+β+γ=360°.

18.答案　3;8

解析　如图,正六边形ABCDEF中,点O为其中心,

以这七个点为起点或终点的向量中,与(AB) ⃗相等的向量有:(OC) ⃗,(FO) ⃗,(ED) ⃗,共3个,

与(AB) ⃗的模相等,且夹角为60°的向量有:(AO) ⃗,(OD) ⃗,(FE) ⃗,(BC) ⃗,(FA) ⃗,(EO) ⃗,(OB) ⃗,(DC) ⃗,共8个.

19.解析　(1)(BF) ⃗=(AO) ⃗,(AE) ⃗=(BO) ⃗.

(2)与(AO) ⃗共线的向量为(BF) ⃗,(CO) ⃗,(DE) ⃗.

(3)与(AO) ⃗长度相等的向量为(CO) ⃗,(DO) ⃗,(BO) ⃗,(BF) ⃗,(CF) ⃗,(AE) ⃗,(DE) ⃗.

(4)因为(DC) ⃗=(AB) ⃗,

所以向量(AE) ⃗与(DC) ⃗的夹角即向量(AE) ⃗与(AB) ⃗的夹角,为135°.

能力提升练

1.B 4.A 5.ABCD  

1.B　如图,两两互不相等的向量有:(AB) ⃗、(BA) ⃗、(AC) ⃗、(CA) ⃗、(DB) ⃗、(BD) ⃗、(AD) ⃗、(DA) ⃗,共8个.故选B.

2.解析　 (1)画出所有的向量(AC) ⃗,如图所示.

(2)由(1)所画的图知,

①当点C位于点C1或C2时,|(BC) ⃗|取得最小值,为√(1^2+2^2 )=√5;

②当点C位于点C5或C6时,|(BC) ⃗|取得最大值,为√(4^2+5^2 )=√41.

所以|(BC) ⃗|的最大值为√41,最小值为√5.

3.解析　(1)作出向量(AB) ⃗,(BC) ⃗,(CD) ⃗,如图所示.

(2)作出向量(AD) ⃗,由题意可知,(AB) ⃗与(CD) ⃗方向相反,故(AB) ⃗与(CD) ⃗共线,

又|(AB) ⃗|=|(CD) ⃗|,

∴在四边形ABCD中,AB∥CD且AB=CD,

∴四边形ABCD为平行四边形,

∴(AD) ⃗=(BC) ⃗,

∴|(AD) ⃗|=|(BC) ⃗|=200 km.

4.A　由“a=b”可推出“|a|=|b|且a∥b”;但反之不成立.所以“a=b”是“|a|=|b|且a∥b”的充分不必要条件.故选A.

5.ABCD　单位向量的方向未确定,故不一定相等,A中命题错;相反向量模相等且互相平行,但不是相等向量,B中命题错;向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小,C中命题错;当b=0时,虽然有a∥b,b∥c,但a,c的方向可能不相同,D中命题错.

6.答案　(2)(3)(4)

解析　当两个向量有相同的起点且在同一条直线上时,这两个向量共线,(1)错;平行向量就是共线向量,(2)正确;平行四边形ABCD中,(AB) ⃗,(DC) ⃗方向相同,大小相等,一定有(AB) ⃗=(DC) ⃗,(3)正确;若a与b中有一个是零向量,则a与b共线,故(4)正确.

故答案为(2)(3)(4).

7.答案　②④⑤

解析　向量(AB) ⃗与(BA) ⃗是相反向量,它们的模相等,即①中命题正确;

零向量与任何向量平行,若向量a与b中恰有一个为零向量,则它们的方向不满足题意,即②中命题错误;

对于相等向量,若它们有共同的起点,则它们的终点也相同,即③中命题正确;

两个有公共点的向量,若它们的起点和终点不在一条直线上,则它们不共线,即④中命题错误;

因为向量可以平移,所以共线向量(AB) ⃗与(CD) ⃗中,A,B,C,D不一定在同一条直线上,即⑤中命题错误.

故答案为②④⑤.

8.解析　(1)证明:因为AB=6,AD=1,所以BD=5,又DE=3,BE=4,

所以DE2+BE2=BD2,所以△DEB是直角三角形,∠DEB=90°.

因为点C为半圆上一点,所以∠ACB=90°.

所以AC∥DE,故(AC) ⃗∥(DE) ⃗.

(2)因为AC∥DE,所以△ABC∽△DBE,

所以AC/DE=AB/BD,即AC/3=6/5,

解得AC=18/5,即|(AC) ⃗|=18/5.

(3)向量(DE) ⃗与向量(AB) ⃗的夹角即向量(DE) ⃗与向量(DB) ⃗的夹角∠EDB,而cos∠EDB=DE/DB=3/5,

所以向量(DE) ⃗与向量(AB) ⃗的夹角的余弦值为3/5.